Кривые распределения. Критерии согласия

Кривая распределения – кривая линия, которая отражает закономерность изменения частот в чистом, исключающем влияние случайных факторов виде.

Теоретическая кривая распределения - кривая, выражающая общую закономерность данного типа распределения в чистом виде, исключающем влияние случайных факторов.

Закономерности распределения - закономерности изменения частот в вариационных рядах.

Нормальное распределение выражается следующей стандартизированной кривой нормального распределения: ,

где y_t - ордината кривой нормального распределения; - стандартизированная (нормированная) величина; e и π – математические постоянные.

В статистической практике большой интерес представляет решение вопроса о том, в какой мере можно считать полученное в результате статистического наблюдения распределение признака в исследуемой совокупности, соответствующее нормальному распределению.

Для решения этого вопроса следует рассчитать теоретические частоты нормального распределения, т.е. те частоты, которые были бы, если бы данное распределение в точности следовало закону нормального распределения. Для расчета теоретических частот применяется следующая формула:

,

величина определяется по специальной таблице (Приложение 1).

Следовательно, в зависимости от величины t для каждого интервала эмпирического ряда определяются теоретические час­тоты.

Степень расхождения теоретических и эмпирических частот оценивается с помощью особых показателей – критериев согласия, с помощью которых проверяется гипотеза о законе распределения.

Наиболее распространенным является критерий согласияК. Пирсона χ² ("хи- квадрат"), исчисляемый по формуле:

,

где f - эмпирические частоты (частости) в интервале;

f´- теоретические частоты (частости) в интервале.

Полученное значение критерия (χ²_расч) сравнивается с таблич­ным значением (χ²_табл). Последнее определяется по специальной таблице (Приложение 2) в зависимости от принятой вероят­ности (Р) и числа степеней свободы k (для нормального распре­деления k равно числу групп в ряду распределения минус 3).

Если χ²_расч £ χ²_табл , то гипотеза о близости эмпирического распределения к нормальному не отвергается.

При расчете критерия Пирсона необходимо соблюдать усло­вия: число наблюдений должно быть достаточно велико (п ³ 50); если теоретические частоты в некоторых интервалах меньше 5, то интервалы объединяют так, чтобы частоты были больше 5.

Используя величину χ²,В.И. Романовский предложил оце­нивать близость эмпирического распределения кривой нормаль­ного распределения по отношению:

,

где k - число групп; (k – 3) - число степеней свободы при исчислении частот нормального распре­деления.

Если < 3, то можно принять гипотезу о нормальном характере эмпирического распределения.

Распространенным критерием согласия является критерий А.И. Колмогорова (l):

,

где D - максимальное значение разности между накопленными эмпирически­ми и теоретическими частотами; - сумма эмпирических частот.

По таблице значений вероятностей l-критерия находят соот­ветствующую вероятность (Р). Приведем краткую выдержку из таблицы значений функции k(l) А.Н. Колмогорова:

l	1,23	1,36	1,63	1,80	2,00
Р или k(l)	0,9030	0,9505	0,9902	0,9970	0,9993

Если найденной величине l соот­ветствует значительная по величине вероятность (Р), то расхож­дения между эмпирическим и теоретическим распределениями несущественны и рассматриваемое распределение следует закону нормального распределения.

Практическое и научное значение имеет распределениеПу­ассона. Оно характерно для редко встречающихся явлений, поэтому его называют "законом редких явлений" (или "законом малых чисел").

Закон Пуассона применяется для совокупностей, достаточно больших по объему (n ³ 50) и имеющих достаточно малую долю единиц, обладающих данным признаком (р £ 0,1), например, для распределения партий готовой продукции по числу забракован­ных изделий, печатных страниц по числу опечаток, станков по числу отказов, ткацких станков по числу обрывов нити и т. д.

Теоретические частоты распределения Пуассона определяют­ся формулой:

,

где n - общее число независимых испытаний;

l - среднее число появления редкого события в п одинаковых независи­мых испытаниях;

т - частота данного события (т = 0, 1, 2 ...);

е - основание натуральных логарифмов, е = 1,271828.

Величина е^-l определяется по специальной таблице (Приложение 3); m! – произведение 1×2×3×…×m; 0! – считается равным единице.

Например. Рассмотрим построение кривой нормального распределения на примере, характеризующем распределение партий деталей по длительности производственного цикла:

Таблица 5.2

Границы интервала, час	Наблюдаемая частота, fi	Нормированное отклонение для нижней границы интервала, =	Нормированное отклонение для верхней границы интервала, =	Значение интегральной функции Лапласа для F( )	Значение интегральной функции Лапласа для F( )	Оценка вероятности попадания в интервал Pi	Частота теоретического распределения
1	2	3	4	5	6	7=6-5	8=7*71
-∞ - 28		-∞	-1,927	-0,5000	-0,4732	0,0268	1,9
28-113		-1,927	-1,393	-0,4732	-0,4177	0,0555	3,94
113-198		-1,393	-0,852	-0,4177	-0,3023	0,1154	8,19
198-283		-0,852	-0,312	-0,3023	-0,1217	0,1806	12,82
283-368		-0,312	+0,229	-0,1217	+0,0910	0,2127	15,11
368-453		+0,229	+0,769	+0,0910	+0,2791	0,1884	13,40
453-538		+0,769	+1,31	+0,2791	+0,4049	0,1258	8,93
538-623		+1,31	+1,86	+0,4049	+0,4686	0,0637	4,52
623-708		+1,86	+2,39	+0,4686	+0,4915	0,0229	1,63
708- +∞		+2,39	+∞	+0,4915	+0,5000	0,0085	0,59
Итого

Нормальное распределение определяется двумя параметрами – это средняя арифметическая и среднее квадратическое отклонение. По нашим данным =331 ч., σ = 157,25 ч. Все последующие расчеты для определения теоретических частот представлены в графах 3-8 табл.5.2. Значения граф 5 и 6 определяются по таблицам интегральной функции Лапласа (Приложение 4). 7 графа определяется разностью гр.6 – гр.5. Теоретическая частота гр.8 = . Например, для первого интервала = 0,0268·71 = 1,9 и т.д.

Расчет критерия Пирсона: при расчете нужно соблюдать следующие условия:

1) число наблюдений должно быть достаточно велико (п ³ 50);

2) если теоретические частоты в некоторых интервалах меньше 5, то интервалы объединяют так, чтобы частоты были больше 5.

Воспользуемся данными примера, приведенного в табл.5.2, для расчета критерия "хи-квадрат", предварительно округлив теоретические частоты в гр.8, а также объединив частоты двух и трех последних интервалов, выполняя требование ³5. Получим частоты эмпирического и теоретического распределений, приведенные в табл.5.3.

Таблица 5.3

Номер интервала	Эмпирические частоты	Теоретические частоты
				0,17
				2,00
				0,08
				0,00
				1,23
				0,00
				0,57
Итого				4,05

χ²_расч = 4,05.

Для проверки гипотезы о нормальности распределения число степеней свободы равно (k-3), где k – число групп. Следовательно, число степеней свободы равно: 7-3=4.

Уровень значимости выбирается таким образом, что Р(χ²_расч > χ²_табл)=a (величина a принимается равной 0,05 или 0,01).

При уровне значимости 0,05 и числе степеней свободы 4: χ²_табл=9,5.

Таким образом, расчетное значение критерия Пирсона не превышает табличное значение (4,05<9,5) при a =0,05, т.е. проведенный расчет дает право не отвергать гипотезу о нормальном характере эмпирического распределения.

Например, по критерию Романовского:

=

Так как рассчитанное отношение значительно меньше 3, следует принять гипотезу о нормальности эмпирического распределения.