Алгоритм решения дифференциального уравнения первого порядка
y' = f(x,y) с разделяющими переменными
1. Рассмотрим производную y' как отношение дифференциалов ,
2. Перенесем dx в правую часть и разделим уравнение на h(y):
3. Разделим обе части уравнения на h(y) ≠ 0
4. Запишем уравнение в форме:
5. Проинтегрируем дифференциальное уравнение:
где C − постоянная интегрирования.
6. Вычислим интегралы, получаем выражение
Алгоритм решения дифференциального уравнения первого порядка
вида
1. Пусть y = uv, тогда по правилу дифференцирования произведения функций и линейное дифференциальное уравнения первого порядка примет вид
или
2. Выберем функцию v(x) так, чтобы в этом уравнении выражение в скобках обратилось в нуль:
3. Разделим в уравнении переменные.
4. Выполним почленное интегрирование, найдём функцию v. Так как функция v - решение уравнения, то её подстановка в уравнение даёт
5. Найдём функцию u как общее решение этого уравнения.
6. Найдем решение исходного линейного дифференциального уравнения первого порядка. Оно равно произведению функций y = uv.
Содержание отчета
1. Титульный лист в соответствии с СТП1.2-2005.
2. Цель работы
3. Задание
4. Выполненная практическая работа в соответствии с заданием
5. Ответы на контрольные вопросы
6. Вывод
Контрольные вопросы:
1. Дайте определение дифференциального уравнения.
2. Дайте определение общего решения дифференциального уравнения.
3. Дайте определение дифференциального уравнения с разделяющими переменными.
4. Дайте определение дифференциального уравнения первого порядка.
5. Запишите формулу уравнение Бернулли.
ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №7
Тема: Разложение функций в ряд Фурье.
Цель работы:Закрепить и систематизировать знания по теме: «Ряды».
Задание: Найдите первые четыре члена ряда по заданному члену:
1. | ![]() | 4. | ![]() |
2. | ![]() | 5. | ![]() |
3. | ![]() | 6. | ![]() |
Задание: Найти формулу общего члена ряда по его данным первым членам:
7. | 1−8+27−64+125−216+343−…. | 10. | ![]() |
8. | ![]() | 11. | ![]() |
9. | ![]() | 12. | ![]() |
Задание: Найти предел частичной суммы ряда и сделать вывод о сходимости или расходимости ряда:
13. | ![]() | 16. | ![]() |
14. | ![]() | 17. | ![]() |
15. | ![]() | 18. | ![]() |
Задание: Исследовать ряд на сходимость, применяя признак Даламбера:
19. | ![]() | 22. | ![]() |
20. | ![]() | 23. | ![]() |
21. | ![]() | 24. | ![]() |
Задание: Разложите в ряд Фурье функцию:
25. | ![]() | 28. | ![]() |
26. | ![]() | 29. | ![]() |
27. | ![]() | 30. | ![]() |
Пояснения к работе:
Необходимые формулы:
Частичная сумма ряда
Пусть — числовой ряд.
Число называется n-ой частичной суммой ряда .
Сумма (числового) ряда — это предел частичных сумм , если он существует и конечен. Таким образом, если существует число
то в этом случае пишут
. Такой ряд называется сходящимся. Если предел частичных сумм не существует или бесконечен, то ряд называется расходящимся.
Признак Даламбера:
Если для ряда с положительными членами существует
, то при p<1 ряд сходится, при p>1 ряд расходится, при p=1 вопрос о сходимости остается открытым.
Разложение в ряд Фурье периодических функций Т=2L,
Коэффициенты Фурье
;
;
; n = 1, 2, 3, …:; ; , n = 1, 2, 3, …
Содержание отчета
1. Титульный лист в соответствии с СТП1.2-2005.
2. Цель работы
3. Задание
4. Выполненная практическая работа в соответствии с заданием
5. Ответы на контрольные вопросы
6. Вывод
Контрольные вопросы:
1. Дайте определение числового ряда.
2. Перечислите виды рядов.
3. Дайте определение понятию «сходящийся» и «расходящийся ряд.
4. Сформулируйте признак Даламбера.
5. Запишите общий вид тригонометрического ряда Фурье.