Регрессионные модели множественной корреляции
Корреляционная зависимость результативного признака от нескольких факторов называется множественной корреляцией.
Регрессионной моделью множественной корреляции называется уравнение
,
где f – некоторая математическая функция;
– параметры;
– значения факторов
;
– теоретические значения результативного признака.
Линейная модель корреляционной зависимости результативного признака y от m факторов имеет вид:
,
. (1.11.33)
Модель (1.11.33) так же, как и линейную модель (1.11.5) парной корреляции, можно записать в матричной форме (1.11.9), где
,
,
,
а МНК-оценки параметров этой модели можно вычислить по формуле (1.11.10).
Некоторые нелинейные регрессионные модели множественной корреляции сводятся к линейной модели. Рассмотрим некоторые из них.
1. Полулогарифмическая модель
, (1.11.34)
является линейной моделью относительно .
2. Гиперболическая модель
, (1.11.35)
является линейной моделью относительно .
3. Экспоненциальная модель
, (1.11.36)
логарифмированием преобразуется к линейной модели:
lg
,. (1.11.37)
4. Степенная модель
, (1.11.38)
логарифмированием преобразуется к линейной модели:
lg
,. (1.11.39)
Адекватность модели множественной корреляции оценивается средней ошибкой аппроксимации (1.11.19).
Коэффициент линейной модели показывает, на сколько единиц изменяется значение результативного признака при увеличении k-го фактора на одну единицу.
Сравнение МНК-оценок параметров линейной модели дает представление о степени влияния факторов на результативный признак только тогда, когда они сопоставимы. Чтобы сделать эти оценки сопоставимыми, их нормируют по формуле
, (1.11.40)
где и
- среднеквадратические отклонения соответственно k-го фактора и результативного признака.
Частный коэффициент эластичности:
, (1.11.41)
где - среднее значение k-го фактора,
- среднее значение результативного признака,
- коэффициент линейной модели при k-ом факторе,
показывает, на сколько процентов в среднем изменяется результативный признак при изменении k-го фактора на 1%.
Сила связи линейной множественной корреляции оценивается с помощью коэффициента множественной корреляции, вычисляемого по формуле
. (1.11.42)
Значение коэффициента множественной корреляции на значимость проверяется по правилу:
1) вычислить эмпирическое значение
, (1.11.43)
где n – число наблюдений, m – число факторов;
2) найти в табл. П5 по числам и
и уровню значимости a критическое значение
;
3) если , то коэффициент множественной корреляции признается значимым с вероятностью
.
В случае двухфакторной линейной корреляции множественный коэффициент корреляции можно вычислить, зная линейные коэффициенты парных корреляций, по формуле
. (1. 11.44)
Для оценки вклада во множественный коэффициент корреляции каждого из факторов вычисляют частные коэффициенты корреляции, т. е. коэффициенты корреляции, в которой исключается влияние одного фактора. В случае двухфакторной линейной корреляции частные коэффициенты корреляции вычисляются по формулам
и
. (1.11.45)
Квадрат частного коэффициента корреляции называется частным коэффициентом детерминации. Он указывает вклад фактора в колеблемость результативного признака.
Наличие мультиколлинеарности, т. е. линейной зависимости меж-ду факторами, приводит к искажению значений параметров линейной модели и изменению смысла их экономической интерпретации. Эта проблема решается в эконометрике.
Пример 1.11.3.В табл. 1.11.11 приведена зависимость прибыли у млн. руб. от затрат коп. на 1 руб. произведенной продукции и от стоимости
млрд. руб. основных фондов предприятия.
Таблица 1.11.11
i | ![]() | ![]() | ![]() | i | ![]() | ![]() | ![]() |
4,3 | 3,9 | ||||||
5,9 | 4,3 | ||||||
5,9 | 4,9 |
Составим линейную модель (1.11.9) данной зависимости, где
и
.
Найдем МНК-оценки параметров модели по формуле (1.11.10), применяя функции МУМНОЖи МОБРдля вычисленияв Excel произведения матриц и обратной матрицы:
=
= ,
,
=
,
=
=
.
Таким образом, линейная регрессионная модель зависимости прибыли от затрат на 1 руб. произведенной продукции и от стоимости основных фондов имеет вид:
. (1.11.46)
Для вычисления средней ошибки аппроксимации (1.11.19) модели (1.11.46) и частных коэффициентов эластичности составим расчетную табл. 1.11.12. Вычислим:
средние значения:
,
,
;
среднюю ошибку аппроксимации:
;
частные коэффициенты эластичности:
и
.
Таблица 1.11.12
Расчетные показатели
i | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
4,3 | 249,3 | 0,13 | |||
5,9 | 1014,3 | 0,05 | |||
5,9 | 1014,3 | 0,01 | |||
3,9 | 528,3 | 0,13 | |||
4,3 | 809,6 | 0,04 | |||
4,9 | 851,3 | 0,08 | |||
![]() | 29,2 | 0,44 |
Частные коэффициенты эластичности показывают, что при увеличении на 1% затрат на 1 руб. произведенной продукции прибыль уменьшится на 4,5%, а при увеличении основных фондов на 1% прибыль увеличится на 0,02%.
Вычислим нормированные МНК-оценки параметров по формуле (1.11.40). Используя суммы в итоговой строке расчетной табл. 1.11.13, вычислим:
,
,
,
и
.
Таблица 1.11.13
Расчетные показатели
i | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
4,3 | 152,0 | 0,3 | 273874,3 | |||
5,9 | 44,5 | 1,1 | 106060,9 | |||
5,9 | 44,5 | 1,1 | 65879,5 | |||
3,9 | 28,4 | 0,9 | 19135,2 | |||
4,3 | 2,8 | 0,3 | 1202,0 | |||
4,9 | 7,1 | 0,0 | 1995,4 | |||
![]() | 29,2 | 279,3 | 3,7 | 468147,3 |
Отношение
показывает, что в среднем первый фактор (затраты на 1 руб. произведенной продукции) сильнее влияет на прибыль, чем второй фактор (основные фонды).
Вычислим общую, факторную и остаточные дисперсии, используя суммы в итоговой строке табл. 1.11.4:
;
;
;
.
Вычисления проверим по правилу сложения дисперсий:
Таблица 1.11.14
Расчетные показатели
i | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
249,28 | 799,81 | 273874,29 | 245232,94 | ||
1014,25 | 3107,73 | 106060,95 | 72770,46 | ||
1014,25 | 175,64 | 65879,49 | 72770,46 | ||
528,27 | 6041,49 | 19135,19 | 46751,09 | ||
809,56 | 933,97 | 1202,01 | 4234,10 | ||
851,30 | 3881,66 | 1995,41 | 11408,38 | ||
![]() | 4466,91 | 14940,31 | 468147,33 | 453167,43 |
Множественный коэффициент корреляции (1.11.42)
указывает на очень сильную линейную связь (табл. 1.11.1).
Для оценки значимости полученного значения множественного коэффициента корреляции:
1) вычислим эмпирическое значение по формуле (1.11.25):
;
2) в табл. П5 по числам ,
и уровню значимости a=0,01 найдем критическое значение:
=30,81;
Так как , то с вероятностью 0,99 коэффициент множественной корреляции можно считать значимым.
Составляя расчетную табл. 1.11.15, вычислим линейные коэффициенты парных корреляций:
;
;
.
Таблица 1.11.15
Расчетные показатели
i | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
4,3 | 18,49 | 950,3 | 950,3 | ||||||
5,9 | 34,81 | ||||||||
5,9 | 34,81 | 5905,9 | 5905,9 | ||||||
3,9 | 15,21 | 2363,4 | 2363,4 | ||||||
4,3 | 18,49 | 3349,7 | 3349,7 | ||||||
4,9 | 24,01 | 3866,1 | 3866,1 | ||||||
![]() | 29,2 | 145,82 | 22748,4 | 22748,4 |
Вычислим коэффициент множественной корреляции по формуле (1.11.44):
.
Вычислим частные коэффициенты корреляции:
;
и частные коэффициенты детерминации:
;
.
Частные коэффициенты детерминации показывают, что 90,25% всей колеблемости прибыли обусловлено влиянием первого фактора (затраты на 1 руб. произведенной продукции) и только 0,16% – влиянием второго фактора (стоимость основных фондов).
Упражнение 1.11.3.В табл. 1.11.16 даны значения результативного признака у и факторов и
. Постройте линейную регрессионную модель, вычислите среднюю ошибку аппроксимации, частные коэффициенты эластичности, множественный коэффициент корреляции по формулам (1.11.42) и (1.11.44), частные коэффициенты корреляции и детерминации. Сформулируйте выводы.
Таблица 1.11.16