Критерий Вайта (White)

Шаг 1. Вычисляют остатки исходного эконометрического уравнения

Шаг 2.Образовывают вспомогательную модель:

Шаг 3.Осуществляют МНК-оценивания регрессии, полученной на предыдущем шаге и проверяют значимость ее параметров по пра-вилу:

,

где 5 – число экзогенных переменных, исключая константу.

При подтверждении данного неравенства делают вывод о наличии гетероскедастичности.

Основным методом, позволяющим производить оценивания и принимать решения по эконометрическим моделям, функционирующим в рамках гетероскедастичности, является взвешенный (обобщенный) МНК. Приведем его описание для случая множественной регрессии с двумя экзогенными переменными.

Пусть модель такова, что

где Причем где

Тогда, преобразуя модель следующим образом:

приходим к модели с отсутствием гетероскедастичности.

Далее оценивают параметры и по классическому МНК на основе преобразованных переменных:

Пример. Рассмотрим модель зависимости потребления бензина в регионе с номером от числа автомобилей, зарегистрированных в указанном регионе , и налогa на бензин в этом регионе :

Обработав данные по всем 50 регионам, получим[13]:

Применим критерий Парка для проверки гетероскедастичности полученной модели, выбрав фактором пропорциональности экзогенную переменную, которая более чувствительна к изменению объекта наблюдения (штата), т.е.

Тогда

Применяя t-критерий, получим:

Следовательно, в условиях установленной гетероскедастичности, необходимо применять взвешенный МНК:

.

В ряде прикладных исследований, касающихся оценки инфляции, внешней торговли и т.д., была обнаружена общая закономерность в поведении случайных остатков ; их малые и большие значения группировались целыми «семьями», что приводило к появлению гетероскедастичности, являющейся причиной неудовлетворительных прогнозов по таким моделям.

Поэтому были предложены следующие модели остатков, позволяющие устранять указанную проблему.

1) Модель авторегрессионных и условно гетероскедастичных остатков (ARCH, Engl, 1982):

Тогда

Использование этой модели оказалось достаточно эффективным для оценки инфляции в Великобритании.

2) Обобщенная модель (GARCH, Bollerslev, 1986)

была успешно использована для оценки уровня инфляции в США.

Для диагностики моделирования остатков, использующего GARCH модель, применяют алгоритм критерия Льюнга-Бокса:

1) Оценивают модель по МНК, находят остатки и рассчитывают

2) Оценивают выборочную автокорреляцию:

3) Рассчитывают статистику Льюнга-Бокса:

Если , то делают вывод о наличии условной гетероскедастичности.

IV. Проблема инверсии эконометрических моделей.

В причинных взаимосвязях, возникающих в условиях полной определенности, можно по прямой зависимости однозначно восстановить и обратную связь между переменными. Например, для линейной и квадратической функций обратная зависимость имеет соответствующий вид:

; .

Однако в обстановке неопределенности, когда в модели участвует ненаблюдаемая шоковая переменная , возникает проблема невозможности, оценив прямую зависимость, восстановить и обратную. Покажем существование этой проблемы для модели ПЛР:

. (4.4)

Обратная зависимость для модели (1) имеет вид:

. (4.5)

Если бы существовала однозначная зависимость моделей (4.4) и (4.5), то имели бы место соотношения:

Проведем анализ МНК-оценок параметров моделей (4.4) и (4.5), который и даст возможность выявить проблему инверсии.

Применив МНК для прямой модели (4.4), получим:

Если же применить МНК для обратной модели (4.5):

,

тогда, например,

Проблема инверсии предусматривает недостаточность аппарата МНК и указывает на привлечение дополнительных знаний о переменных, участвующих в модели.

Задача 4.1. С целью предотвращения убытков, причиненных студентами, проживающими в общежитии института, декан решил воспользоваться эконометрической моделью

которую удалось оценить по данным общежитий ( ).

Здесь – суммарные убытки, причиненные i-му общежитию;

– доля студентов i-ого общежития, причинивших убытки;

– число студентов, проживающих в i-м общежитии;

– число инцидентов, которые произошли по вине студентов i-ого общежития, употреблявших алкогольные напитки (которые могут как повлечь убытки, так и не влиять на убытки i-ого общежития).

1. Проверьте знаки коэффициентов модели и значимость параметров модели с надежностью .

2. Какие проблемы (пропущенные, избыточные переменные или мультиколлинеарность) могут возникнуть в данной модели? Почему?

3. Если известно, что коэффициент корреляции переменных и равен 0,94, какая проблема возникает при применении данной модели?

4. Может ли неправдоподобный знак при переменной служить причиной мультиколлинеарности? Почему?

Задача 4.2. Пусть построена модель годового предложения товаров длительного пользования, выпускаемых некоторой фирмой:

_.

где – предложение товаров длительного пользования в году t;

– средняя цена на товар главного конкурента фирмы;

– средняя цена на товары, выпускаемые фирмой в году t;

– ВНП в году t;

– валовое потребление в году t;

– число торговых точек, продающих товары, произведенные фирмой, открытых в году t.

1. Проверьте правдоподобие знаков параметров модели и значимость параметров с уровнем значимости .

2. Какие проблемы (пропущенные, избыточные или мультипликативные) имеются у данной модели?

3. Пусть известно, что , , . Какое уточнение Вашего ответа на предыдущий вопрос?

4. Какие рекомендации вы могли бы предложить по улучшению спецификации данной модели?

Задача 4.3. Пусть имеется эконометрическая модель зависимости расходов на оборону из госбюджета:

где – расходы на оборону в -м регионе;

– сумма военных проектов, размещенных в -м регионе, направленная из госбюджета;

– зарплата служащих, занятых в отраслях, ориентированных на оборону -ого региона;

– число гражданских служащих, занятых в отраслях, ориентированных на оборону -ого региона.

1. Проверьте правдоподобие знаков и значимость параметров модели с надежностью .

2. Если известно, что инфляционные факторы превышают уровень, равный 20; более того , какой вывод позволит сделать такая информация?

3. Какие рекомендации, способствующие улучшению спецификации рассматриваемой модели, Вы предложили бы?

Задача 4.4. Если финансист пытается оценить спрос на акции в зависимости от следующих трех экзогенных переменных: текущих активов ; активов, которые имелись в предыдущем квартале _, и при изменении активов , то с какой проблемой ему придется столкнуться? Какие меры следует предпринять, чтобы решить эту проблему?

Задача 4.5. Пусть построена эконометрическая модель зависимости еженедельных расходов ( ) на приобретение продуктов питания домашним хозяйством вида:

где – недельный располагаемый доход i-ого домашнего хозяйства;

– число членов семьи i-ого хозяйства;

– число детей (до 19 лет) в i-м хозяйстве.

1. Проверьте знаки и значимость параметров модели на уровне значимости .

2. Соответствует ли экономическому смыслу выбранная форма зависимости в модели?

3. Пусть известны инфляционные факторы переменных A и H: . Как эта информация повлияет на Ваш ответ на предыдущий вопрос?

4. Какое изменение спецификации модели Вы могли бы предложить?

Задача 4.6. Воспользуйтесь таблицами распределения статистики Дарбина-Вотсона для проверки наличия проблемы автокорреляции для моделей и гипотез, предложенных в следующей таблице:

№	DW				Одностороння гипотеза (1) Двусторонняя гипотеза (2)
	0,81			0,95
	3,48			0,95
	1,56			0,99
	2,84			0,95
	1,75			0,95
	0,91			0,95
	1,03			0,95

Задача 4.7. Рассмотрим модель удельного потребления говядины по данным, собранным в течение лет:

где – удельное потребление говядины в -м году;

– логарифм реального удельного располагаемого дохода;

– среднегодовая реальная розничная цена на говядину в -м году;

– среднегодовая реальная удельная цена на свинину в -м году;

– фиктивная переменная, принимающая значение равное 1, если ; равное 0, если , указывающая на риск, связанный с заболеванием коров, произошедшим в - м году.

1. Проанализируйте правдоподобие знаков при коэффициентах модели и значимость параметров с надежностью .

2. Проверьте модель на автокорреляцию, применив критерий Дарбина-Вотсона с уровнем значимости .

3. Пусть в результате использования обобщенного МНК была получена модифицированная модель для зависимости из задачи 4.7:

Сравните две модели. Какую из них Вы предпочтете и почему?

Задача 4.8. Пусть менеджер, занимающийся поставкой свинины, решил проверить гипотезу о том, что поросята набирают вес быстрее, если их кормить только ночью, чем когда их кормить в течение дня. Отобрав животных, в случайном отборе часть из них откармливали в течение дня, а часть – ночью, в результате получена следующая модель:

где – процент прироста веса -ого животного;

– фиктивная переменная, принимающая значение 1, если выбран самец; 0 – если самка;

– фиктивная переменная, равная 1, если животное откармливалось ночью;

– количество пищи, ежедневно направляемое на откорм -ого животного.

1. Проверьте наличие автокорреляции, используя критерий Дарбина-Вотсона с надежностью

2. Проверьте значимость параметров на уровне значимости Какой Ваш вывод о справедливости проверяемой гипотезы?

3. Пусть наблюдения упорядочиваются в зависимости от возраста животных: от самого молодого до самого старого. Изменит ли данное упорядочение какой-либо из полученных Вами ответов?

Задача 4.9. Примените критерий Парка для проверки наличия гетероскедастичности в следующих условиях на уровне значимости .

1. Рассчитанное значение -статистики составило 3,561 для параметра модели при факторе пропорциональности , а число степеней свободы составило 25.

2. Если полученные значения отклонений и значений фактора пропорциональности представлены в таблице:

№ наблюдения ( )
	3,147
	9,394
	-2,344
	-1,034
	5,678
	2,113
	-4,356

3. Как изменится Ваш вывод о гетероскедастичности, если .

Задача 4.10. В работе Андо А. и Модильяни Ф. [15] были собраны следующие данные о доходе и потреблении сгруппированных домашних хозяйств:

Доход (интервалы) в (USD) ( )	Средний доход (USD) ( )	Среднее потребление (USD) ( )
0 ÷ 999
1000 ÷ 1999
2000 ÷ 2999
3000 ÷ 3999
4000 ÷ 4999
5000 ÷ 5999
6000 ÷ 7499
7500 ÷ 9999
10000 и выше

1. Постройте линейную регрессионную модель зависимости от .

2. Проверьте по критерию Парка гипотезу о гетероскедастичности ( ) на уровне значимости .

3. Если в модели имеется лишь одна экзогенная переменная, то какой вид имеет уравнение модели для взвешенного МНК?

4. Какие меры Вы предпримете, если гипотеза, проверяемая в пункте 2), подтвердилась?

Задача 4.11. В каждой из следующих моделей из предлагаемых экзогенных переменных выделите потенциальный фактор пропорциональности ( ), объясняющий уровень гетероскедастичности

а) число экономических факультетов среди большого числа колледжей и вузов данного региона как функция от числа средних школ, числа экономических дисциплин и классов в школах; числа преподавателей по экономике в этих школах.

б) ВНП в странах как функция от валовых инвестиций, темпа роста денежной массы, темпа роста процентной ставки, численности населения.

в) спрос на овощи как функция от реальной цены, располагаемого дохода, располагаемого дохода на душу населения.

Задача 4.12. Рассмотрим следующую двойную логарифмическую модель:

R² = 0,620; T = 430.

где – валовой сельскохозяйственный продукт -й фермы в год;

– число рабочих дней на -й ферме в год;

– количество (га) земли, принадлежащей -й ферме в текущем году;

– число перерабатывающих цехов и оборудования на -й ферме в году;

– число живого инвентаря (включая плодовые деревья) с переменными издержками -й фермы в год.

а) проверьте правдоподобие знаков у коэффициентов модели и их значимость на уровне надежности .

б) если критерий Парка, проведенный на основе выбора как потенциального фактора неравноточности наблюдений , указал на гетероскедастичность, можно ли сделать вывод о наличии этой проблемы у двойной логарифмической модели?

в) проведите преобразование модели, которое позволит избежать гетероскедастичности.

г) если решено применить взвешенные МНК, то какой вывод будет иметь модель, пригодная для этой цели?

Задача 4.13. Пусть общая форма функциональной зависимости между фактором пропорциональности и ошибочным фактором ( ) ( , где – гомоскедастичный фактор) для применения взвешенного МНК позволяет преобразовать модель к виду:

,

где ранее входила во множество экзогенных переменных модели.

Укажите преобразованные модели для применения взвешенного МНК в следующих случаях:

а) , где ;

б) , где – переменная, не присутствующая среди экзогенных переменных;

в) , где – оценка зависимой переменной по исходной регрессионной модели.

Задача 4.14. Пусть построена эконометрическая модель, объясняющая годовой тираж региональных газет:

где Т = 50;

– годовой тираж -й газеты;

– средняя цена -й газеты в год;

– общий доход жителей региона, в котором распространялась -я газета;

– число персональных рубрик редактора в -й газете;

– размер цены (розничной) на рекламу, размещаемую в -й
газете;

– число конкурирующих изданий в регионе, где распространяется -я газета;

– число телевизионных каналов в регионе распространения -й газеты.

а) проверьте правдоподобие знаков у коэффициентов модели
и значимость параметров с надежностью .

б) примените критерий Парка для проверки гетероскедастичности, если , на уровне значимости .

в) всесторонне обсудите, какие могут появиться проблемы спецификации и нерегулярности в рассматриваемой модели.

г) предложите модификации модели, которая, на Ваш взгляд,
будет более адекватна, чем предложенная модель.