Предельный спрос по бюджету и предельный спрос по ценам

Отметим важное свойство функции спроса: пропорциональное изменение цен и дохода не влияет на величину спроса, т.е. для любого имеем

Следовательно, функция спроса является однородной функцией нулевой степени.

Воспользовавшись теоремой Эйлера об однородной функции, получим:

или

(2.30)

В последнем равенстве

- (2.31)

коэффициент перекрестной эластичности спроса на i-е благо по цене на k-е благо, показывающий процентное изменение спроса на i-е благо при изменении цены k-го блага на один процент;

- коэффициент эластичности спроса на i-е благо по бюджету потребителя М, показывающий процентное изменение спроса на i-е благо при изменении бюджета потребителя М на один процент при условии, что вектор рыночных цен остается неизменным.

Выводом из (2.30) может служить следующее замечание: для каждого i-го блага сумма всех I перекрестных эластичностей спроса по цене и эластичности спроса по доходу должна быть равна нулю, т.е. сумма всех эластичностей по цене равна отрицательной эластичности по доходу.

По знаку коэффициента эластичности спроса по бюджету потребителя блага классифицируются на ценные и малоценные. Если , то спрос на i-е благо растет с ростом бюджета М. Такое благо является ценным для потребителя. Если , то спрос на i-е благо падает с ростом бюджета М. Такое благо является малоценным для потребителя. В случае если эластичность находится в пределах от 0 до 1, то благо характеризуется малой эластичностью спроса, для - средней эластичностью, а в случае больше единицы – высокой эластичностью.

Коэффициенты эластичности по бюджету подразделяются на полные и частные. Полный коэффициент эластичности соответствует случаю, когда используемая в расчетах информация является однородной, т.е. содержит данные о потреблении семей, различающихся только уровнем дохода.

Представительная и в полном смысле однородная информация по потреблению как правило отсутствует. По этой причине полные коэффициенты эластичности потребления удается рассчитать лишь с некоторым приближением, например, по данным уравнения регрессии, связывающего потребление с доходом.

В связи с этим широкое применение получили частные коэффициенты эластичности, которые характеризуются влияние на потребление какого-либо одного фактора. В частности, коэффициент эластичности спроса по цене характеризует изменение спроса при изменении цены данного товара или цен других, связанных с ним товаров. В общем случае спрос на отдельный товар при прочих равных условиях зависит от уровня цен на весь набор товаров.

Если , то спрос на i-е благо растет с ростом цены на k-е благо (блага i-е и k-е являются взаимозаменяющими). Если , то спрос на i-е благо падает с ростом цены на k-е благо (блага i-е и k-е являются взаимодополняющими). Если , то блага являются независимыми.

Если в соотношении (2.31) положить i=k, то получим

- прямой коэффициент эластичности спроса на i-е благо по цене на это же благо, показывающий процентное изменение спроса на i-е благо при однопроцентном изменении цены на это благо (при условии, что все остальные цены и бюджет потребителя неизменны).

Если , то спрос на i-е благо падает с ростом цены (нормальное благо). Если , то спрос на i-е благо растет или остается неизменным с ростом его цены (особенное или гиффеновое благо). Как правило, гиффеновыми являются малоценные для потребителя с низким уровнем дохода блага, повышение спроса на которые при некомпенсированном росте цен сопровождается отказом от покупки более ценных благ.

Перепишем соотношение (2.30) в следующем виде:

Если повышению цены на 1% соответствует снижение спроса более чем на 1%, и наоборот, понижение цены на 1% приводит к росту покупок больше чем на 1%, то можно утверждать наличие спроса эластичного характера: ; если увеличение цены на 1% влечет падение спроса менее чем на 1%, то спрос неэластичен: . Однако эластичность товара не есть неотъемлемое его свойство: она меняется в зависимости от конкретных условий рыночного окружения и потребительских предпочтений.

Вопрос 7. Экономическое содержание двойственности. Способы получения и практическое использование оценок ресурсов и технологий.

В качестве примера рассмотрим простейшую модель оптимизации производства по критерию максимума дохода в случае, когда для производства j-й продукции используется один технологический способ производства Т_j ( j = 1,2,..., n). Пусть р_j — доход от реализации продукции, изготовляемой однократным применением j-й технологии. Тогда вектор “выпуск-затраты”, описывающий j-й производственный способ имеет вид Р_j =( р_j ; a_1j , a_2j ,..., a_ij ,..., a_nj), где a_ij — затраты i-го ресурса ( i =1,2,..., т) при однократном применении j-й технологии. Состояние производственной системы задается вектором интенсивностей использования технологий Т₁,..., Т_n. Вектор “выпуск-затраты”, описывающий функционирование производственной системы, имеет вид . При этом выпуск товарной продукции равен , а затраты i-го ресурса составляют величину .

(2.7-2.9)

Рассмотрим модель с точки зрения ценности имеющихся у предприятия ресурсов. Каждый вид ресурса обладает некоторой “теневой ценой”, определяющей ценность данного ресурса для предприятия с точки зрения дохода от реализации выпускаемой продукции и зависящей от наличного запаса этого ресурса и потребности в нем для выпуска продукции.

Если предприятие ограничивается одним производственным способом, требующим больших затрат некоторого ресурса, запасы которого ограничены, то теневая цена этого ресурса будет велика. Однако установленные в соответствии с этим способом производства теневые цены не будут наилучшими, так как введение других производственных способов позволяет более рационально использовать все запасы ресурсов.

Экономический результат совпадает с затраченными ресурсами, исчисленными в их теневых ценах. Оптимальные теневые цены называют объективно обусловленными оценками (о.о.о.) или оптимальными оценками, или двойственными оценками ресурсов.

Для определения о.о.о. ресурсов составим самостоятельную задачу линейного программирования.

Обозначим через у_i ( i =1,2,..., m) о.о.о. i-го ресурса. Величины у_i должны быть такими, чтобы сумма теневых цен ресурсов, затрачиваемых при любом используемом производственном способе, не была меньше величины дохода р_j :

Если производственная система находится в оптимальном состоянии, то ресурсы потребляются в соответствии с их о.о.о., а их суммарная теневая цена является наименьшей возможной

Таким образом, задача определения о.о.о. ресурсов формулируется как следующая оптимизационная задача:

Задача линейного программирования (2.21)-(2.23) называется двойственной задачей по отношению к задаче (2.7)-(2.9). Прямая и двойственная задачи тесно связаны между собой. Эта связь заключается в следующем:

- если прямая задача является задачей на максимум, то двойственная задача — на минимум;

- коэффициенты целевой функции в прямой задаче являются свободными членами в ограничениях двойственной задачи и, наоборот, свободные члены из ограничений прямой задачи являются коэффициентами целевой функции двойственной задачи;

- коэффициенты при переменных в ограничениях двойственной задачи являются столбцами матрицы коэффициентов ограничений прямой задачи;

- знаки неравенств в системе ограничений прямой задачи меняются на противоположные в системе ограничений двойственной задачи.

Установим связь между решениями прямой и двойственной задач линейного программирования.

Также как и в предыдущем пункте, примем в прямой задаче переменные x₁,..., x_n за свободные и сформулируем ее в виде модели (2.11), (2.12), (2.9), обозначив переменные группы t_i через переменные x_{n+ i} :

с = 0 - ® max;

x_{n+ i} = b_i - , x_{n+ i} ³ 0 (i=1,2,..., m);

х_j ³ 0 (j=1,2,..., n).

Этой задаче соответствует матрица коэффициентов

. (2.24)

В двойственной задаче примем за свободные переменные у₁,..., у_m и сформулируем ее в следующем виде:

q = 0 +

у_{m+ j} = -

у _i ³ 0; ( i =1,2,..., m).

Отметим, что экономическое содержание переменных у_{m+ j} — превышение теневой цены вектора затрат по i-му производственному способу над доходами, выраженными в величине выпуска р _j.

Этой задаче соответствует матрица коэффициентов:

. (2.25)

Столбцы матрицы (2.25) являются строками матрицы (2.24), Следовательно, прямая и двойственная задачи описываются одной и той же матрицей, в которой должно быть установлено следующее соответствие между переменными:

(2.26)

Отметим, что любое преобразование матрицы (2.24) по правилам симплекс процедуры приводит к новой матрице, которая описывает новое допустимое (или оптимальное) решение как прямой, так и двойственной задач.

Отсюда следуют важные соотношения, выражающие математические свойства решений прямой и двойственной задач (1и 2 теоремы двойственности):

1)равенство экстремальных значений целевых функций (верхний левый угол таблиц коэффициентов в последней симплекс-таблице):

2) свободные переменные в оптимальном решении прямой задачи (принимают нулевое значение) соответствуют (в силу 2.26) базисным переменным оптимального решения двойственной задачи (принимают положительные значения) и наоборот. Таким образом, справедливы следующие соотношения “дополняющей нежесткости”:

(2.28)

Краткая экономическая интерпретация соотношений:

Итак, соотношение (2.27) показывает, что в оптимальном состоянии суммарный выпуск предприятия совпадает с затратами производственных ресурсов, исчисленными в их теневых ценах. Первое из соотношений (2.28) показывает, что, если i-й производственный ресурс является недефицитным (т.е. выражение в круглых скобках строго положительно), то его теневая цена равна нулю. Наконец, второе из соотношений (2.28) показывает, что если j-й производственный способ является интенсивным, т.е. , то величина выпуска р _j совпадает с затратами производственных ресурсов по этой технологии.

Экономическая интерпретация двойственных оценок:

· Для продуктов – это упущенная выгода в случае включения данного продукта в производственную программу (насколько уменьшится совокупный выпуск, если мы решим отвлечь недефицитные ресурсы на выпуск 1 ед. этого продукта);

· Для ресурсов – предельная отдача ресурсов (насколько увеличится совокупный выпуск при увеличении данного ресурса на 1 ед.).

Свойства двойственных оценок: