Обобщенный МНК для корректировки гетероскедастичности
При нарушении гомоскедастичности и наличии автокорреляции ошибок рекомендуется традиционный МНК заменять обобщенным методом (методом GLS).
Обобщенный МНК применяется к преобразованным данным и позволяет получать оценки, которые обладают не только свойством несмещенности, но и имеют меньшие выборочные дисперсии. Специфика обобщенного МНК применительно к корректировке данных при автокорреляции остатков будет рассмотрена далее.
Среднее значение остаточных величин равно 0, дисперсия их не остается неизменной для разных знаний фактора, а пропорциональна величине Кi:
- дисперсия ошибки при конкретном значении факторов;
- постоянная дисперсия ошибки при соблюдении предпосылки о гомоскедастичности остатков;
Кi – коэффициент пропорциональности, меняющийся с изменением величины фактора, что и обуславливает неоднородность дисперсии.
- неизвестна, а в отношении величины К выдвигаются определенные гипотезы, характеризующие структуру гетероскедастичности.
при
,
В ней остаточные величины гетероскедастичны. Предполагая в них отсутствие автокорреляции, можно перейти к уравнению с гомоскедастичными остатками, поделив все переменные, зафиксированные в ходе i-го наблюдения на .
Следовательно, от регрессии у по х мы перейдем на новых переменных: и
. Уравнение регрессии примет вид:
Исходные данные для данного уравнения будут иметь вид:
,
По отношению к обычной регрессии уравнение с новыми, преобразованными переменными представляет собой взвешанную регрессию, в которой переменные у и х взяты с весами .
Оценка параметров нового уравнения с преобразованными переменными приводит к взвешанному МНК, для которого необходимо минимизировать сумму квадратов отклонений.
Получим следующую систему уравнений:
Если преобразованные переменные х и у взять в отклонениях от средних уровней, то коэффициент регрессии b можно определить как:
При обычном применении МНК к уравнению минимальной регрессии для переменных в отклонениях от средних уровней коэффициента регрессии b определяется по формуле:
При использовании обобщенного МНК с целью корректировки гетескедастичности коэффициент регрессии b представляет собой взвешанную величину по отношению к обычному МНК с весами 1/К.
Аналогичный подход возможен не только для уравнения парной, но и для множественной регрессии.
Предположим, что рассматривается модель вида:
, для которой дисперсия остаточных величин оказалась пропорциональна
- представляет собой коэффициент пропорциональности, принимающий разложение знания для соответствия i знания факторов х1 и х2. Ввиду того, что
, рассматриваемая модель примет вид:
, где ошибки гетероскедастичны.
Для того, чтобы получить уравнение, где остатки гомоскедастичны, перейдем к новым преобразованным переменным, разделим все члены исходного уравнения на коэффициент пропорциональности К. Уравнение с преобразованными переменными составит:
Это уравнение не содержит свободные члены. Вместе с тем, найдя переменные в новом преобразованном виде и применяя обычный МНК к ним, получим иную спецификацию модели:
Параметры такой модели зависят от концепции, принятой для коэффициента пропорциональности К. В эконометрических исследованиях довольно часто выдвигается гипотеза, что остатки пропорциональны значениям факторов. Так, если в уравнении
предположить, что
, т.е. K= x1 и
, то обобщенный МНК предполагает оценку параметров следующего трансформируемого уравнения:
Если предположить, что ошибки пропорциональны хр, то модель примет вид:
Применение в этом случае обобщенного МНК приводит к тому, что наблюдения с наименьшими знаниями преобразованных переменных имеют при определении параметров регрессии относительно больший вес, чем с первоначальными переменными. Вместе с тем, следует иметь в виду, что новые преобразованные переменные получают новое экономическое содержание и их регрессия имеет иной смысл, чем регрессия по исходным данным.