Понятие неравноточных измерений

Прямая задача теории погрешностей

Теория ошибок занимается изучением причин и закономерностей возникновения ошибок в результатах разнообразных измерений, а также анализом законов распределения этих ошибок.

В ней разрабатываются способы вычисления наиболее точного по вероятности значения измеряемой величины из результатов ее многократных измерений и способы получения характеристик точности этого значения. Кроме того, теория ошибок занимается предвычислением ожидаемой точности проектируемых измерений и оценкой точности выполненных измерений.

Теория ошибок устанавливает допуски к измерениям и разрабатывает критерии выявления грубых ошибок измерений.

Случайная погрешность.

Случайные ошибки порождаются в основном непостоянством внешних условий измерений: температуры и влажности воздуха, атмосферного давления, скорости ветра и т. п. Случайные ошибки невозможно исключить из результатов измерений в силу их природы.

Свойства: 1.Среднее арифметическое достаточно большого количества случайных ошибок стремится к нулю.

2. Положительные и отрицательные случайные ошибки, равные по абсолютной величине равнозначны.

3. Малые по абсолютной величине ошибки встречаются чаще, чем большие.

3. Матрицы. Действия над матрицами. Свойства операций над матрицами. Виды матриц.

Матрицы.

Матрицей A=A_mn порядка m*n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m - строк и n - столбцов.

Элементы матрицы a_ij,у которых i=j, называются диагональными и образуют главную диагональ.

Для квадратной матрицы (m=n) главную диагональ образуют элементы a₁₁, a₂₂,..., a_nn .

Виды матриц

1. Прямоугольные: m и n - произвольные положительные целые числа

2. Квадратные: m=n

3. Матрица строка: m=1. Например, (1 3 5 7 ) - во многих практических задачах такая матрица называется вектором

4. Матрица столбец: n=1. Например

5. Диагональная матрица: m=n и a_ij=0, если i≠j. Например

6. Единичная матрица: m=n и

7. Нулевая матрица: a_ij=0, i=1,2,...,m

j=1,2,...,n

8. Треугольная матрица: все элементы ниже главной диагонали равны 0.

Пример.

9. Симметрическая матрица:m=n и a_ij=a_ji(т.е. на симметричных относительно главной диагонали местах стоят равные элементы), а следовательноA'=A

Например,

Действия над матрицами:

Суммой матрицы А и В называется такая матрица С, элементы которой равны сумме соответствующих элементов матриц А и В.

Пример 9

Складывать можно только матрицы, имеющие одинаковые число строк и столбцов.

Произведением матрицы А на число k называется такая матрица kA, каждый элемент которой равен ka_ij

Умножение матрицы на число сводится к умножению на это число всех элементов матрицы.

Произведение матрицЧто бы умножить матрицу на матрицу, необходимо выбрать первую строку первой матрицы и умножить на соответствующие элементы первого столбца второй матрицы, результат сложить. Этот результат расположить в результатирующей матрице в 1-ой строке и 10ом столбце. Аналогично выполняем действия со всеми остальными элементами: 1-ую строку на второй столбец, на 3-ий и т.д., затем со следующими строками.

Умножение матрицы А на матрицу В возможно только в том случае, если число столбцов первой матрицы равно числу строе второй матрицы.

Транспонирование матрицыназывается операция замены элементов строки на элементы столбца:

Вес

- степень доверия к данному результату. При многократных измерениях или вычислениях какой-либо величины за окончательное значение принимают вероятнейшее значение этой величины.

При равноточных измерениях за вероятнейшее значение берут обычное среднее.

При неравноточных за окончательное значение берут весовое среднее.

Понятие неравноточных измерений

Измерения, выполненные в различных условиях, различными инструментами, различным числом приёмов называют неравноточными.

Достоинство результата измерения выражают в этом случае числом, называемым весомизмерения. Чем надёжнее результат измерения, тем больше его вес.

Веса устанавливаются в зависимости от условий измерений. Так как определённым условиям измерений соответствует определённая средняя квадратическая ошибка, то наиболее достоверно устанавливать веса измерений в зависимости от неё.

Весом р отдельного результата измерения называют отвлечённое числос, обратно пропорциональное квадрату средней квадратической ошибки m², т.е.

р = .( 38 )

Вес арифметической средины Р может быть представлен аналогичным соотношением

Р = . ( 39 )

Взяв отношение веса арифметической средины Р к весу отдельного измерения р,получим

6. Уравнительные вычисления

в геодезии, совокупность математических операций, выполняемых для получения вероятнейшего значения геодезических координат точек земной поверхности и для оценки точности результатов измерений. У. в. проводятся для устранения противоречий (невязок), обусловленных наличием ошибок в избыточно измеренных величинах, и для определения вероятнейших значений искомых неизвестных или их значений, близких к вероятнейшим. В процессе У. в. это достигается путём определения поправок к измеренным величинам (углам, направлениям, длинам линий или превышениям). Обычно поправки определяют с помощью наименьших квадратов способа так, чтобы сумма квадратов всех поправок была наименьшей. В этом случае вычисления называют строгими и неизвестные (поправки), определяемые из такого рода У. в., имеют вероятнейшие значения.