П.4 Дифференциальные уравнения порядка выше первого

Уравнение вида или решается двукратным интегрированием: , , откуда . Проинтегрировав эту функцию, получим новую функцию от f(x), которую обозначим через F(x). Таким образом, ; . Интегрируем еще раз: или у=Ф(х) . Получили общее решение уравнения , содержащее две произвольные постоянные и .

Пример 1.Решить уравнение .

Решение: , , ,

Пример 2.Решить уравнение . Решение: , , .

РАЗДЕЛ 3.2. Числовой ряд, его члены

Определение 1.Числовым рядом называется выражение вида + +…+ +…, (1)

где , , …, , …— числа, принадлежащие некоторой определенной числовой системе.

Так, можно говорить о действительных рядах, для которых R, о комплексных рядах, для которых C, i= 1, 2, …, n, …

Для сокращенного обозначения рядов используется знак суммирования , а именно

+ + … + + … = . (2)

Определение 2. Числа , , …, , …называются членами ряда (2); a_n называется общим членом ряда. Иногда общий член удобнее записывать так, чтобы индекс n принимал значения n=0, 1, 2,…

Определение 3. Ряд (3) называется рядом геометрической прогрессии.

Если, например, a = 1, q = 1/2, то получим ряд 1 + + + …+ + … = .

Определение 4. Ряд = 1 + + + … + + …, составленный из чисел, обратных натуральным числам, называется гармоническим рядом.

Другие примеры рядов:

= 1 + + + … + + …,

= 1 + + + … + + …

Определение 5. Сумма первых n членов ряда называется частичной суммой ряда.

Признак Даламбера.Теорема. Пусть дан ряд (1) с положительными членами. Допустим, что существует и = .

Тогда:

1) если < 1, то ряд (1) сходится;

2) если > 1, то ряд (1) расходится;

3) если =1, то следует воспользоваться другим признаком сходимости.

Пример 1: Исследовать на сходимость ряд: . Решение: Здесь , и поэтому < 1. Следовательно, данный ряд сходится.

Пример 2: Исследовать на сходимость ряд + + + … + + … = .

Решение: = = = < 1. Следовательно, данный ряд сходится.

Пример 3: Исследуйте на сходимость ряд: .

Решение: Имеем = = = = .

Раздел 3.3. Основы теории вероятностей и математической статистики

Тема 1. Комбинаторика

П.1 Понятие факториала

Произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно называют n-факториалом и пишут: n!=1·2·3·…·(n-1)·n

Вычислить: 3! Решение: 3!=1·2·3=6

п.2 Перестановки

Определение: Комбинации из n элементов, которые отличаются друг от друга только порядком элементов называются перестановками или Установленный в конечном множестве порядок называется перестановкой его элементов.

Число перестановок из n элементов обозначается Р_n, их вычисляют по формуле:

Р_n = n·(n-1)·(n-2)·…·3·2·1 или с помощью факториала: Р_n = n!

Следствия: Р₀=1! =1; Р₁=1!=1

Пример: Сколькими способами можно рассадить 10 гостей по десяти местам за праздничным столом?

Решение: Искомое число способов равно числу перестановок из 10 элементов:

Р₁₀ = 10! = 3 628 800

П.3 Размещения

Определение: Комбинация из n элементов по m элементов, которые отличаются друг от друга или самими элементами или порядком элементов, называются размещениями.

Число размещений обозначается и вычисляется по формуле:

Пример: Перед выпуском группа студентов в 30 человек обменялась фотокарточками. Сколько всего было роздано фотокарточек?

Решение: Передача фотокарточек одним студентом другому есть размещение из 30 элементов по 2 элемента:

- число размещений равно 870.

П.4 Сочетания

Определение: Сочетаниями называются все возможные комбинации из n элементов по m, которые отличаются друг от друга по крайней мере хотя бы одним элементом (здесь m и n - натуральные числа, причем m ≤ n).

Число сочетаний обозначается и вычисляется по формуле:

Пример: Сколькими способами можно распределить 12 человек по бригадам, если в каждой бригаде по 6 человек?

Решение: Состав каждой бригады является конечным множеством из 12 элементов по 6. Значит, искомое число способов равно числу сочетаний из 12 элементов по 6 в каждом:

Тема 2. Основные понятия теории вероятности

Основные понятия и определения

Всякое действие, явление, наблюдение с несколькими различными исходами, реализуемое при данном комплексе условий, будем называть испытанием.

Например, многократное подбрасывание монеты, процесс изготовления какой-либо детали представляют собой испытания.

Результатом этого действия или наблюдения будем называть случайным событием.

Например, появление цифры при подбрасывании монеты является случайным событием, поскольку оно могло произойти или не произойти.

Если вас интересует какое-либо определенное событие из всех возможных событий, то будем называть его искомым событием (или искомым исходом).

Все рассматриваемые события будем считать равновозможными, т. е. такими, которые имеют равные возможности произойти.

События принято обозначать заглавными буквами латинского алфавита: A, В, С, D.

События называются несовместными, если никакие два из них не могут произойти в данном опыте вместе. В противном случае называются совместными.

Так при подбрасывании монеты появление цифры исключает одновременное появление герба; это – пример несовместимых событий.

Событие называется достоверным, если оно происходит в данном испытании обязательно.

Например, выигрыш по билету беспроигрышной лотереи есть событие достоверное.

Событие называется невозможным, если оно в данном опыте не может произойти.

Например, при бросании игральной кости невозможно получить 7 очков.

Полной системой событий А₁, А₂, А₃, …, А_n называется совокупность несовместных событий, наступление хотя бы одного из которых обязательно при данном испытании.

Так, выпадение одного, двух, трех, четырех, пяти или шести очков при бросании игральной кости есть полная система событий, поскольку все эти события несовместны и наступление хотя бы одного из них обязательно.

Если полная система состоит из двух событий, то такие события называются противоположными и обозначаются А и Ā.