Стандартного метода измерений
Практическая работа № 2
Основной метод повторяемости и воспроизводимости
стандартного метода измерений
Цель работы
Изучение алгоритмов проведения экспериментов по оценке повторяемости, воспроизводимости, показателей правильности (характеристик систематической погрешности) методов и результатов измерений.
Исходные данные
Данные по параллельным измерениям по нескольким уровням (3 лаборатории, 5 уровней измерения, 5 измерений на каждом уровне) (таблица 2.1) и непараллельным измерениям по нескольким уровням (3 лаборатории, 5 уровней измерения, 3 – 5 измерений на каждом уровне) (таблица 2.2).
№ п/п | Параллельные измерения Лаборатории | Непараллельные измерения Лаборатории | |||||
6,383 | 6,365 | 6,366 | 6,383 | 6,365 | 6,366 | ||
6,380 | 6,378 | 6,369 | 6,380 | 6,378 | 6,369 | ||
6,386 | 6,378 | 6,371 | 6,386 | 6,378 | 6,371 | ||
6,381 | 6,378 | 6,376 | 6,378 | 6,376 | |||
6,383 | 6,378 | 6,370 | 6,370 | ||||
5,104 | 5,102 | 5,096 | 5,104 | 5,102 | 5,096 | ||
5,104 | 5,102 | 5,096 | 5,104 | 5,102 | 5,096 | ||
5,105 | 5,102 | 5,097 | 5,105 | 5,102 | 5,097 | ||
5,107 | 5,102 | 5,101 | 5,102 | 5,101 | |||
5,104 | 5,102 | 5,096 | 5,096 | ||||
4,259 | 4,253 | 4,252 | 4,259 | 4,253 | 4,252 | ||
4,254 | 4,252 | 4,247 | 4,254 | 4,252 | 4,247 | ||
4,253 | 4,248 | 4,247 | 4,253 | 4,248 | 4,247 | ||
4,254 | 4,252 | 4,247 | 4,252 | 4,247 | |||
4,256 | 4,251 | 4,247 | 4,247 | ||||
3,646 | 3,645 | 3,643 | 3,646 | 3,645 | 3,643 | ||
3,647 | 3,645 | 3,640 | 3,647 | 3,645 | 3,640 | ||
3,646 | 3,645 | 3,640 | 3,646 | 3,645 | 3,640 | ||
3,646 | 3,644 | 3,641 | 3,644 | 3,641 | |||
3,647 | 3,644 | 3,641 | 3,641 | ||||
3,191 | 3,188 | 3,186 | 3,191 | 3,188 | 3,186 | ||
3,192 | 3,188 | 3,187 | 3,192 | 3,188 | 3,187 | ||
3,192 | 3,188 | 3,187 | 3,192 | 3,188 | 3,187 | ||
3,191 | 3,189 | 3,186 | 3,189 | 3,186 | |||
3,191 | 3,187 | 3,186 | 3,186 |
Выполнение задания
1. При проведении испытаний в нескольких (р) лабораториях по нескольким (q) уровням параллельных и непараллельных (разных по объему) измерений заполняют формы А, В, С [3, 7.2.7]. Общее количество данных Nijk = p ×q × n.
Таблица 2.1. Параллельные измерения по нескольким уровням
Форма А - Рекомендуемая форма для сопоставления исходных данных | |||||||||||||||||||||||||
Лаборатория p (i) | Уровень q (j) | ||||||||||||||||||||||||
Измерения n (k) | Измерения n (k) | Измерения n (k) | Измерения n (k) | Измерения n (k) | |||||||||||||||||||||
6.383 | 6.380 | 6.386 | 6.381 | 6.383 | 5.104 | 5.104 | 5.105 | 5.107 | 5.104 | 4.259 | 4.254 | 4.253 | 4.254 | 4.256 | 3.646 | 3.647 | 3.646 | 3.646 | 3.647 | 3.191 | 3.192 | 3.192 | 3.191 | 3.191 | |
6.365 | 6.378 | 6.378 | 6.378 | 6.378 | 5.102 | 5.102 | 5.102 | 5.102 | 5.102 | 4.253 | 4.252 | 4.248 | 4.252 | 4.251 | 3.645 | 3.645 | 3.645 | 3.644 | 3.644 | 3.188 | 3.188 | 3.188 | 3.189 | 3.187 | |
6.366 | 6.369 | 6.371 | 6.376 | 6.370 | 5.096 | 5.096 | 5.097 | 5.101 | 5.096 | 4.252 | 4.247 | 4.247 | 4.247 | 4.247 | 3.643 | 3.640 | 3.640 | 3.641 | 3.641 | 3.186 | 3.187 | 3.187 | 3.186 | 3.186 |
Таблица 2.2. Непараллельные измерения по нескольким уровням
Форма А - Рекомендуемая форма для сопоставления исходных данных | |||||||||||||||||||||||||
Лаборатория p (i) | Уровень q (j) | ||||||||||||||||||||||||
Измерения n (k) | Измерения n (k) | Измерения n (k) | Измерения n (k) | Измерения n (k) | |||||||||||||||||||||
6,383 | 6,380 | 6,386 | 5,104 | 5,104 | 5,105 | 4,259 | 4,254 | 4,253 | 3,646 | 3,647 | 3,646 | 3,191 | 3,192 | 3,192 | |||||||||||
6,365 | 6,378 | 6,378 | 6,378 | 5,102 | 5,102 | 5,102 | 5,102 | 4,253 | 4,252 | 4,248 | 4,252 | 3,645 | 3,645 | 3,645 | 3,644 | 3,188 | 3,188 | 3,188 | 3,189 | ||||||
6,366 | 6,369 | 6,371 | 6,376 | 6,370 | 5,096 | 5,096 | 5,097 | 5,101 | 5,096 | 4,252 | 4,247 | 4,247 | 4,247 | 4,247 | 3,643 | 3,640 | 3,640 | 3,641 | 3,641 | 3,186 | 3,187 | 3,187 | 3,186 | 3,186 |
2. Средние арифметические значения результатов измерений по каждому уровню в каждой лаборатории рассчитывают по данным табл. 2.1 и 2.2 (формы А) [3, 7.2.9]
, (2.1)
где k – номер эксперимента по j-му уровню в i-ой лаборатории;
nij – число измерений по j-му уровню в i-ой лаборатории.
Для параллельных измерений:
; …;
;
; …;
;
; …;
.
Таблица 2.3. Средние арифметические значения результатов
параллельных измерений по каждому уровню
Форма В - Рекомендуемая форма для сопоставления исходных данных | |||||
Лаборатория P (i) | Уровень q (j) | ||||
Среднее значение ![]() | Среднее значение ![]() | Среднее значение ![]() | Среднее значение ![]() | Среднее значение ![]() | |
6,3826 | 5,1048 | 4,2552 | 3,6464 | 3,1914 | |
6,3754 | 5,1020 | 4,2512 | 3,6446 | 3,1880 | |
6,3704 | 5,0972 | 4,2480 | 3,6410 | 3,1864 | |
Среднее ![]() | 6,37613 | 5,10133 | 4,25147 | 3,64400 | 3,18860 |
Для непараллельных измерений:
6,383; …;
3,19167;
6,37475; …;
3,18825;
6,3704; …;
3,1864.
Таблица 2.4. Средние арифметические значения результатов
непараллельных измерений по каждому уровню
Форма В - Рекомендуемая форма для сопоставления исходных данных | |||||
Лаборатория p (i) | Уровень q (j) | ||||
Среднее значение ![]() | Среднее значение ![]() | Среднее значение ![]() | Среднее значение ![]() | Среднее значение ![]() | |
6,383 | 5,10433 | 4,25533 | 3,64633 | 3,19167 | |
6,37475 | 5,102 | 4,25125 | 3,64475 | 3,18825 | |
6,3704 | 5,0972 | 4,248 | 3,641 | 3,1864 | |
Среднее ![]() | 6,37605 | 5,10118 | 4,25153 | 3,64403 | 3,18877 |
Общее среднее значение измерений по каждому уровню во всех лабораториях
. (2.2)
Например, для непараллельных измерений
3. Стандартные отклонения результатов измерений по каждому уровню рассчитывают по данным табл. 2.1 и 2.2 (формы А) [3, 7.2.10]
. (2.3)
Для параллельных измерений:
; …;
.
Для непараллельных измерений:
; …;
.
Таблица 2.5 Стандартные отклонения результатов
параллельных измерений
Лаборатория p (i) | Уровень q (j) | ||||
Стандартное отклонение si1 | Стандартное отклонение si2 | Стандартное отклонение si3 | Стандартное отклонение si4 | Стандартное отклонение si5 | |
0,002302173 | 0,00130384 | 0,002387467 | 0,000547723 | 0,000547723 | |
0,005813777 | 0,001923538 | 0,000547723 | 0,000707107 | ||
0,003646917 | 0,002167948 | 0,002236068 | 0,001224745 | 0,000547723 |
Таблица 2.6 Стандартные отклонения результатов
непараллельных измерений
Форма C - Рекомендуемая форма для сопоставления исходных данных | |||||
Лаборатория p (i) | Уровень q (j) | ||||
Стандартное отклонение ![]() | Стандартное отклонение ![]() | Стандартное отклонение ![]() | Стандартное отклонение ![]() | Стандартное отклонение ![]() | |
0,00300 | 0,00058 | 0,00321 | 0,00058 | 0,00058 | |
0,00650 | 0,00000 | 0,00222 | 0,00050 | 0,00050 | |
0,00365 | 0,00217 | 0,00224 | 0,00122 | 0,00055 |
4. Статистики Манделя h и k помимо отображения вариабельности (непостоянства результатов) метода измерений помогают оценить лаборатории. Для оценки измерений используют:
а) графический анализ совместимости;
б) статистическое тестирование выбросов.
Статистики Манделя h межлабораторной совместимости рассчитывают следующим образом [3, 7.3.1.1]
, (2.4)
где – среднее значение измерений по j-му уровню во всех лабораториях.
Для параллельных измерений:
1,054410116; …;
(-0,861586495).
Таблица 2.7. Статистики Манделя межлабораторной совместимости hij
для параллельных измерений
Лаборатория p (i) | Уровень q (j) | ||||
Статистика Манделя hi1 | Статистика Манделя hi2 | Статистика Манделя hi3 | Статистика Манделя hi4 | Статистика Манделя hi5 | |
1,054410116 | 0,901930007 | 1,034909779 | 0,872871561 | 1,09656463 | |
-0,119572281 | 0,173448078 | -0,073922127 | 0,21821789 | -0,234978135 | |
-0,934837835 | -1,075378085 | -0,960987652 | -1,091089451 | -0,861586495 |
Таблица 2.8. Статистики Манделя межлабораторной совместимости hij
для непараллельных измерений
Лаборатория P (i) | Уровень q (j) | ||||
Статистика Манделя hi1 | Статистика Манделя hi2 | Статистика Манделя hi3 | Статистика Манделя hi4 | Статистика Манделя hi5 | |
1,085970642 | 0,867613509 | 1,035652247 | 0,841739969 | 1,083295878 | |
-0,203131199 | 0,226068309 | -0,075595054 | 0,263677581 | -0,195450696 | |
-0,882839443 | -1,093681818 | -0,960057192 | -1,105417549 | -0,887845182 |
Для непараллельных измерений:
1,08597; …;
(-0,88785).
5. Статистики Манделя k внутрилабораторной совместимости
(2.5)
для каждой лаборатории в пределах каждого уровня.
Для параллельных измерений:
; …;
.
Таблица 2.9. Статистики Манделя внутрилабораторной
совместимости kij для параллельных измерений
Лаборатория p (i) | Уровень q (j) | ||||
Статистика Манделя ki1 | Статистика Манделя ki2 | Статистика Манделя ki3 | Статистика Манделя ki4 | Статистика Манделя ki5 | |
1,365432 | 1,573005 | 1,583138 | 0,202135 | 0,241486 | |
0,927453 | 0,69282 | 0,693824 | 1,719379 | 1,71072 | |
0,524808 | 0,213664 | 0,110815 | 0,053629 | 0,122958 |
Таблица 2.10. Статистики внутрилабораторной совместимости kij
для непараллельных измерений
Лаборатория p (i) | Уровень q (j) | ||||
Статистика Манделя ki1 | Статистика Манделя ki2 | Статистика Манделя ki3 | Статистика Манделя ki4 | Статистика Манделя ki5 | |
1,08597 | 0,86761 | 1,03565 | 0,84174 | 1,08330 | |
-0,20313 | 0,22607 | -0,07560 | 0,26368 | -0,19545 | |
-0,88284 | -1,09368 | -0,96006 | -1,10542 | -0,88785 |
Для непараллельных измерений:
; …;
.
Индикаторы для статистик Манделя h и k [3, 8.3] представлены в таблицах 2.11 и 2.12.
Таблица 2.11. Индикаторы для статистик Манделя h и k
на 1%-ном уровне значимости
p | h | k | ||||||||
n | ||||||||||
1,15 | 1,71 | 1,64 | 1,58 | 1,53 | 1,49 | 1,46 | 1,43 | 1,41 | 1,39 |
Таблица 2.12. Индикаторы для статистик Манделя h и k
на 5%-ном уровне значимости
p | h | k | ||||||||
n | ||||||||||
1,15 | 1,65 | 1,53 | 1,45 | 1,40 | 1,37 | 1,34 | 1,32 | 1,30 | 1,29 |
Из таблиц 2.7, 2.8 (рис. 2.1) видно, что при непараллельных измерениях в первой лаборатории статистики h не удовлетворяют требования к межлабораторной совместимости.
Из таблицы 2.9, 2.10 (рис. 2.2) видно, что как при параллельных, так и при непараллельных измерениях статистики k второй и третьей лаборатории удовлетворяют требования к внутрилабораторной совместимости только при 1% уровне значимости.
Рис. 2.1. Статистики Манделя h
Рис. 2.2. Статистики Манделя k
6. Критерий Кохрена
Для совокупности из p стандартных отклонений si, рассчитанных исходя из одного и того же количества (n) результатов испытаний в базовых элементах, тестовая статистика Кохрена имеет вид
, (2.6)
где – наивысшее значение стандартного отклонения в совокупности.
Уровень q (j) | |||||
С | 0,101145 | 0,265625 | 0,395833 | 0,142857 | 0,454545 |
Уровень q (j) | |||||
С | 0,13943 | 0,06623 | 0,51029 | 0,12 | 0,28302 |
Значения статистик Кохрена не превышают критических значений (табл. 2.14).
Таблица 2.14. Критические значения для критерия Кохрена
p | n =2 | n =3 | n =4 | n =5 | n =6 | |||||
1% | 5% | 1% | 5% | 1% | 5% | 1% | 5% | 1% | 5% | |
- | - | 0,995 | 0,975 | 0,979 | 0,939 | 0,959 | 0,906 | 0,937 | 0,877 | |
0,993 | 0,967 | 0,942 | 0,871 | 0,883 | 0,798 | 0,834 | 0,746 | 0,793 | 0,707 | |
0,968 | 0,906 | 0,864 | 0,768 | 0,781 | 0,684 | 0,721 | 0,629 | 0,676 | 0,590 | |
0,928 | 0,841 | 0,788 | 0,684 | 0,696 | 0,598 | 0,633 | 0,544 | 0,588 | 0,506 |
7. Критерий Граббса
Критерий Граббса осуществляет проверку на выбросы и предназначен для обработки межлабораторных расхождений, а также может использоваться (если n > 2) в случаях, когда проверка с применением критерия Кохрена вызвала подозрение в том, что высокая внутрилабораторная вариация обусловлена только одним из результатов измерений в базовом элементе.
Для проверки, не является ли выбросом наибольшая величина из расположенных в порядке возрастания совокупности данных xij (i = 1, 2, ..., p), вычисляют статистику Граббса Gp по формуле
. (2.7)
Критерий Граббса также как и критерий Кохрена должен применяться на каждом уровне измерений раздельно (таблицы 2.15, 2.16).
Таблица 2.15 Статистики Граббса для параллельных измерений
Лаборатория p (i) | Уровень q (j) | ||||
Статистика Граббса Gpi1 | Статистика Граббса Gpi2 | Статистика Граббса Gpi3 | Статистика Граббса Gpi4 | Статистика Граббса Gpi5 | |
2,808941 | 2,658812 | 1,563721 | 4,381780 | 5,112077 | |
-0,126137 | Не определено | -0,138633 | 1,095445 | -0,848528 | |
-1,572104 | -1,906564 | -1,550340 | -2,449490 | -4,016632 |
Таблица 2.16 Статистики Граббса для непараллельных измерений
Лаборатория p (i) | Уровень q (j) | ||||
Статистика Граббса Gpi1 | Статистика Граббса Gpi2 | Статистика Граббса Gpi3 | Статистика Граббса Gpi4 | Статистика Граббса Gpi5 | |
2,31667 | 5,46558 | 1,18385 | 3,99334 | 5,01332 | |
-0,20000 | Не определено | -0,12527 | 1,44444 | -1,04444 | |
-1,54925 | -1,83481 | -1,57767 | -2,47217 | -4,33107 |
Таблица 2.17. Критические значения для критерия Граббса
p | Одно наибольшее или одно наименьшее | Два наибольших или два наименьших | ||
Свыше 1% | Свыше 5% | Свыше 1% | Свыше 5% | |
1,155 | 1,155 | - | - | |
1,496 | 1,481 | 0,0000 | 0,0002 | |
1,764 | 1,715 | 0,0018 | 0,0090 |