Примеры непрерывных распределений
1. Равномерное распределение. Плотность Равномерного или Прямоугольного распределения:
,
Т. е. вероятности 
всех возможных значений 
случайной величины 
одинаковы и равны 
.
Математическое ожидание случайной величины с Равномерным распределением равно
,
Дисперсия 
.
Функция распределения имеет вид 
, 
(рис. 3.5).
Рис. 3.5. Графики плотности и функции равномерного распределения
2. Показательное (экспоненциальное) распределение -Закон, функция плотности распределения которого имеет вид: 
, где параметр распределения 
есть действительное число (постоянный параметр) (рис. 3.6).
Функция распределения показательного закона имеет вид:
Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, распределенной по показательному закону, равны соответственно 
, 
.
Рис. 3.6. Графики плотности и функции показательного распределения
3. Нормальное распределение.Нормальный закон распределения вероятностей занимает особое место среди других законов распределения. В теории вероятности доказывается, что плотность вероятности суммы независимых или Слабо зависимых, равномерно малых (т. е. играющих примерно одинаковую роль) слагаемых при неограниченном увеличении их числа как угодно близко приближается к нормальному закону распределению независимо от того, какие законы распределения имеют эти слагаемые (центральная предельная теорема А. М. Ляпунова).
Плотность вероятности нормально распределенной случайной величины 
имеет вид: 
, где 
и 
– вещественные параметры распределения, имеющие конечные значения, при этом часто используют обозначение 
.
Функция распределения записывается в виде
,
Здесь 
– табулированный интеграл вероятности (значения интеграла можно найти во всех учебниках и задачниках по теории вероятностей). Функция и плотность нормального распределения изображены на рис. 3.7.
Рис. 3.7. Графики плотности и функции нормального распределения
Математическое ожидание нормально распределенной случайной величины равно 
, дисперсия 
. Таким образом, параметры и имеют смысл математического ожидания и среднеквадратического значения (отклонения) случайной величины.
Распределение, описываемое функцией 
, называется Нормальным или Распределением Гаусса.
На рис.3.8 изображены кривые нормального распределения случайных погрешностей для различных значений среднеквадратического отклонения 
.
Рис. 3.8. Кривые нормального распределения, .
Из рис. 3.8 видно, что по мере увеличения среднеквадратического отклонения распределение все более и более расплывается, вероятность появления больших значений погрешностей возрастает, а вероятность меньших погрешностей сокращается, т. е. увеличивается рассеивание результатов наблюдений.
Широкое распространение нормального распределения погрешностей в практике измерений объясняется Центральной предельной теоремой теории вероятностей, являющейся одной из самых замечательных математических теорем, в разработке которой принимали участие многие крупнейшие математики – Муавр, Лаплас, Гаусс, Чебышев и Ляпунов.
Центральная предельная теорема утверждает, что распределение случайных погрешностей будет близко в нормальному всякий раз, когда результаты наблюдения формируются под влиянием большого числа независимо действующих факторов, каждый из которых оказывает лишь незначительное действие по сравнению с суммарным действием всех остальных.
Свойства нормального распределения.
А. Если случайная величина 
.
В. Если случайная величина то
В частности, 
.
Таким образом, вычисление любых вероятностей для нормально распределённой случайной величины сводится к вычислению функции распределения 
. Она обладает следующими свойствами: 
С. Если 
, то для любого 
D.Правило трех сигм. Если то
Большого смысла в запоминании числа 0.0027 нет, но полезно помнить, что почти вся масса нормального распределения сосредоточена в границах от 
до 
.
Пример 3.7. Дана случайная величина 
. Найти 
.
Решение. По формуле свойства В при 
получаем 
По таблице для функции Лапласа находим 
.
Пример 3.8.Случайная величина X – отклонение размера изделия от нормы – нормально распределенная, причём М (Х)= 0. Найти s (Х), если известно, что Р(– 3 < X < 3) = 0.7.
Решение. Р(– 3 < X < 3) = Р( | X | < 3) = 
= 0.7. Отсюда следует, что 
, и, используя табличные данные (приложение 1), получаем 3/s =1.4, или s = 3/1.4 » 2.14.
| Основные задачи математической статистики: 1. Разработка методологии сбора и группировки статистического материала, полученного в результате наблюдений за случайными процессами. 2. Разработка методов анализа полученных статистических данных. Этот анализ включает оценку вероятностей события, функции распределения вероятностей или плотности вероятности, оценку параметров известного распределения, а также оценку связей между случайными величинами. | ||||
| ВЫБОРОЧНЫЙ МЕТОД. ГЕНЕРАЛЬНАЯ СОВОКУПНОСТЬ И ВЫБОРОЧНАЯ | ||||
| Статистические данные представляют собой данные, полученные в результате обследования большого числа объектов или явлений. Экспериментальные данные - это результаты измерения некоторых признаков объектов, выбранных из большой совокупности объектов. Часть объектов исследования, определенным образом выбранная из более обширной совокупности, называется Выборкой, а Вся исходная совокупность, из которой взята выборка,- Генеральной (основной) совокупностью. Исследования, в которых участвуют все без исключения объекты, составляющие генеральную совокупность, называются Сплошными исследованиями. Может использоваться Выборочный метод, суть которого в том, что для обследования привлекается часть генеральной совокупности (Выборка), но по результатам этого обследования судят о свойствах всей генеральной совокупности. Предметом изучения в статистике являются варьирующиеся признаки (называемые Статистическими). Они делятся на качественные и количественные. Качественными признаками объект обладает либо не обладает. Они не поддаются непосредственному измерению (спортивная специализация, квалификация, национальность, территориальная принадлежность и т. п.). Количественные признаки представляют собой результаты подсчета или измерения. В соответствии с этим они делятся на Дискретные и непрерывные. Например, измеряемая температура воздуха в некотором пункте – непрерывная случайная величина (может меняться на сколь угодно малую величину), и соответствующая генеральная совокупность представляет собой бесконечное множество значений. ПовторнойНазывают выборку, при которой объект перед отбором следующего возвращается в генеральную совокупность. БесповторнойНазывают выборку, при которой отобранный объект в генеральную совокупность не возвращается. Если выборка правильно отражает соотношения в генеральной совокупности, то ее называют Репрезентативной(представительной). Например, результаты социологического опроса населения будут зависеть от того, в каком месте он проводится, среди каких групп. | ||||
| ВАРИАЦИОННЫЙ РЯД. ПОЛИГОН ЧАСТОТ И ГИСТОГРАММА ЭМПИРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ | ||||
Пусть Х — некоторый признак изучаемого объекта или явления (срок службы электролампы, вес студента, диаметр шарика для подшипника и т. п.). Генеральной совокупностью является множество всех возможных значений этого признака, а результаты N наблюдений над признаком Х дадут нам выборку объема N — первоначальные статистические данные, значения  (простая выборка, не сгруппированные данные) При этом значение  получено при первом наблюдении случайной величины Х,  – при втором наблюдении той же случайной величины и т. д. Выборку преобразуют в Вариационный ряд, располагая результаты наблюдений в порядке возрастания:  Каждый член  Вариационного ряда называется Вариантой. Пример 4.1. 1. Измерена масса тела 10-ти детей 6-ти лет. Полученные данные образуют простой статистический ряд: 24 22 23 28 24 23 25 27 25 25. 2. Из 10000 выпущенных на конвейере электрических лампочек отобрано 300 штук для проверки качества всей партии. Здесь  а  Отдельные значения статистического ряда называются Вариантами. Если варианта ХI появилась M раз, то число M называют Частотой, а ее отношение к объему выборки M/N – Относительной частотой. Последовательность вариант, записанная в возрастающем (убывающем) порядке, называется Ранжированным рядом. Пример 4.2. Для ранжированного ряда: 23 23 24 24 25 25 25 27 28 в нижеприведенной таблице в первой строке записаны все значения величины (варианты), во второй – соответствующие им частоты (безынтервальный вариационный ряд), в третьей – накопленные частоты, в четвертой – относительные частоты (табл.4.1). Таблица 4.1. Значения вариант и их частот
Полигоном частот называют ломаную линию, отрезки которой соединяют точки с координатами (ХI; Ni) (рис. 4.1). Отметим, что сумма частот статистического ряда равна объему выборки. Часто статистический ряд составляют, используя относительные частоты вариант: Полигоном относительных частот называют ломаную линию, отрезки которой соединяют точки с координатами (ХI; Hi).
Рисунок 4.1. Полигон частот а), кумулятивная кривая б) Эмпирическим аналогом графика интегральной функции распределения является Кумулятивная кривая (Кумулята). Для ее построения на оси ОХ откладывают значения вариант, на оси ОY – накопленные частоты или относительные частоты. Полученная плавная кривая называется кумулятой. В том случае, если выборка представлена большим количеством различных значений непрерывной случайной величины, то группировку данных проводят в виде интервального вариационного ряда (ИВР). Для этого диапазон варьирования признака разбивают на несколько (5–10) равных интервалов и указывают количество вариант, попавших в каждый интервал. Алгоритм построения интервального вариационного ряда. 1. Исходя из объема выборки (N), определить количество интервалов (K) (см. табл. 4.2). Таблица 4.2.Рекомендуемое соотношениеОбъем выборки-число интервалов
2. Вычислить размах ряда: R=Xmax – Xmin 3. Определить ширину интервала: H=R/(K–1) 4. Найти начало первого интервала X0 = Xmin – H/2 5. Составить интервальный вариационный ряд. Графическим изображением ИВР является Гистограмма. Для ее построения на оси ОХ откладывают интервалы шириной H, на каждом интервале строят прямоугольник высотой M/H. Величина M/H называется Плотностью частоты. Гистограмма является эмпирическим аналогом графика дифференциальной функции распределения. Пример 4.3. Измерена масса тела 100 женщин 30 лет, получены значения от 60 до 90 кг. Построить интервальный вариационный ряд (табл. 4.3) и гистограмму. Таблица 4.3. Интервальный вариационный ряд
Рисунок 4.2. Гистограмма Эмпирическая функция распределения находится по следующей формуле (отношение накопленных частот к объему выборки):
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОЦЕНИВАНИЕ. ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ ГЕНЕРАЛЬНОЙ СОВОКУПНОСТИ. ТОЧЕЧНАЯ ОЦЕНКА И ЕЕ СВОЙСТВА | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(M — количество различных вариант). Сумма относительных частот равна единице.
(4.1) Числовые характеристики генеральной совокупности называются Параметрами генеральной совокупности. Например, для нормального распределения это математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение (СКО), для равномерного распределения – это границы интервала, в котором наблюдаются значения этой случайной величины Оценка параметра – соответствующая числовая характеристика, рассчитанная по выборке. Если оценка определяется одним числом, она называется Точечной оценкой. Например, среднее арифметическое выборочных значений служит оценкой математического ожидания. Выборочные значения случайны, поэтому оценки можно рассматривать как случайные величины. Построим точечную оценку параметра  по выборке как значение некоторой функции и перечислим «желаемые» свойства оценки  . Определение 4.1. Оценка называется Несмещенной, если ее математическое ожидание равно истинному значению оцениваемого параметра:  . Данное свойство характеризует отсутствие Систематической ошибки, т. е. при многократном использовании вместо параметра его оценки среднее значение ошибки приближения  равно нулю. Так, выборочное среднее арифметическое  является Несмещенной оценкой математического ожидания, а выборочная дисперсия  – Смещенная оценка генеральной дисперсии D. Несмещенной оценкой генеральной дисперсии является оценка («исправленная дисперсия»)  Определение 4.2. Оценка  называется Состоятельной, если она сходится по вероятности к оцениваемому параметру при   Данное свойство характеризует улучшение оценки с увеличением объема выборки. Сходимость по вероятности означает, что при большом объеме выборки вероятность больших отклонений оценки от истинного значения мала. Определение 4.3.. Несмещенная оценка является Эффективной, если она имеет наименьшую среди всех несмещенных оценок дисперсию. Пример 4.4.: 1. Вычислить среднее значение массы тела детей 6 лет.  2. Если выборочное среднее вычисляется по вариационному ряду, то находят сумму произведений вариант на соответствующие частоты, и делят на количество элементов в выборке:  .  3. В том случае, когда статистические данные представлены в виде интервального вариационного ряда, при вычислении выборочного среднего значениями вариант считают середины интервалов. Так, для вычисления среднего значения массы тела женщин 30 лет из примера 4.3. используют формулу:  . Другими характеристиками являются МодаИ Медиана. В теории вероятностей МодойМо дискретной случайной величины называется ее значение, которое имеет максимальную вероятность. Модой непрерывной случайной величины называется такое ее значение, при котором достигается максимум плотности распределения  Закон распределения называется унимодальным, если мода единственна. В математической статистике мода Мо определяется по выборке, как Варианта с наибольшей частотой. Медианой называется варианта, расположенная в центре Ранжированного ряда. Если ряд состоит из четного числа вариант, то медианой считают среднее арифметическое двух вариант, расположенных в центре ранжированного ряда. Пример 4.5. Найти моду и медиану выборочной совокупности по массе тела детей 6 лет. Ответ: Мо = 24; Ме = 24. Основные числовые характеристики выборочной совокупности: 1) Размах вариационного ряда R=Xmax – Xmin. Этот показатель является наиболее простой характеристикой рассеяния и показывает диапазон варьирования величины. Этой характеристикой пользуются при работе с малыми выборками; 2) Выборочное среднее находится как взвешенное среднее арифметическое  , которое характеризует среднее значение признака X в пределах рассматриваемой выборки; 3) Выборочная дисперсия Определяется по формуле:  , которая является мерой рассеяния возможных значений показателя X вокруг своего среднего значения, и ее размерность совпадает с квадратом размерности варианты; 4) Выборочное среднее квадратическое отклонение  описывает абсолютный разброс значений показателя X. Его размерность совпадает с размерностью варианты; 5) «Исправленная» Дисперсия (вычисляют при малых N, n<30)  и «Исправленное» стандартное отклонение  ; 6) Коэффициент вариации  характеризует относительную изменчивость показателя X, то есть относительный разброс вокруг его среднего значения  . Коэффициент вариации является безразмерной величиной, поэтому он пригоден для сравнения рассеяния вариационных рядов, варианты которых имеют различную размерность. Пример 4.6.: Измерена длина (Х) и масса тела (Y) девочек 10-ти лет. Получены следующие показатели: Х=130 см, SХ = 5 см, Y = 32 кг, SY = 4 кг. Какая величина имеет большую вариативность? Так как длина и масса тела измеряются в разных единицах, то вариативность нельзя сравнить при помощи СКО. Необходимо вычислить относительный показатель вариации.  Таким образом, масса тела имеет большую вариативность, чем длина тела. | ||||
| ОЦЕНКА С ПОМОЩЬЮ ИНТЕРВАЛОВ | ||||
Оценка параметров с помощью интервалов заключается в нахождении интервалов, называемых Доверительными, между границами которых с определенными вероятностями (доверительными) находятся истинные значения оцениваемых параметров. Интервальная оценка определяется двумя числами - концами интервала. Пусть найденная по данным выборки величина Q* служит оценкой неизвестного параметра Q. Оценка Q* определяется тем точнее, чем меньше |Q - Q*|, т. е. чем меньше d в неравенстве |Q - Q*|< d, d > 0. Доверительной вероятностью (Надежностью) оценки Q* параметра Q называется вероятность ¡, с которой оценивается неравенство |Q - Q*|< D. Число A=1 - ¡ называется Уровнем значимости, определяющим вероятность того, что оцениваемый параметр не попадет в доверительный интервал. Обычно задается надежность ¡ и определяется D. Чаще всего вероятность ¡ задается значениями от 0.95 и выше. Неравенство |Q - Q*|< D Можно записать в виде - D < Q - Q* < D или Q* - D < Q < Q* + D. Доверительным интервалом называется интервал (Q* - D, Q* + D), который покрывает неизвестный параметр Q с заданной надежностью. Определение доверительного интервала для среднего значения нормально распределенной измеряемой случайной величины Х При известной дисперсии  . Нам уже известно, что  . Можно показать [1-5], что  (сумма  нормально распределенных случайных величин  сама является нормальной). Зададим доверительную вероятность ¡ и найдем доверительный интервал ( - D, + D), который покрывал бы неизвестный параметр с заданной надежностью ¡. Согласно формуле В (Свойства нормального распределения, раздел 3)  . (4.1) Таким образом, для отыскания величины Доверительной границы случайного отклонения результатов наблюдений по Доверительной вероятности ¡ имеем уравнение:  , где  , Где значение  находим по таблице Лапласа (приложение 1),  . Пример 4.7. По результатам наблюдений была найдена оценка неизвестного математического ожидания M случайной величины если точечная оценка =10.2, а дисперсия оценки  =4. Требуется оценить доверительный интервал для оценки математического ожидания по 36-ти наблюдениям с заданной надежностью ¡=0.99. Решение. Из (4.1) следует, что  . Отсюда получаем, что =2.58 и половина искомого интервала  . Так как  , то с вероятностью 0.99 доверительный интервал для оценки математического ожидания:  . Со случаем, когда распределение результатов наблюдений нормально, но их дисперсия неизвестна, можно ознакомится в [3, 4, 6]. | ||||
| ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ | ||||
Статистическая Гипотеза — это предположение О виде закона распределения («данная генеральная совокупность нормально распределена»); О значениях его параметров («генеральное среднее равно нулю»); Об однородности данных («эти две выборки извлечены из одной генеральной совокупности»). Статистическая проверка гипотезы состоит в выяснении того, согласуются ли результаты наблюдений (выборочные данные) с нашим предположением. Результатом проверки может быть отрицательный ответ: выборочные данные противоречат высказанной гипотезе, поэтому от нее следует отказаться. В случае ответа неотрицательного (выборочные данные не противоречат гипотезе) гипотезу принимают в качестве Одного из допустимых решений (не единственно верного). Различают Основную (нулевую) гипотезу (гипотеза, которая проверяется,  ) и альтернативную (конкурирующую, противопоставленную основной,  ). Например, если нулевая гипотеза : МХ= 10 (т. е. математическое ожидание нормально распределенной величины равно 10), тогда гипотеза , может иметь вид : МХ ≠10. Цель статистической проверки гипотез: на основании выборочных данных принять решение о справедливости основной гипотезы или отклонить в ее пользу альтернативной. Так как проверка осуществляется на основании выборки, а не всей генеральной совокупности, то существует вероятность, возможно, очень малая, ошибочного заключения. Так, нулевая гипотеза может быть отвергнута, в то время как в действительности в генеральной совокупности она является справедливой. Такую ошибку называют Ошибкой первого рода, а её вероятность — Уровнем значимости и обозначают a (стандартные значения a: 0.1, 0.05, 0.01, 0.001). Возможно, что нулевая гипотеза принимается, в то время как в генеральной совокупности справедлива альтернативная гипотеза. Такую ошибку называют Ошибкой второго рода, а её вероятность обозначают  Проверка статистических гипотез осуществляется с Помощью статистического критерия K — правила (функции от результатов наблюдений), определяющего меру расхождения результатов наблюдений с нулевой гипотезой. Вероятность  называют Мощностью критерия. Замечание. Ошибка первого рода состоит в том, что будет отвергнута правильная гипотеза. Ошибка второго рода состоит в том, что будет принята неправильная гипотеза. Например, основная гипотеза состоит в том, что предприятие получает прибыль. Если это правильная гипотеза, то ошибка первого рода состоит в том, что данная гипотеза отвергается. Если принимается решение о том, что прибыль предприятие не получает, то это ошибка второго рода. Иногда ошибку первого рода называют «альфа-риск» (a-риск) а ошибку второго рода «бета-риск» (b-риск). Из двух критериев, характеризующихся одной и той же вероятностью  выбирают тот, которому соответствует меньшая ошибка 2-го рода, т. е. большая мощность. Уменьшить вероятности обеих ошибок  и одновременно можно, увеличив объем выборки. Значения критерия K разделяются на две части: область Допустимых значений (область принятия гипотезы ) и Критическую область (область принятия гипотезы ). Критическая область состоит из тех же значений критерия К, которые маловероятны при справедливости гипотезы . Если значение  критерия K, рассчитанное по выборочным данным, попадает в критическую область, то гипотеза отвергается в пользу альтернативной в противном случае мы утверждаем, что нет оснований отклонять гипотезу . Пример 4.7.Для подготовки к зачету преподаватель сформулировал 100 вопросов (генеральная совокупность) и считает, что студенту можно поставить «зачтено», если тот знает 60 % вопросов (критерий). Преподаватель задает студенту 5 вопросов (выборка из генеральной совокупности) и ставит «зачтено», если правильных ответов не меньше трех. Гипотеза : «студент курс усвоил», а множество  — область принятия этой гипотезы. Критической областью является множество  — правильных ответов меньше трех, в этом случае основная гипотеза отвергается в пользу альтернативной «студент курс не усвоил, знает меньше 60 % вопросов». Студент А выучил 70 вопросов из 100, но ответил правильно только на два из пяти, предложенных преподавателем, — зачет не сдан. В этом случае преподаватель совершает ошибку первого рода. Студент Б выучил 50 вопросов из 100, но ему повезло, и он ответил правильно на 3 вопроса — зачет сдан, но совершена ошибка второго рода. Преподаватель может уменьшить вероятность этих ошибок, увеличив количество задаваемых на зачете вопросов. Алгоритм проверки статистических гипотез сводится к следующему: 1) сформулировать основную и альтернативную гипотезы; 2) выбрать уровень значимости ; 3) в соответствии с видом гипотезы выбрать статистический критерий для ее проверки, т. е. случайную величину K, распределение которой известно; 4) по таблицам распределения случайной величины K найти границу критической области  (вид критической области определить по виду альтернативной гипотезы ); 5) по выборочным данным вычислить наблюдаемое значение критерия  6) принять статистическое решение: если попадает в критическую область — отклонить гипотезу в пользу альтернативной ; если попадает в область допустимых значений, то Нет оснований отклонять основную гипотезу. | ||||
| ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ О ВИДЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ. КРИТЕРИЙ СОГЛАСИЯ ПИРСОНА | ||||
Одной из важных задач математической статистики является установление теоретического закона распределения случайной величины, характеризующей изучаемый признак по эмпирическому распределению, представляющему вариационный ряд. Предположение о виде закона распределения можно сделать по гистограмме или полигону (Рис. 4.3)
Рис. 4.3. Возможные виды гистограмм: Например, по гистограмме (рис. 4.3, а)) можно сделать предположение о том, что генеральная совокупность распределена по нормальному закону. Для проверки гипотез о виде распределения служат специальные критерии — Критерии согласия. Они отвечают на вопрос: согласуются ли результаты экспериментов с предположением о том, что генеральная совокупность имеет заданное распределение. Проверим это предположение с помощью Критерия согласия Пирсона. В этом критерии мерой расхождения между гипотетическим (предполагаемым) и эмпирическим распределением служит статистика
Наши рекомендации |
