Линейно – логарифмическая модель
Построим линейно-логарифмическую модель без переменных guest и cruising_speed, так как они способствовали появлению мультиколлинеарности в модели, и это было обосновано в линейной модели.
Модель 8: МНК, использованы наблюдения 1-153
Зависимая переменная: price
| Коэффициент | Ст. ошибка | t-статистика | P-значение | ||
| const | -1,8149e+07 | 2,01345e+06 | -9,0139 | <0,00001 | *** |
| l_length | 3,28178e+06 | 1,07692e+06 | 3,0474 | 0,00275 | *** |
| l_beam | 3,1294e+06 | 1,72959e+06 | 1,8093 | 0,07251 | * |
| l_draft | 1,3601 | 0,17596 | |||
| l_displacemen | -478989 | -1,1792 | 0,24030 | ||
| l_max_speed | 1,2159 | 0,22605 | |||
| l_power | -334317 | -1,2915 | 0,19862 | ||
| l_fuel | 1,35001e+06 | 3,3940 | 0,00089 | *** | |
| l_water | -514265 | -1,6308 | 0,10514 | ||
| l_cabin | -276725 | -0,8279 | 0,40912 | ||
| region | -116495 | -0,6256 | 0,53255 |
| Среднее зав. перемен | Ст. откл. зав. перемен | |||
| Сумма кв. остатков | 1,34e+14 | Ст. ошибка модели | 972806,8 | |
| R-квадрат | 0,704285 | Испр. R-квадрат | 0,683460 | |
| F(10, 142) | 33,81923 | Р-значение (F) | 8,28e-33 | |
| Лог. правдоподобие | -2320,945 | Крит. Акаике | 4663,890 | |
| Крит. Шварца | 4697,224 | Крит. Хеннана-Куинна | 4677,431 |
В данной модели коэффициенты при const, l_length, l_fuel значимые на 1% уровне, l_beam на 10 % уровне. Уравнение в целом значимое на 1 % уровне значимости и R2= 0,704285.
Полученные результаты свидетельствуют о наличии мультиколлинерности в модели. ( мало значимых переменных, а уравнение в целом значимо). В результате проведенного теста на мультиколлениарность было обнаружено, что переменная l_fuel является причиной данной проблемы. Исключим данную переменную.
Модель 9: МНК, использованы наблюдения 1-153
Зависимая переменная: price
| Коэффициент | Ст. ошибка | t-статистика | P-значение | ||
| const | -1,6953e+07 | 2,05399e+06 | -8,2537 | <0,00001 | *** |
| l_length | 3,62544e+06 | 1,11088e+06 | 3,2636 | 0,00138 | *** |
| l_beam | 4,73904e+06 | 1,72339e+06 | 2,7498 | 0,00673 | *** |
| l_draft | 1,7703 | 0,07881 | * | ||
| l_displacemen | -54419,6 | -0,1359 | 0,89209 | ||
| l_max_speed | 1,0411 | 0,29958 | |||
| l_power | -213207 | -0,8026 | 0,42354 | ||
| l_water | 93090,9 | 0,3460 | 0,72983 | ||
| l_cabin | -309391 | -0,8937 | 0,37298 | ||
| region | -267874 | -1,4301 | 0,15487 |
| Среднее зав. перемен | Ст. откл. зав. перемен | |||
| Сумма кв. остатков | 1,45e+14 | Ст. ошибка модели | ||
| R-квадрат | 0,680296 | Испр. R-квадрат | 0,660175 | |
| F(9, 143) | 33,80991 | Р-значение (F) | 3,06e-31 | |
| Лог. правдоподобие | -2326,912 | Крит. Акаике | 4673,823 | |
| Крит. Шварца | 4704,128 | Крит. Хеннана-Куинна | 4686,134 |
В данной модели коэффициенты при const, l_length, l_beam значимы на 1%, а при l_draft на 10 % уровне.
Было решено исключить незначимые переменные кроме l_max_speed, l_power и l_cabin, так как на мой взгляд, данные параметры очень важны при формировании цены яхт.
Проинтерпретируем коэффициент при фиктивной переменной region ( 1- Европа, 0-Америка) :
Цена яхты в Европе на 309391 евро ниже, чем цена яхты в Америке.
Модель 10: МНК, использованы наблюдения 1-153
Зависимая переменная: price
| Коэффициент | Ст. ошибка | t-статистика | P-значение | ||
| const | -1,61656e+07 | 1,58912e+06 | -10,1727 | <0,00001 | *** |
| l_length | 3,51482e+06 | 3,5635 | 0,00049 | *** | |
| l_beam | 5,06154e+06 | 1,60009e+06 | 3,1633 | 0,00190 | *** |
| l_draft | 1,7327 | 0,08527 | * | ||
| l_max_speed | 0,8776 | 0,38159 | |||
| l_power | -252497 | -0,9890 | 0,32429 | ||
| l_cabin | -361928 | -1,0677 | 0,28743 |
| Среднее зав. перемен | Ст. откл. зав. перемен | |||
| Сумма кв. остатков | 1,48e+14 | Ст. ошибка модели | ||
| R-квадрат | 0,674912 | Испр. R-квадрат | 0,661552 | |
| F(6, 146) | 50,51811 | Р-значение (F) | 3,04e-33 | |
| Лог. правдоподобие | -2328,189 | Крит. Акаике | 4670,379 | |
| Крит. Шварца | 4691,592 | Крит. Хеннана-Куинна | 4678,996 |
В данной модели коэффициенты при const, l_lenght, l_beam, значимы на 1% уровне значимости, при l_draft на 10% уровне. Уравнение в целом значимо на 1% и R2= 0,674912.
Коэффициенты при l_max_speed, l_cabin и l_power не являются значимыми. С помощью теста на линейное ограничение проверим равенство коэффициентов при данных переменных нулю.
H0: b[l_max_speed] = 0
F(1, 146) = 0,770214, р-значение = 0,381593
Так как р-значение меньше тестовой статистики, то Н0 принимается, и это означает, что коэффициент при данной переменной равен нулю.
Н0: b[l_power] =0
F(1, 146) = 0,97815 , р-значение = 0,324292
Так как р-значение меньше тестовой статистики, то Н0 принимается, и это означает, что коэффициент при данной переменной равен нулю.
H0: b[l_cabin]=0
F(1, 146) = 1,13994 , р-значение = 0,287427
Так как р-значение меньше тестовой статистики, то Н0 принимается, и это означает, что коэффициент при данной переменной равен нулю.
Таким образом, нужно исключить данные переменные из модели.
Модель 11: МНК, использованы наблюдения 1-153
Зависимая переменная: price
| Коэффициент | Ст. ошибка | t-статистика | P-значение | ||
| const | -1,5307e+07 | 1,14931e+06 | -13,3184 | <0,00001 | *** |
| l_length | 3,2356e+06 | 3,4102 | 0,00084 | *** | |
| l_beam | 4,47475e+06 | 1,5185e+06 | 2,9468 | 0,00373 | *** |
| l_draft | 1,4519 | 0,14863 |
| Среднее зав. перемен | Ст. откл. зав. перемен | |||
| Сумма кв. остатков | 1,51e+14 | Ст. ошибка модели | ||
| R-квадрат | 0,668538 | Испр. R-квадрат | 0,661864 | |
| F(3, 149) | 100,1746 | Р-значение (F) | 1,50e-35 | |
| Лог. правдоподобие | -2329,675 | Крит. Акаике | 4667,350 | |
| Крит. Шварца | 4679,471 | Крит. Хеннана-Куинна | 4672,274 |
В данной модели коэффициенты при const, l_length, l_beam на 1% уровне. Уравнение в целом является значимым на 1% уровне и R2 = 0,668538.
Проведем тест Уайта на гетероскедастичность, так как метод МНК можно применять лишь при отсутствии гетероскедастичности.
Н0: в модели нет гетероскедастичности
Тест Вайта (White) на гетероскедастичность
МНК, использованы наблюдения 1-153
Зависимая переменная: uhat^2
Коэффициент Ст. ошибка t-статистика P-значение
------------------------------------------------------------------
const 6,00346e+013 2,91142e+013 2,062 0,0410 **
l_length 4,51192e+012 3,33044e+013 0,1355 0,8924
l_beam -7,96889e+013 5,58662e+013 -1,426 0,1559
l_draft -2,42108e+013 8,39166e+012 -2,885 0,0045 ***
sq_l_length -3,02120e+011 1,29880e+013 -0,02326 0,9815
X2_X3 -1,96861e+012 3,27349e+013 -0,06014 0,9521
X2_X4 8,78593e+012 8,69348e+012 1,011 0,3139
sq_l_beam 2,58137e+013 2,54149e+013 1,016 0,3115
X3_X4 -8,85192e+011 1,37071e+013 -0,06458 0,9486
sq_l_draft 9,41496e+011 1,89302e+012 0,4974 0,6197
Неисправленный R-квадрат = 0,286356
Тестовая статистика: TR^2 = 43,812479,
р-значение = P(Хи-квадрат(9) > 43,812479) = 0,000002
Таким образом, в модели есть гетероскедастичность.
Проведем коррекцию ошибок в формуле Уайта.
Предположим, что зависимость квадратных остатков описывается следующим образом:
Оцениваем параметры модели. Получаем ряд 
.
Используем оценку дисперсии: 
.
В качестве весов возьмем переменную w3=1/ .
Модель 12: ВМНК, использованы наблюдения 1-153
Зависимая переменная: price
Весовая переменная: w3
| Коэффициент | Ст. ошибка | t-статистика | P-значение | ||
| const | -1,51531e+07 | 1,13625e+06 | -13,3361 | <0,00001 | *** |
| l_length | 3,18289e+06 | 3,4072 | 0,00084 | *** | |
| l_beam | 4,483e+06 | 1,4938e+06 | 3,0011 | 0,00316 | *** |
| l_draft | 1,3856 | 0,16793 |
Статистика, полученная по взвешенным данным:
| Сумма кв. остатков | 5,66e+12 | Ст. ошибка модели | 194913,3 | |
| R-квадрат | 0,668510 | Испр. R-квадрат | 0,661836 | |
| F(3, 149) | 100,1621 | Р-значение (F) | 1,51e-35 | |
| Лог. правдоподобие | -2078,658 | Крит. Акаике | 4165,317 | |
| Крит. Шварца | 4177,439 | Крит. Хеннана-Куинна | 4170,241 |
Статистика, полученная по исходным данным:
| Среднее зав. перемен | Ст. откл. зав. перемен | |||
| Сумма кв. остатков | 1,51e+14 | Ст. ошибка модели |
В данной модели коэффициенты при const, l_length, l_beam являются значимыми на 1% уровне. Уравнение в целом является значимым на 1% уровне и R2 = 0,668510.
Существенным недостатком данной модели является то, что значительные характеристики модели были исключены при улучшении линейно-логарифмической модели и данная модель характеризует зависимость цены только от размеров судна. Также недостатком является то, что оценки коэффициентов не являются наилучшими в классе несмещенных линейных оценок.
Полученная модель отображает зависимость цены яхты от длины, ширины и осадки судна. В процессе улучшения модели фиктивная переменная region была исключена из модели, но была проинтерпретирована ранее.
Price = -1,51531e+07 +3,18289e+06 * ln ( length) + 4,483e+06 * ln ( beam) + 453326 ln (draft)
Проинтерпретируем значимые коэффициенты полученной модели:
ü При увеличении длины яхты на 1%, цена увеличивается на 31828.9 евро;
ü При увеличении ширины яхты на 1%, цена яхты увеличивается на 44830 евро;
ü При увеличении осадки яхты на 1%, цена яхты увеличивается на 4533,26 евро;