Регрессионные модели множественной корреляции

Корреляционная зависимость результативного признака от нескольких факторов называется множественной корреляцией.

Регрессионной моделью множественной корреляции называется уравнение

,

где f – некоторая математическая функция;

– параметры;

– значения факторов ;

– теоретические значения результативного признака.

Линейная модель корреляционной зависимости результативного признака y от m факторов имеет вид:

, . (1.11.33)

Модель (1.11.33) так же, как и линейную модель (1.11.5) парной корреляции, можно записать в матричной форме (1.11.9), где

, , ,

а МНК-оценки параметров этой модели можно вычислить по формуле (1.11.10).

Некоторые нелинейные регрессионные модели множественной корреляции сводятся к линейной модели. Рассмотрим некоторые из них.

1. Полулогарифмическая модель

, (1.11.34)

является линейной моделью относительно .

2. Гиперболическая модель

, (1.11.35)

является линейной моделью относительно .

3. Экспоненциальная модель

, (1.11.36)

логарифмированием преобразуется к линейной модели:

lg ,. (1.11.37)

4. Степенная модель

, (1.11.38)

логарифмированием преобразуется к линейной модели:

lg ,. (1.11.39)

Адекватность модели множественной корреляции оценивается средней ошибкой аппроксимации (1.11.19).

Коэффициент линейной модели показывает, на сколько единиц изменяется значение результативного признака при увеличении k-го фактора на одну единицу.

Сравнение МНК-оценок параметров линейной модели дает представление о степени влияния факторов на результативный признак только тогда, когда они сопоставимы. Чтобы сделать эти оценки сопоставимыми, их нормируют по формуле

, (1.11.40)

где и - среднеквадратические отклонения соответственно k-го фактора и результативного признака.

Частный коэффициент эластичности:

, (1.11.41)

где - среднее значение k-го фактора,

- среднее значение результативного признака,

- коэффициент линейной модели при k-ом факторе,

показывает, на сколько процентов в среднем изменяется результативный признак при изменении k-го фактора на 1%.

Сила связи линейной множественной корреляции оценивается с помощью коэффициента множественной корреляции, вычисляемого по формуле

. (1.11.42)

Значение коэффициента множественной корреляции на значимость проверяется по правилу:

1) вычислить эмпирическое значение

, (1.11.43)

где n – число наблюдений, m – число факторов;

2) найти в табл. П5 по числам и и уровню значимости a критическое значение ;

3) если , то коэффициент множественной корреляции признается значимым с вероятностью .

В случае двухфакторной линейной корреляции множественный коэффициент корреляции можно вычислить, зная линейные коэффициенты парных корреляций, по формуле

. (1. 11.44)

Для оценки вклада во множественный коэффициент корреляции каждого из факторов вычисляют частные коэффициенты кор­реляции, т. е. коэффициенты корреляции, в которой исключается влияние одного фактора. В случае двухфакторной линейной корреляции частные коэффициенты корреляции вычисляются по формулам

и . (1.11.45)

Квадрат частного коэффициента корреляции называется частным коэффициентом детерминации. Он указывает вклад фактора в колеблемость результативного признака.

Наличие мультиколлинеарности, т. е. линейной зависимости меж-ду факторами, приводит к искажению значений параметров линейной модели и изменению смысла их экономической интерпретации. Эта проблема решается в эконометрике.

Пример 1.11.3.В табл. 1.11.11 приведена зависимость прибыли у млн. руб. от затрат коп. на 1 руб. произведенной продукции и от стоимости млрд. руб. основных фондов предприятия.

Таблица 1.11.11

i				i
			4,3				3,9
			5,9				4,3
			5,9				4,9

Составим линейную модель (1.11.9) данной зависимости, где

и .

Найдем МНК-оценки параметров модели по формуле (1.11.10), применяя функции МУМНОЖи МОБРдля вычисленияв Excel произведения матриц и обратной матрицы:

=

= ,

,

= ,

= = .

Таким образом, линейная регрессионная модель зависимости прибыли от затрат на 1 руб. произведенной продукции и от стоимости основных фондов имеет вид:

. (1.11.46)

Для вычисления средней ошибки аппроксимации (1.11.19) модели (1.11.46) и частных коэффициентов эластичности составим расчетную табл. 1.11.12. Вычислим:

средние значения:

, , ;

среднюю ошибку аппроксимации:

;

частные коэффициенты эластичности:

и .

Таблица 1.11.12

Расчетные показатели

i
		4,3		249,3	0,13
		5,9		1014,3	0,05
		5,9		1014,3	0,01
		3,9		528,3	0,13
		4,3		809,6	0,04
		4,9		851,3	0,08
		29,2			0,44

Частные коэффициенты эластичности показывают, что при увеличении на 1% затрат на 1 руб. произведенной продукции прибыль уменьшится на 4,5%, а при увеличении основных фондов на 1% прибыль увеличится на 0,02%.

Вычислим нормированные МНК-оценки параметров по формуле (1.11.40). Используя суммы в итоговой строке расчетной табл. 1.11.13, вычислим:

, , ,

и .

Таблица 1.11.13

Расчетные показатели

i
		4,3		152,0	0,3	273874,3
		5,9		44,5	1,1	106060,9
		5,9		44,5	1,1	65879,5
		3,9		28,4	0,9	19135,2
		4,3		2,8	0,3	1202,0
		4,9		7,1	0,0	1995,4
		29,2		279,3	3,7	468147,3

Отношение

показывает, что в среднем первый фактор (затраты на 1 руб. произведенной продукции) сильнее влияет на прибыль, чем второй фактор (основные фонды).

Вычислим общую, факторную и остаточные дисперсии, используя суммы в итоговой строке табл. 1.11.4:

; ;

; .

Вычисления проверим по правилу сложения дисперсий:

Таблица 1.11.14

Расчетные показатели

i
		249,28	799,81	273874,29	245232,94
		1014,25	3107,73	106060,95	72770,46
		1014,25	175,64	65879,49	72770,46
		528,27	6041,49	19135,19	46751,09
		809,56	933,97	1202,01	4234,10
		851,30	3881,66	1995,41	11408,38
		4466,91	14940,31	468147,33	453167,43

Множественный коэффициент корреляции (1.11.42)

указывает на очень сильную линейную связь (табл. 1.11.1).

Для оценки значимости полученного значения множественного коэффициента корреляции:

1) вычислим эмпирическое значение по формуле (1.11.25):

;

2) в табл. П5 по числам , и уровню значимости a=0,01 найдем критическое значение: =30,81;

Так как , то с вероятностью 0,99 коэффициент множественной корреляции можно считать значимым.

Составляя расчетную табл. 1.11.15, вычислим линейные коэффициенты парных корреляций:

;

;

.

Таблица 1.11.15

Расчетные показатели

i
						4,3	18,49	950,3	950,3
						5,9	34,81
						5,9	34,81	5905,9	5905,9
						3,9	15,21	2363,4	2363,4
						4,3	18,49	3349,7	3349,7
						4,9	24,01	3866,1	3866,1
						29,2	145,82	22748,4	22748,4

Вычислим коэффициент множественной корреляции по формуле (1.11.44):

.

Вычислим частные коэффициенты корреляции:

;

и частные коэффициенты детерминации:

; .

Частные коэффициенты детерминации показывают, что 90,25% всей колеблемости прибыли обусловлено влиянием первого фактора (затраты на 1 руб. произведенной продукции) и только 0,16% – влиянием второго фактора (стоимость основных фондов).

Упражнение 1.11.3.В табл. 1.11.16 даны значения результативного признака у и факторов и . Постройте линейную регрессионную модель, вычислите среднюю ошибку аппроксимации, частные коэффициенты эластичности, множественный коэффициент корреляции по формулам (1.11.42) и (1.11.44), частные коэффициенты корреляции и детерминации. Сформулируйте выводы.

Таблица 1.11.16