Тема 5. Модели стационарных и нестационарных временных рядов

Временным рядом (динамическим рядом) называется набор значений какого-либо показателя за несколько последовательных моментов или периодов времени. Отдельные наблюдения называются уровнями ряда.

В общем виде при исследовании экономических процессов временного ряда выделяются несколько составляющих:

где: u_t - тренд, v_t – сезонная компонента, c_t – циклическая компонента, ε_t – случайная компонента.

Стационарные временные ряды.

Важное значение в анализе временных рядов имеют стационарные временные ряды, вероятные свойства которых не изменяются во времени. Временной ряд у_t называется строго стационарным, если совместное распределение вероятностей п наблюдений у₁, у₂,…, у_п такое же, как и п наблюдений у_1+τ, у_2+τ,…, у_п+τ при любых п, t и τ. Таким образом, свойства строго стационарных рядов не зависят от момента времени t.

Степень тесноты связи между последовательностями наблюдений временного ряда у₁, у₂,…, у_п и у_1+τ, у_2+τ,…, у_п+τ можно оценить с помощью выборочного коэффициента корреляции r(τ):

Так как он оценивает корреляцию между уровнями одного и того же ряда, его называют коэффициентом автокорреляции.

Функция r(τ)называется выборочной автокорреляционной функцией, а ее график – коррелограммой.

Кроме автокорреляционной функции при исследовании стационарных временных рядов рассматривают частную автокорреляционную функцию. Статистической оценкой частного коэффициента корреляции является выборочный частный коэффициент корреляции (или просто частный коэффициент корреляции):

где r_ij, r_ik, r_jk – выборочные коэффициенты корреляции.

Так, выборочный частный коэффициент автокорреляции 1-го порядка между членами временного ряда y_t и y_t+2 при устранении влияния y_t+1 определяется по формуле:

где r(1), r(1,2), r(2) – выборочные коэффициенты автокорреляции между y_t и y_t+1, y_t+1 и y_t+2, и y_t и y_t+2 соответственно.

Наиболее распространенным приемом устранения автокорреляции во временных рядах является подбор соответствующей модели: авторегрессионной AP(p), скользящей средней CC(q) или авторегрессионной модели скользящей средней APCC (p,q) для остатков модели (в литературе можно встретить англоязычные названия моделей: авторегрессионной – AP(p), скользящей средней – CC(q), авторегрессионной модели скользящей средней - APCC (p,q)).

Идентификацией временного ряда называется построение для ряда остатков адекватной АРСС–модели, в которой остатки представляют собой белый шум, а все регрессоры значимы. Такое представление, как правило не единственное, и один и тот же ряд может быть идентифицирован и с помощью АР–модели, и с помощью СС–модели.

Авторегрессионная модель порядка р (модель AP(p)) имеет вид:

где β₀, β₁, …, β_р – некоторые константы.

Если исследуемый процесс, y_t в момент t определяется его значениями только в предыдущий период t-1, то получаем авторегрессионную модель 1-го порядка (или модель AP(1)).

Наряду с авторегрессионными моделями временных рядов в эконометрике рассматриваются также модели скользящей средней. В них моделируемая величина задается линейной функцией от возмущений (остатков) в предыдущие моменты времени. Модель скользящей средней порядка q (модель CC(q)) имеет вид:

Нередко используются и комбинированные модели временных рядов АР и СС, которые имеют вид:

Если все значения выборочной частной автокорреляционной функции порядка выше р незначимо отличаются от нуля, временной ряд следует идентифицировать с помощью модели, порядок авторегрессии которой не выше q.

Нестационарные временные ряды.

Пусть имеется временной ряд

Предположим, что ошибки ξ_t независимы и одинаково распределены, т.е. образуют белый шум. Перейдем к разностным величинам:

где

Если ряд является стационарным, то исходный нестационарный ряд называется интегрируемым (или однородным).

Нестационарный ряд называется интегрируемым (однородным) k-го порядка, если после k -кратного перехода к приращениям

где , получается стационарный ряд

Если при этом стационарный ряд корректно идентифицируется как APCC (p,q), то нестационарный ряд обозначается как АРПСС (p,k,q). Это означает модель авторегрессии – проинтегрированной скользящей средней (другое обозначение – ARIMA (p,k,q)) порядков p,k,q, которая известна как модель Бокса-Дженкинса. Процедура подбора такой модели реализована во многих эконометрических пакетах.

Модели с распределенными лагами

При исследовании экономических процессов приходится моделировать ситуации, когда значение результативного признака в текущий момент времени t формируется под воздействием ряда факторов, действовавших в прошлые моменты времени. Величину l, характеризующую запаздывание в воздействии фактора на результат, называют лагом, а временные ряды самих факторных переменных, сдвинутые на один или более моментов времени, – лаговыми переменными. Модели, содержащие не только текущие, но и лаговые значения факторных переменных, называют моделями с распределенными лагами:

В случае конечной величины максимального лага модель имеет вид:

Коэффициент b₀ характеризует среднее абсолютное изменение y_t при изменении х_t на 1 ед. своего измерения в некоторый фиксированный момент времени t, без учета воз­действия лаговых значений фактора х. Этот коэффициент называется краткосрочным мультипликатором.

Долгосрочный мультипликатор вычисляется по формуле:

Он показывает абсолютное изменение в долгосрочном периоде t+l результата y под влиянием изменения на 1 ед. фактора х.

Величины называются относительными коэффициентами моде­ли с распределенным лагом.

Средний лаг определяется по формуле средней арифметической взвешенной:

и представляет собой средний период, в течение которого будет происходить изменение результата под воздействием изменения фактора в момент времени t. Небольшая вели­чина среднего лага свидетельствует об относительно быстром реагировании результата на изменение фактора. Высокое его значение говорит о том, что воздействие фактора на результат будет сказываться в течение длительного периода времени.

Медианный лаг (l_Me) – представляет собой период времени, в течение которого бу­дет реализована половина общего воздействия фактора на результат и определяется сле­дующим соотношением:

Оценка модели с распределенными лагами зависит от того, конечное или беско­нечное число лагов она содержит.

Метод Алмон.

Предполагается, что веса текущих и лаговых значений объясняющих переменных подчиняются полиномиальному закону распределения:

(5.1)

Уравнение регрессии примет вид:

(5.2)

где (5.3)

Схема расчета параметров модели:

1. устанавливается максимальная величина лага l;

2. определяется степень полинома k, описывающего структуру лага;

3. по соотношениям (5.3) рассчитываются значения переменных z_o, z₁, ..., z_k;

4. обычным методом наименьших квадратов определяются параметры уравнения линейной регрессии y_t от z_t (5.2);

5. рассчитываются параметры исходной модели по формулам (5.1).

Предполагается, что коэффициенты при лаговых значениях переменной убывают в геометрической прогрессии:

0 < λ < 1. (5.4)

Уравнение регрессии преобразуется к виду:

После ряда преобразований получается уравнение авторегрессии первого порядка:

где

Определив параметры данной модели, находятся λ и оценки параметров а и b₀ исходной модели. Далее из соотношения (5.4) определяются параметры модели b₁, b₂,... .

Величина среднего лага в модели Койка определяется формулой:

Пример 5. По данным о динамике товарооборота (Y, млрд. руб.) и доходах населе­ния (X, млрд. руб.) была получена следующая модель с распределенными лагами:

В скобках указаны значения стандартных ошибок для коэффициентов регрессии.

Значение R²= 0,98.

Задание:

1. Проанализировать полученные результаты регрессионного анализа.

2. Дать интерпретацию параметров модели: определить краткосрочный и долго­срочный мультипликаторы.

3. Определить величину среднего лага и медианного лага.

Решение.

1. Проверка значимости отдельных коэффициентов модели дает следующие рас­четные значения t-статистики для коэффициентов:

t_b0 = 0,50/0,06 = 8,33; t_b1 = 0,25/0,04 = 6,25;

t_b2 = 0,13/0,04 = 3,25; t_b3 = 0,13/0,06 = 2,17.

Таким образом, все коэффициенты оказываются значимыми, и выбор величины лага l=3 является оправданным. Об адекватности полученной модели свидетельствует и высокое значение коэффициента детерминации.

2. Краткосрочный мультипликатор в модели равен b₀ = 0,50. Он показывает, что увеличение доходов на 1 млрд. руб. ведет в среднем к росту товарооборота на 0,5 млрд. руб. в том же периоде.

Долгосрочный мультипликатор для полученной модели составит:

b = b₀+b₁+b₂+b₃ = 0,50 + 0,25 + 0,13 + 0,13 = 1,01.

Получаем, что увеличение доходов на 1 млрд. руб. в настоящий момент времени в долгосрочной перспективе (через 3 месяца) приведет к росту товарооборота на 1,01 млрд. руб.

Рассчитаем относительные коэффициенты модели:

β₀ = 0,50/1,01 = 0,495; β₁ = 0,25/1,01 = 0,248;

β₂ = 0,13/1,01 = 0,129; β₃ = 0,13/1 ,01 = 0,129.

Следовательно, 49,5% общего увеличения товарооборота, вызванного ростом доходов населения, происходит в текущий момент времени; 24,8% – в момент времени (t+1); 12,9% – в моменты времени (t+2) и (t+3).

3. Средний лаг в модели определяется следующим образом:

Величина среднего лага меньше месяца, что подтверждает, что эффект роста доходов населения на объем товарооборота проявляется сразу же.

Медианный лаг для данной модели составляет чуть более 1 месяца.