Обоснование задачи сравнения распределений признака

Распределения могут различаться по средним, дисперсиям, асим­метрии, эксцессу и по сочетаниям этих параметров. Рассмотрим не­сколько примеров.

На Рис. 4.1 представлены два распределения признака. Распреде­ление 1 характеризуется меньшим диапазоном вариативности и меньшей дисперсией, чем распределение 2. В распределении 1 чаще встречаются значения признака, близкие к средней, а в распределении 2 чаще встре­чаются более высокие и более низкие, чем средняя, значения признака.

Рис. 4.1. Кривые распределения признака с меньшим диапазоном вариативности при­знака (1) и большим диапазоном распределения признака (2); х - значения признака;

f - относительная частота их встречаемости

Именно такое соотношение может наблюдаться в распределении фенотипических признаков у мужчин (кривая 2) и женщин (кривая 1). Фенотипическая дисперсия мужского пола должна быть больше, чем женского (Геодакян В.А., 1974; 1993). Мужчины - это авангардная часть популяции, ответственная за поиск новых форм приспособления, поэтому у них чаще встречаются редкие крайние значения различных фенотипических признаков. Эти отклонения, по мнению В.А. Геодакяна, носят "футуристический" характер, это "пробы", включающие как будущие возможные пути эволюции, так и ошибки (Геодакян В.А., 1974, с. 381). В то же время женская часть популяции ответственна за сохранение уже накопленных изменений, поэтому у них чаще встреча­ются средние значения фенотипических признаков.

Анализ реально получаемых в исследованиях распределений мо­жет позволить нам подтвердить или опровергнуть данные теоретические предположения.

На Рис. 4.2 представлены два распределения, различающиеся по знаку асимметрии: распределение 1 характеризуется положительной асимметрией (левосторонней), а распределение 2 — отрицательной (правосторонней).

Рис. 4.2. Кривые распределения признака с положительной (левосторонней) асимметри­ей (1) и отрицательной (правосторонней) асимметрией (2); х - значения признака; ( -относительная частота их встречаемости

Данные кривые могут отражать распределение времени решения простой задачи (кривая 1) и трудной задачи (кривая 2). Простую за­дачу большинство испытуемых решают быстро, поэтому большая часть значений группируется слева. В то же время сама простота задачи мо­жет привести к тому, что некоторые испытуемые будут думать над нею очень, очень долго, дольше даже, чем над сложной. Трудную задачу большинство испытуемых решают в тенденции дольше, чем простую, но в то же время почти всегда находятся люди, которые решают ее мгно­венно.

Если мы докажем, что распределения статистически достоверно различаются, это может стать основой для построения классификаций задач и типологий испытуемых. Например, мы можем выявлять испы­туемых со стандартным соотношением признаков: простую задачу они решают быстро, а трудную - медленно, — и испытуемых с нестандарт­ным соотношением: простую задачу решают медленно, а трудную - быстро и т.п. Далее мы можем сравнить выявленные группы испытуемых по показателям мотивации достижения, так как известно, что лица с преобладанием стремления к успеху предпочитают задачи средней труд­ности, где вероятность успеха примерно 0.5, а лица с преобладанием стремления избегать неудачи предпочитают либо очень легкие, либо, наоборот, очень трудные задачи (МсСlelland D.С, Winter D.G., 1969). Таким образом, и здесь сопоставление форм распределения мо­жет дать начало научному поиску.

Часто нам бывает полезно также сопоставить полученное эмпи­рическое распределение с теоретическим распределением. Например, для того, чтобы доказать, что оно подчиняется или, наоборот, не под­чиняется нормальному закону распределения. Это лучше делать с по­мощью машинных программ обработки данных, особенно при больших объемах выборок. Подробные программы машинной обработки можно найти, например, в руководстве Э.В. Ивантер и А.В. Коросова (1992).

В практических целях эмпирические распределения должны про­веряться на "нормальность" в тех случаях, когда мы намерены исполь­зовать параметрические методы и критерии. В данном руководстве это относится лишь к методам дисперсионного анализа, поэтому способы проверки совпадения эмпирического распределения с нормальным опи­саны в Главе 7, посвященной однофакторному дисперсионному анализу.

Традиционные для отечественной математической статистики кри­терии определения расхождения или согласия распределений - это метод χ²К. Пирсона и критерий X Колмогорова-Смирнова.

Оба эти метода требуют тщательной группировки данных и до­вольно сложных вычислений. Кроме того, возможности этих критериев в полной мере проявляются на больших выборках (n>30). Тем не ме­нее они могут оказаться столь незаменимыми, что исследователю при­дется пренебречь экономией времени и усилий. Например, они незаме­нимы в следующих двух случаях:

в задачах, требующих доказательства неслучайности предпочтений в выборе из нескольких альтернатив;

в задачах, требующих обнаружения точки максимального расхожде­ния между двумя распределениями, которая затем используется для перегруппировки данных с целью применения критерия φ* (углового преобразования Фишера).

Рассмотрим вначале традиционные методы определения расхож­дения распределений, а затем возможности использования критерия φ* Фишера.

4,2. χ² критерий Пирсона

Назначения критерия

Критерий χ² применяется в двух целях;

1) для сопоставления эмпирического распределения признака с теоре­тическим - равномерным, нормальным или каким-то иным;

2) для сопоставления двух, трех или более эмпирических распределе­ний одного и того же признака[12].

Описание критерия

Критерий χ²отвечает на вопрос о том, с одинаковой ли частотой встречаются разные значения признака в эмпирическом и теоретическом распределениях или в двух и более эмпирических распределениях.

Преимущество метода состоит в том, что он позволяет сопостав­лять распределения признаков, представленных в любой шкале, начиная от шкалы наименований (см. п. 1.2). В самом простом случае альтерна­тивного распределения "да - нет", "допустил брак - не допустил бра­ка", "решил задачу - не решил задачу" и т. п. мы уже можем приме­нить критерий χ².

Допустим, некий наблюдатель фиксирует количество пешеходов, выбравших правую или левую из двух симметричных дорожек на пути из точки А в точку Б (см. Рис. 4.3).

Допустим, в результате 70 наблюдений установлено, что Э\ чело­век выбрали правую дорожку, и лишь 19 - левую. С помощью критерия χ²мы можем определить, отличается ли данное распределение выборов от равномерного распределения, при котором обе дорожки выбирались бы с одинаковой частотой. Это вариант сопоставления полученного эм­пирического распределения с теоретическим. Такая задача может сто­ять, например, в прикладных психологических исследованиях, связанных с проектированием в архитектуре, системах сообщения и др.

Но представим себе, что наблюдатель решает совершенно другую задачу: он занят проблемами билатерального регулирования. Совпадение полученного распределения с равномерным его интересует гораздо в меньшей степени, чем совпадение или несовпадение его данных с дан­ными других исследователей. Ему известно, что люди с преобладанием правой ноги склонны делать круг против часовой стрелки, а люди с преобладанием левой ноги - круг по ходу часовой стрелки, и что в ис­следовании коллег[13] преобладание левой ноги было обнаружено у 26 человек из 100 обследованных.

С помощью метода χ² он может сопоставить два эмпирических распределения: соотношение 51:19 в собственной выборке и соотноше­ние 74:26 в выборке других исследователей.

Это вариант сопоставления двух эмпирических распределений по простейшему альтернативному признаку (конечно, простейшему с математической точки зрения, а отнюдь не психологической).

Аналогичным образом мы можем сопоставлять распределения выборов из трех и более альтернатив. Например, если в выборке из 50 человек 30 выбрали ответ (а), 15 человек - ответ (б) и 5 человек -ответ (в), то мы можем с помощью метода χ² проверить, отличается ли это распределение от равномерного распределения или от распределения ответов в другой выборке, где ответ (а) выбрали 10 человек, ответ (б) -25 человек, ответ (в) - 15 человек.

В тех случаях, если признак измеряется количественно, скажем, вбаллах, секундах или миллиметрах, нам, быть может, придется объединить все обилие значений признака в несколько разрядов. Например, если время решения задачи варьирует от 10 до 300 секунд, то мы можем ввести 10 или 5 разрядов, в зависимости от объема выборки. На­пример, это будут разряды: 0-50 секунд; 51-100 секунд; 101-150 секунд, и т. д. Затем мы с помощью метода χ²будет сопоставлять частоты встречаемости разных разрядов признака, но в остальном принципиаль­ная схема не меняется.

При сопоставлении эмпирического распределения с теоретическим мы определяем степень расхождения между эмпирическими и теорети­ческими частотами.

При сопоставлении двух эмпирических распределений мы опреде­ляем степень расхождения между эмпирическими частотами и теорети­ческими частотами, которые наблюдались бы в случае совпадения двух этих эмпирических распределений. Формулы расчета теоретических час­тот будут специально даны для каждого варианта сопоставлений.

Чем больше расхождение между двумя сопоставляемыми распре­делениями, тем больше эмпирическое значение у}.

Гипотезы

Возможны несколько вариантов гипотез, в зависимости от задач,

которые мы перед собой ставим.

Первый вариант:

Н₀: Полученное эмпирическое распределение признака не отличается от теоретического (например, равномерного) распределения.

Н₁: Полученное эмпирическое распределение признака отличается от теоретического распределения.

Второй вариант:

Н₀: Эмпирическое распределение 1 не отличается от эмпирического распределения 2.

Н₁: Эмпирическое распределение 1 отличается от эмпирического рас­пределения 2.

Третий вариант:

Н₀: Эмпирические распределения 1, 2, 3, ... не различаются между собой.

Н₁: Эмпирические распределения 1, 2, 3, ... различаются между собой.

Критерий χ² позволяет проверить все три варианта гипотез.