Диффузия в твердых телах

Диффузия – это тепловое перемешивание атомов. Даже при невысоких температурах из-за максвелловского распределения атомов по скоростям некоторые атомы могут разорвать связи с решеткой и перейти в новое положение.

Различают самодиффузию и диффузию примесей. В идеальной кристаллической решетке не может быть диффузии, так как для ее осуществления необходимы дефекты – вакансии, дивакансии, междоузельные атомы и т.п.

Рассмотрим элементарный акт диффузии, следуя Я.И. Френкелю.

При температуре Т атомы колеблются около равновесного положения с частотой vo ~ 10–13 c, а вероятность Pm преодоления потенциального барьера высотой Em из-за статистического характера процесса равна:

Диффузия в твердых телах - student2.ru (6.18)

где Em – энергия миграции вакансии, определяющаяся прочностью межатомных связей;

t – время оседлой жизни вакансии.

При наличии вакансии справа произойдет элементарный акт самодиффузии (рис. 6.6).

Средняя скорость миграции вакансии в кристалле

Диффузия в твердых телах - student2.ru , (6.19)

где d – длина скачка.

Диффузия в твердых телах - student2.ru

Рис. 6.6. Элементарный акт диффузии

Вероятность Рв обнаружения вакансии рядом с атомом равна n/N, т.е.

Диффузия в твердых телах - student2.ru , (6.20)

где Еф – энергия образования дефекта по Френкелю.

Полная вероятность процесса миграции атома:

Диффузия в твердых телах - student2.ru

Диффузия в твердых телах - student2.ru (6.21)

где q – время оседлой жизни атома.

Энергия активации самодиффузии:

Q = Em + Eф (6.22)

Средняя скорость миграции атома:

Диффузия в твердых телах - student2.ru (6.23)

При Т = 900 К для Ge Em = 1 эВ, d ~ 3×10–8 см, < Диффузия в твердых телах - student2.ru в> ~ 1 см/с, – это скорость миграции вакансии, а для атома Q = 3 эВ < Диффузия в твердых телах - student2.ru а> ~ 10–11 см/с.

Применяя к диффузии вакансии кинетическую теорию газов

Диффузия в твердых телах - student2.ru (6.24)

где <l> – средняя длина пробега до столкновения,

и теорию случайных блужданий (х – длина скачка):

Диффузия в твердых телах - student2.ru (6.25)

где Диффузия в твердых телах - student2.ru – вероятность не иметь столкновений.

Так как

Диффузия в твердых телах - student2.ru (6.26)

то

Диффузия в твердых телах - student2.ru (6.27)

Механизмы диффузии

1. Вакансионный механизм (самодиффузия) или диффузия примесей “замещения”. Для диффузии примесей по вакансионному механизму необходимо сходство строения электронных оболочек и различие в размерах атомов менее 14 %. В сложных решетках (А3В5, А2В6) механизм самодиффузии намного сложнее. Каждый элемент диффундирует по своей подрешетке.

Пример: элементы III и V групп в Ge и Si (рис. 6.7).

Диффузия в твердых телах - student2.ru

Рис. 6.7. Диффузия атомов замещения по вакансиями.

2. Диффузия по междоузлиям (примеси внедрения). Не требует образования вакансий. Qi < Qs . Электронные оболочки сильно отличаются, размеры атомов малы: H, C, N, переходные элементы в металлах. Междоузельные примеси скапливаются у дислокаций, сильно влияют на механические свойства твердых тел.

Пример: Li, Cu, Ag, Au, Pt, ... в Si и Ge. Твердые растворы внедрения не отличаются большой стабильностью (рис. 6.8).

3. Диссоциативный механизм. Перемещение по междоузлиям, а остановка в узлах. Так диффундируют многие примеси в А3В5, особенно примеси переходных элементов.

Наибольший практический интерес представляет направленная диффузия, движущей силой которой является градиент свободной энергии (химпотенциала). Этот градиент может быть создан концентрацией примеси, электрическим, тепловым и другими полями. Рассмотрим диффузию при наличии градиента концентрации (C).

Диффузия в твердых телах - student2.ru

Рис. 6.8. Диффузия атомов внедрения

Уравнения диффузии

Получены в 1855 г. А. Фиком при исследовании биологических объектов.

Первый закон Фика:

Диффузия в твердых телах - student2.ru (6.28)

где J – плотность потока диффундирующих атомов;

С – концентрация;

D – коэффициент диффузии.

В одномерном случае:

Диффузия в твердых телах - student2.ru (6.29)

т.е. если нет grad C, то J = 0.

Для нестационарного потока – второй закон Фика:

Диффузия в твердых телах - student2.ru (6.30)

J меняется, так как меняется со временем С (рис. 6.9).

Диффузия в твердых телах - student2.ru (6.31)

Диффузия в твердых телах - student2.ru (6.32)

если D ¹ f (x).

Диффузия в твердых телах - student2.ru

Рис. 6.9. Второй закон диффузии

В трехмерном случае:

Диффузия в твердых телах - student2.ru (6.33)

Это уравнение непрерывности, отражающее закон сохранения вещества.

Уравнения Фика в общем случае не решаются, а решаются только при определенных граничных и начальных условиях.

Решения уравнения диффузии

1. Диффузия из бесконечного источника

В технологии получения p-n перехода при диффузии из газовой среды вещество (BCl3, PCl5 и др.) поступает в полубесконечное тело через х = 0 и поверхностная концентрация С0 сохраняется постоянной (рис. 6.10). Граничные условия:

C(x, t) = C0 при х = 0, любых t

C(x, t) = 0 при х > 0, t =0 (6.34)

C(x, t) = C при х > 0, t > 0

Диффузия в твердых телах - student2.ru

Рис. 6.10. Диффузия из бесконечного источника

Решение уравнения (5):

Диффузия в твердых телах - student2.ru

Диффузия в твердых телах - student2.ru (6.35)

Функции Диффузия в твердых телах - student2.ru и Диффузия в твердых телах - student2.ru табулированы. Для определения D надо построить распределение С/С0 = f(х), наложить на него кривую Диффузия в твердых телах - student2.ru , найти Диффузия в твердых телах - student2.ru и определить D, зная t и х. Чаще приходится строить распределение С(х), зная D при данной температуре.

2. Диффузия из ограниченного источника

Это диффузия из напыленной пленки, из слоя после загонки и др. (рис. 6.11).

Диффузия в твердых телах - student2.ru

Рис. 6.11. Диффузия из ограниченного источника

Пусть источник толщиной h расположен на х = 0

Диффузия в твердых телах - student2.ru (6.36)

С0×h = N0 на единицу площади (6.37)

Решение уравнения (6.32) имеет вид:

Диффузия в твердых телах - student2.ru (6.38)

Коэффициент диффузии D определяется из графика (рис. 6.12):

Диффузия в твердых телах - student2.ru (6.39)

Диффузия в твердых телах - student2.ru , t – известно (6.40)

Диффузия в твердых телах - student2.ru

Рис. 6.12. Определение коэффициента диффузии D из распределения концентрации примеси С(х, t)

Измеряя D при разных температурах, можно определить Q (рис.6.13):

Диффузия в твердых телах - student2.ru (6.41)

Диффузия в твердых телах - student2.ru (6.42)

Диффузия в твердых телах - student2.ru

Рис. 6.13. Температурная зависимость коэффициента диффузии Диффузия в твердых телах - student2.ru

Для определения D можно использовать метод изотопов, оптические методы, определение концентрации свободных носителей и др.

Наши рекомендации