Тема 3. средние величины и показатели вариации

Средней величиной признака некоторой статистической совокупности называют обобщающий показатель, который характеризует типичный уровень явления в условиях места и времени, а также отражает величину варьирующего признака в расчете на единицу качественно однородной совокупности.

Существуют различные виды средних величин, но наиболее часто применяются средняя арифметическая, средняя гармоническая, средняя квадратическая, средняя геометрическая, мода, медиана.

Средняя арифметическая применяется в форме простой средней и взвешенной средней.

Средняя арифметическая простая равна простой сумме отдельных значений х осредняемого признака деленное на общее число этих значений ( ) (несгруппированных).

Средняя арифметическая взвешенная – это средняя из вариантов, которые повторяются различное число раз или имеют различный вес. Она может быть определена по формуле где х – варианты, f – веса, частоты.

Формула средней геометрической взвешенной применяются тогда, когда статистическая информация не содержит частот f по отдельным вариантам совокупности, а представлена как их произведение хf = w, откуда поэтому

Средняя геометрическая применяется в тех случаях, когда индивидуальные значения признака представляют собой относительные величины динамики, построенные в виде цепных величин, как отношения к предыдущему уровню каждого уровня в ряду динамики, т.е. характеризует средний коэффициент роста. Она исчисляется извлечением корня степени n произведений относительных значений вариантов признака х по формуле:

где П - оператор умножения, знак произведения;

n – число варианты.

Средняя квадратическая простая и взвешенная – степенная средняя:

Средняя квадратическая взвешенная:

, где ƒ – вес.

Мода и медиана – структурные средние:

Мода – значение признака. Которые имеет наибольшую частоту в статистическом ряду распределения.

, где

Х_Мо – нижняя граница модального интервала.

- модальный интервал, - частота модального интервала, - частота предмодального интервала, - частота послемодального интервала.

Медиана – значение признака, которое делит ранжированный ряд распределения на две равные по числу единиц части – со значениями признака меньше медианы и со значениями признака больше медианы. Медиана находится в середине упорядоченного ряда:

- нижняя граница медианного интервала;

- медианный интервал;

- половина от общего числа наблюдений;

- сумма наблюдений, которая накоплена до начала медианного интервала;

- частота медианного интервала.

Показатели вариации

Вариаций признака называется его изменение у единиц совокупности.

Различие индивидуальных значений признака внутри изучаемой совокупности в статистике называется вариацией признака.Она возникает в результате того, что его индивидуальные значения складываются под совокупным влиянием разнообразных факторов (условий), которые по разному сочетаются в каждом отдельном случае.

Термин «вариация» произошел от латинского variatio – изменение, колеблемость, различие. Однако не всякие различия принято называть вариацией. Под вариацией в статистике понимают такие количественные изменения величины исследуемого признак в пределах однородной совокупности, которые обусловлены перекрещивающимися влиянием действия различных факторов.

Различают вариацию признака: случайную и систематическую.

Анализ систематической вариации позволяет оценить степень зависимости изменений в изучаемом признаке от определяющих ее факторов.

Например, изучая силу и характер вариации в выделенной совокупности, можно оценить, насколько однородной является данная совокупность в количественном, а иногда и качественном отношении, а следовательно, насколько характерной является исчисленная средняя величина. Степень близости данных отдельных единиц к средней измеряется рядом абсолютных, средних и относительных показателей.

Абсолютные и средние показатели вариации и способы их расчета

Для характеристики колеблемости признака используется ряд показателей.

Наиболее простой их них – размах вариации, определяемый как разность между наибольшим ( ) и наименьшим ( ) значениями вариантов:

Чтобы дать обобщающею характеристику распределению отклонений, исчисляют среднее линейное отклонение d, которое учитывает различие всех единиц изучаемой совокупности. Среднее линейное отклонение определяется как среднее арифметическая из отклонений индивидуальных значений от средней, без учета знака отклонений:

или

Среднее линейное отклонение как меру вариации признака применяют в статистической практике редко. Во многих случаях этот показатель не устанавливает степень рассеивания.

На практике меру вариации более объективно отражает показатель дисперсии (Q² – средний квадрат отклонений), определяемый как средняя из отклонений, возведенных в квадрат (х-х)²: