Закон нормального распределения

Случайных величин

Получение в серии измерений, проводимых в одинаковых условиях, несколько отличающихся значений одной и той же величины говорит о влиянии случайных погрешностей. Каждая такая погрешность возникает вследствие одновременного воздействия на результат измерения многих случайных возмущений и сама является случайной величиной. В этом случае можно лишь с определенной долей уверенности утверждать, что истинное значение случайной величины находится в пределах разброса результатов измерений: от минимального до максимального. Но неясно, какое из множества находящихся в этом промежутке значений принять за результат измерения и какова его случайная погрешность.

Существует подход рассмотрения результатов измерений и случайных погрешностей как случайных величин. Количественные оценки в этом случае позволяют сделать методы теории вероятностей и математической статистики.

Английский математик Скарборо предложил модель «случайностей» для экспериментального получения рас­пределения случайных погрешностей. Нужно взять лист бумаги, разграфить его на ряд по­лос шириной 1 см, через середину средней полосы провести цветную линию, которая будет слу­жить прицельной линией. Затем взять карандаш за неоточеный конец двумя пальцами и, прицеливаясь в среднюю линию, отпустить его с высоты одного метра. Карандаш, ударяясь о бумагу, оставит след – точку (рис. 3). Бросая карандаш 50–100 раз, получим совокупность точек, расположенных на различных полосках листа. Полученные результаты можно предста­вить наглядно, построив диаграмму, которая показывала бы, как часто получались при измерениях те или иные значения. Для этого весь диапазон измеренных значений, отложенных по горизонтальной оси, разбивают на равные интервалы, ширина которых Δx может быть любой и выбирается так, как это удобно. Затем подсчи­тывают число m значений измеренной величины, попавших в каждый интервал, и на каждом интервале строят прямоуголь­ник с основанием, равным ширине интервала, и высотой, рав­ной числу значений измеренной величины, попавших в дан­ный интервал (в соответствии с выбранной масштабной единицей). В результате получается диаграмма, изображенная на ри­с. 4. Такая диаграмма называется гистограммой.

Если количество измерений увеличивать , а величину интервала уменьшать (интервалы не могут равняться нулю, но могут быть бесконечно малыми (dx) и приняты за точку), то гистограмма стремится перейти в плавную кривую, линию, приближающуюся к кривой, называемой кривой плотности распределения вероятностей случайной величины или кривой Гаусса (рис. 4), а уравнение, описывающее ее, – дифференциальным законом распределения.

Смысл функции плотности распределения вероятностей случайной величины состоит в том, что показывает долю значений величины, приходящихся на интервал (рис. 5). На языке теории вероятностей есть вероятность того, что результат отдельного измерения окажется в интервале . Интеграл:

(1.1)

дает вероятность того, что отдельное значение х окажется в интервале . Как правило указанный интеграл нормируют на единицу, т.е. всю площадь под кривой принимают равной единице, тогда площади элементов , являясь долей от целого, равны вероятности попадания измеряемого значения в интервал . На рис. 5 площадь, равная , указана редкой штриховкой, – более плотной штриховкой.

В практике измерений встречаются различные формы кривой закона распределения, однако чаще всего имеют дело с нормальным (Гауссовым) и равномерным распределением плотности вероятностей. Нормальное распределение случайных погрешностей возникает тогда, когда на результат измерений действует множество случайных возмущений, ни одно из которых не является преобладающим. На практике суммарное воздействие даже небольшого числа возмущений приводит к закону распределения результатов и погрешностей измерений, близкому к нормальному.

В аналитической форме нормальный закон распределения случайных величин в 1821 г. предложил немецкий математик Карл Гаусс:

, (1.2)

где, x_i – случайная величина; <x> – среднее арифметическое; σ – среднее квадратическое отклонение.

Перенеся начало координат в центр распределения <x> и откладывая по оси абсцисс погрешность Δx = x - <x>, получим кривую нормального распределения погрешностей (рис. 6):

. (1.3)

Для результатов n измерений, распределенных по нормальному закону:

, (1.4)

. (1.5)

Можно отметить следующие основные свойства нормального распределения.

1. Кривая нормального распределения f(Δx) (рис. 6) имеет колоколообразную форму. Характеристиками кривой являются: а) среднее значение , которое при очень большом числе измерений ( ) равно истинному значению величины; б) значение , называемое среним квадратичным отклонением или средней квадратической погрешностью отдельного измерения.

2. Вершина кривой соответствует наибольшему числу повторений, т.е. наиболее вероятному значению.

3. Малые погрешности встречаются чаще, чем большие.

4. Кривая нормального распределения погрешностей относительно вертикальной оси, проходящей через наи­высшую точку кривой, симметрична, т.е. одинаковые по­грешности, но с различными знаками имеют одинаковую вероятность.

На рис. 7 изображены кривые нормального распределения с раз­личными средними квадратическими отклонениями, причем σ₁>σ₂>σ₃.

Сравнивая кривые между собой можно видеть, что чем меньше среднее квадратичное отклонение, тем меньше рассеяние результатов измерений и тем больше вероятность того, что большинство случайных погрешно­стей в них будет мало. Естественно за­ключить, что качество измерений тем выше, чем меньше среднее квадратичное отклонение случайных по­грешностей.

Интервал с границами ±Δх называется доверительным интервалом случайной погрешности, а соот­ветствующая ему вероятность α – доверительной вероятностью. Принято границы доверительного интервала (доверительные границы) указывать симметричными относительно результата измерения. Доверительные границы случайной погрешности Δх(α), соответствующие доверительной вероятности α, находят по формуле:

Δх(α) = t×σ, (1.6)

где t – коэффициент, зависящий от α и формы закона распределения.

На графике нормального распределения погрешностей (рис. 8) по оси абсцисс отложены интервалы с границами ±σ, ±2σ, ±3σ, ±4σ. Доверительные вероятности для этих интервалов приведены в таблице 1.

Как видно из этой таблицы, оценка случайной погрешности группы измерений интервалом ±1σ соответствует доверительной вероятности 0,68. Такая оценка не дает уверенности в высоком качестве измерений, по­скольку 32% от всего числа наблюдений может выйти за пределы указан­ного интервала, что совершенно неприемлемо при однократных измере­ниях и дезинформирует потребителя измерительной информации. Довери­тельному интервалу ±3σ соответствует α=0,997. Это означает, что прак­тически с вероятностью очень близкой к единице ни одно из возможных значений погрешности при нормальном законе ее распределения не вый­дет за границы интервала. Поэтому, при нормальном распределении погрешностей, принято считать случайную погрешность с границами ±3σ предельной (максимально возможной) погрешностью. Погрешности, вы­ходящие за эти границы, классифицируют как грубые или промахи.

Для единообразия в оценке случайных погрешностей при технических измерениях доверительную вероятность α принимают равной 0,95. Лишь для особо точных и ответственных измерений (важных, например, для безопасности и здоровья людей) применяют более высокую доверительную вероятность.