Тема 4.1 Дискретные случайные величины
Случайной величиной(СВ) называют такую величину, которая в результате опыта может принимать те или иные значения, причем до опыта мы не можем сказать, какое именно значение она примет. (Более точно, СВ - это действительная функция, определенная на пространстве элементарных событий Ω).
Случайные величины обозначаются последними буквами латинского алфавита -X.Y.Z. Случайные величины могут быть трех типов: дискретные, непрерывные.
Дискретная случайная величина (ДСВ) может принимать конечное или бесконечное счетное число значений. Например, подбрасываем монету 5 раз. Случайная величина X— число появлений герба: 0, 1, 2, 3, 4, 5.
Пусть X - дискретная случайная величина, которая принимает значения: х1, х2 …, хn… с некоторой вероятностью pi , где i = 1, 2,... , n,...Тогда можно говорить о вероятности того, что случайная величина X приняла значение хi: Pi=P(X=хi).
Значения хi, и соответствующие pi представляют в виде таблицы:
xi | x1 | x2 | xз | … | xn | … |
pi | p1 | p2 | p3 | … | pn | … |
Эта таблица является одной из форм задания ДСВ. Обычно случайные величины располагаются в возрастающем порядке.
Основное свойство таблицы заключено в том, что сумма вероятностей равна1:
= p1 + p2 + p3 +…+ pn +…=1.
Дискретная случайная величина может быть представлена также в виде многоугольника распределения - фигуры, состоящей из точек (xi , p ), соединенных отрезками:
На практике нет необходимости характеризовать величину полностью. Обычно достаточно указать только отдельные числовые параметры распределения. Такие числовые параметры принято называть числовыми характеристиками распределения.
Математическим ожиданием М(Х) ДСВ Xназывается среднее значение случайной величины:
Свойства математического ожидания:
1) М(С) = С, где C=const;
2) М(СХ) = СМ(Х);
3) M(X±Y) = М(Х) + М(Y);
4) Если случайные величины X и Y независимы, то M(XY) = M(X) M(Y).
Дисперсия служит для характеристики рассеяния СВ относительно ее математического ожидания и характеризует форму кривой распределения. Она является более полной оценкой ДСВ.
Пример 1. Пусть заданы СД X и Y:
xi | -1 | |
pi | 0,5 | 0,5 |
yi | -100 | |
pi | 0,5 | 0,5 |
M(X) = -1 0,5+1
0,5=0, M(Y)= -100
0,5+100
0,5=0
Хотя математические ожидания равны, однако случайные величины X и Y явно различны, поэтому для характеристики случайной величины одного математического ожидания недостаточно и необходимо ввести другие характеристики, одна из них дисперсия.
ДисперсиейДСВ X называется математическое ожидание квадрата отклонения СВ от ее математического ожидания:
D(X)=M((X-M(X))2 или D(X)=M(X2)-(M(X))2, где
Найдем дисперсию СД Х (из вышеуказанной таблицы)
M(X2)=(-1)2*0,5+12*0,5=1
D(X)=1-02=1
Дисперсия характеризует средний квадрат отклонения ДСВ, поэтому на практике часто используют в качестве характеристики разброса среднее квадратическое отклонение (X)=
, которое имеет ту же размерность, что и СВ X.