Сравнение исправленной выборочной дисперсии с гипотетической генеральной дисперсией
Нулевая гипотеза :
. Конкурирующая гипотеза
:
;
Статистика для проверки: ;
Критическое значение критерия определяется по таблицам критических точек распределения , где
.
Если , то нулевая гипотеза не отвергается.
Нулевая гипотеза :
. Конкурирующая гипотеза
:
;
Статистика для проверки: ;
Критическое значение критерия определяется по таблицам критических точек распределения , где
.
Если , то нулевая гипотеза не отвергается.
Нулевая гипотеза :
. Конкурирующая гипотеза
:
;
Статистика для проверки: ;
Критическое значение критерия определяется по таблицам критических точек распределения , где
.
Если , то нулевая гипотеза не отвергается.
Построение теоретического закона распределения по опытным данным. Проверка гипотезы о законе распределения
Одной из важнейших задач математической статистики является установление теоретического закона распределения изучаемого признака по опытным данным – имеющейся выборке из генеральной совокупности.
Наиболее часто используется критерий согласия Пирсона или -критерий.
В критерии согласия Пирсона проверяется статистическая гипотеза о виде теоретического закона распределения. Сравнивается с критическим значением сумма квадратов отклонений опытного числа попаданий в каждый интервал
от теоретического их числа
, где
- теоретические вероятности попадания в i-й интервал значений изучаемого признака в случае действительной реализации подобранного закона распределения. Вычисляемая статистика
сравнивается с критическим значением
, где
- уровень значимости,
- число степеней свободы дисперсии,
- число параметров в теоретическом законе распределения. Если
гипотеза принимается.
Пример. Для примера 1 по критерию Пирсона проверить гипотезу о нормальном законе распределения на уровне значимости .
3 Был получен вариационный ряд:
i | ||||||||
![]() | 87–91 | 91 – 95 | 95 – 99 | 99– 103 | 103–107 | 107–111 | 111-115 | 115-119 |
![]() | ||||||||
![]() | 0,04 | 0,1 | 0,16 | 0,33 | 0,16 | 0,05 | 0,15 | 0,01 |
и построена гистограмма. Вид гистограммы позволяет предположить, что изучаемый признак распределен нормально. Теоретические значения математического ожидания и среднего квадратического отклонения
неизвестны, поэтому заменяем их «наилучшими оценками»
и
.
Для расчета вероятностей попадания признака в интервалы используем таблицы функций Лапласа:
. Теоретические частоты
, так:
Для вычисления статистики удобно пользоваться таблицей:
i | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
87–91 | 0,03 | 3,0 | 1,0 | 0,33 | ||
91 – 95 | 0,08 | 8,0 | 4,0 | 0,25 | ||
95 – 99 | 0,16 | 16,0 | 0,0 | 0,0 | ||
99– 103 | 0,18 | 18,0 | 225,0 | 18,12 | ||
103–107 | 0,22 | 22,0 | 36,0 | 1,63 | ||
107–111 | 0,2 | 20,0 | 225,0 | 11,25 | ||
111-115 | 0,15 | 15,0 | 0,0 | 0,0 | ||
115-119 | 0,02 | 2,0 | 1,0 | 0,25 | ||
![]() | 1,04 | 31,83 |
Число степеней свободы дисперсии ;
. Так как
, то гипотеза о нормальном законе распределения отвергается. 4