Тема 4.1 Дискретные случайные величины

Случайной величиной(СВ) называют такую величину, которая в результате опыта может принимать те или иные значения, причем до опыта мы не можем сказать, какое именно значение она примет. (Бо­лее точно, СВ - это действительная функция, определенная на про­странстве элементарных событий Ω).

Случайные величины обозначаются последними буквами латинского алфавита -X.Y.Z. Случайные величины могут быть трех типов: дискретные, непрерывные.

Дискретная случайная величина (ДСВ) может принимать конеч­ное или бесконечное счетное число значений. Например, подбрасываем монету 5 раз. Случайная величина X— число появлений герба: 0, 1, 2, 3, 4, 5.

Пусть X - дискретная случайная величина, которая принимает значения: х1, х2 …, хn… с некоторой вероятностью pi , где i = 1, 2,... , n,...Тогда можно говорить о вероятности того, что случайная величи­на X приняла значение хi: Pi=P(X=хi).

Значения хi, и соответствующие pi представляют в виде таблицы:

xi x1 x2 xn
pi p1 p2 p3 pn

Эта таблица является одной из форм задания ДСВ. Обычно случайные величины располагаются в возрастающем порядке.

Основное свойство таблицы заключено в том, что сумма вероятностей равна1:

Тема 4.1 Дискретные случайные величины - student2.ru = p1 + p2 + p3 +…+ pn +…=1.

Дискретная случайная величина может быть представлена также в виде многоугольника распределения - фигуры, состоящей из точек (xi , p Тема 4.1 Дискретные случайные величины - student2.ru ), соединенных отрезками:

На практике нет необходимости характеризовать величину пол­ностью. Обычно достаточно указать только отдельные числовые па­раметры распределения. Такие числовые параметры принято называть числовыми характеристиками распределения.

Математическим ожиданием М(Х) ДСВ Xназывается среднее значение случайной величины:

Тема 4.1 Дискретные случайные величины - student2.ru

Свойства математического ожидания:

1) М(С) = С, где C=const;

2) М(СХ) = СМ(Х);

3) M(X±Y) = М(Х) + М(Y);

4) Если случайные величины X и Y независимы, то M(XY) = M(X) Тема 4.1 Дискретные случайные величины - student2.ru M(Y).

Дисперсия служит для характеристики рассеяния СВ относительно ее математического ожидания и характеризует форму кривой рас­пределения. Она является более полной оценкой ДСВ.

Пример 1. Пусть заданы СД X и Y:

xi -1
pi 0,5 0,5
yi -100
pi 0,5 0,5

M(X) = -1 Тема 4.1 Дискретные случайные величины - student2.ru 0,5+1 Тема 4.1 Дискретные случайные величины - student2.ru 0,5=0, M(Y)= -100 Тема 4.1 Дискретные случайные величины - student2.ru 0,5+100 Тема 4.1 Дискретные случайные величины - student2.ru 0,5=0

Хотя математиче­ские ожидания равны, однако случайные величины X и Y явно различ­ны, поэтому для характеристики случайной величины одного матема­тического ожидания недостаточно и необходимо ввести другие характеристики, одна из них дисперсия.

ДисперсиейДСВ X называется математическое ожидание квадра­та отклонения СВ от ее математического ожидания:

D(X)=M((X-M(X))2 или D(X)=M(X2)-(M(X))2, где Тема 4.1 Дискретные случайные величины - student2.ru

Найдем дисперсию СД Х (из вышеуказанной таблицы)

M(X2)=(-1)2*0,5+12*0,5=1

D(X)=1-02=1

Дисперсия характеризует средний квадрат отклонения ДСВ, по­этому на практике часто используют в качестве характеристики раз­броса среднее квадратическое отклонение Тема 4.1 Дискретные случайные величины - student2.ru (X)= Тема 4.1 Дискретные случайные величины - student2.ru , которое имеет ту же размерность, что и СВ X.

Наши рекомендации