Основные свойства линейных операций

Для любых векторов и любых действительных чисел l и

m справедливы следующие свойства:

1) ; 2) ;

3) , где - нулевой вектор;

4) для каждого вектора вектор является противоположным, т.е. ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) .

Разностью двух векторов называется сумма вектора и вектора , противоположного : .

Пример.По данным векторам и требуется построить векторы и .

Решение.Отнесем векторы и к одному началу. Далее см. рис. 3.

Рис. 3. Построение вектора

Проекция вектора на ось

Пусть даны вектор и ось l (рис. 4).

Проекций вектора на ось l называется длина отрезка между основаниями перпендикуляров, опущенных из точек А и В на ось l:

.

Рис.4

Проекция вектора - это число. Оно положительно, если направление вектора совпадает с направлением оси l, и отрицательно, если и l противоположно направлены (см. рис. 4, а, б).

Рис.4. Проекция вектора на ось

Свойства проекций

1) Проекция равна нулю (т.е. совпадает с ) тогда и только тогда, когда вектор перпендикулярен к оси (см. рис. 4, в).

2) При параллельном переносе вектора его проекция не меняется.

3) ­– проекция вектора на ось l равна модулю вектора, умноженному на косинус угла между вектором и осью (см. рис. 4, г).

4) имеет место для любого конечного числа векторов.

5) , если вектор умножить на число l, то его проекция тоже умножается на это число.

Пример. Найдите проекцию вектора на ось l, если , а угол j между осью и вектором равен .

Решение.По свойству 3): .

.

Пример.Найдите проекцию суммы векторов + + на ось l, если и угол j между векторами , , и осью l соответственно равен .

Решение. По свойству 4): .

Вычислим проекцию каждого из векторов , , на ось l, получим:

;

;

.

Тогда искомая проекция суммы

.

Формула для вычисления координат вектора

Пусть даны координаты точек и в пространстве.

Рис.5. Вычисление координат вектора

Так как (рис. 5), а координаты радиусов-векторов и равны соответственно и , то

(2)

Таким образом, чтобы найти координаты вектора , нужно из координат его конца М₂ вычесть координаты его начала М₁.

Пример.Даны точки и . Найдите координаты вектора .

Решение.По формуле (2) координаты вектора

= .

Линейные операции над векторами,

Заданными своими координатами

1. Сумма (или разность) векторов. Пусть даны два вектора и . Найдём .

(3)

При сложении (вычитании) векторов складываются (вычитаются) их соответствующие координаты.

2. Умножение вектора на число. Пусть дан вектор , l – любое действительное число. Найдём l :

. (4)

При умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число.

Пример. Даны векторы и . Найдите координаты векторов , , .

Решение. По формуле (3):

;

= {2; 3; 3}, = {2; - 9; 7}.

По формулам (3), (4):

= {6; - 33; 23}.