Одномерные случайные величины

Под случайной величиной понимают величину, принимающую свои возможные значения в зависимости от исхода эксперимента, с которым она связана.

Законом распределения (вероятностей) случайной величины называют любое правило, позволяющее найти вероятность того, что случайная величина примет значение из некоторого подмножества своих возможных значений. Общим законом распределения, присущим всем случайным величинам, является функция распределения.

Функцией распределения (вероятностей) случайной величины называется функция действительной переменной , , определяемая формулой .

Каждая функция распределения обладает следующими свойствами:

1) , ; 2) не убывает;

3) , ; 4) непрерывна слева.

Любая неубывающая непрерывная слева действительная функция , удовлетворяющая условиям и , является функцией распределения некоторой случайной величины.

Вероятность события определяется формулой:

.

Случайная величина называется дискретной случайной величиной (ДСВ), если множество её возможных значений конечно или счётно, причём , , где суммирование распространяется на все возможные значения . Функция распределения в этом случае имеет ступенчатый вид и задаётся формулой , где суммирование распространяется на все значения индекса , для которых .

Закон распределения ДСВ удобно задавать рядом распределения. Рядом распределения ДСВ называют таблицу, в которой перечислены все возможные значения этой случайной величины и соответствующие им вероятности . Для наглядности закон распределения ДСВ изображают графически, для чего в прямоугольной системе координат строят точки и соединяют их отрезками прямых. Полученную фигуру называют многоугольником распределения.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется число , если ряд сходится абсолютно.

Дисперсией случайной величины называется неотрицательное число . Число называется средним квадратичным отклонением.

Дисперсию дискретной случайной величины вычисляют по формулам:

или .

Пусть -постоянная величина. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины обладают следующими свойствами:

Свойства математического ожидания: 1) ; 2) ; 3) ; 4) , если и независимы.

Свойства дисперсии: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) , если и независимы.

Случайная величина называется (абсолютно) непрерывной случайной величиной(НСВ), если её функция распределения представляется в виде , , где -неотрицательная и интегрируемая в бесконечных пределах функция, называемая функцией плотности (распределения) вероятностей. Множество возможных значений непрерывной случайной величины несчётно и обычно представляет собой некоторый конечный или бесконечный промежуток числовой прямой.

Функция распределения непрерывной случайной величины является непрерывной неубывающей функцией на всей числовой прямой, причём вероятность попадания в любую фиксированную точку равна нулю: , .

Функция является плотностью вероятностей некоторой НСВ , тогда и только тогда, когда: 1) ; 2) .

Плотность вероятностей в точках, где дифференцируема, определяется равенством: . В точках, где не дифференцируема, плотность вероятностей , определяется произвольным образом, чаще всего по непрерывности слева или справа.

Для непрерывной случайной величины с плотностью вероятностей :

.

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины называется число , если интеграл сходится абсолютно.

Дисперсию непрерывной случайной величины вычисляют по формулам:

или .

Медианой непрерывной случайной величины называется число , удовлетворяющее условию или .

Начальным моментом -го порядка ( ) распределения случайной величины (если он существует) называется число .

Центральным моментом -го порядка ( ) распределения случайной величины (если он существует) называется число .

Для непрерывной случайной величины начальные и центральные моменты вычисляют по формулам: , .

2.2 Основные законы распределения одномерных случайных величин.

Дискретная случайная величина имеет биномиальное распределение , если: , .Если ~ , то: , .

Дискретная случайная величина имеет распределение Пуассона если: , .Если ~, то:

, .

Непрерывная случайная величина имеет равномерное распределение ,если: .Если ~, то: , , .

Непрерывная случайная величина имеет показательное распределение ,если: .Если ~, то: , , .

Непрерывная случайная величина имеет нормальное распределение ,если: , . Если ~, то: , , , , где - функция Лапласа, значения которой находят с помощью специальных таблиц.

2.3 Многомерные случайные величины.

Под -мерной случайной величиной (случайным вектором) понимаютсовокупность случайных величин , принимающих свои возможные значения в зависимости от исхода эксперимента, с которым они связаны. Ограничимся рассмотрением двумерных случайных величин , .

Функцией распределения случайного вектора называется функция действительных переменных и , , определяемая формулой .

Зная функцию распределения (совместную) вектора , можно найти функцию распределения (частную) каждой компоненты:

, .

Случайные величины и называются независимыми, если для всех : . В противном случае случайные величины называют зависимыми.

Случайный вектор называется дискретным случайным вектором, если каждая из его компонент является дискретной случайной величиной. Ограничимся рассмотрением дискретных случайных величин и с конечным множеством возможных значений и .

Функция распределения дискретного случайного вектора задаётся формулой , где , , и суммирование распространяется на все значения индексов и для которых и .

Закон распределения дискретного случайного вектора удобно задавать таблицей распределения (вероятностей), в которой перечислены все возможные пары значений ), , компонент вектора и соответствующие им вероятности , причём .

Частные законы распределения , и , компонент и , где , , можно найти, производя в таблице суммирования в каждой строке по столбцам и в каждом столбце по строкам.

Дискретные случайные величины и независимы тогда и только тогда, когда , , , . В противном случае они зависимы.

Ковариацией (корреляционным моментом) случайных величин и называют число . Очевидно, что . Более удобной для вычисления является формула . Для независимых случайных величин и : (необходимое условие независимости).

Коэффициентом корреляциислучайных величин и называют число

, где , .

Коэффициент корреляции обладает свойствами: 1) ; 2) тогда и только тогда, когда и связаны линейной зависимостью , ; 3) если и независимы, то (необходимое условие независимости). Если , то случайные величины и называют некоррелированными.

Условные законы распределения компоненты при , (индекс сохраняет одно и тоже значение при всех возможных значениях ) задают рядами распределения, указывая все возможные значения и соответствующие им условные вероятности: , . Аналогично задают условные законы распределения компоненты при , : , . Условные вероятности компонент и вычисляют соответственно по формулам:

, .

Числовые характеристики , , , , , вычисляют по формулам: , , ,

, .

Условные математические ожидания дискретных случайных величин и при условиях и определяются соответственно формулами: , .

Вероятность события , где - постоянная величина, вычисляется по формуле , где суммирование распространяется на все значения индексов и для которых .

2.4 Функции случайных величин.

Случайную величину , которая каждому исходу ставит в соответствие число , называют функцией от скалярной случайной величины и пишут .

Функция от дискретной случайной величины также является дискретной. Если задана рядом распределения , , то рядом распределения случайной величины является ряд: , , , где - различные числа среди чисел , ( суммирование распространяется на все значения индекса для которых ).

Функция от непрерывной случайной величины может быть как непрерывной, так и дискретной случайной величиной.

Для вычисления числовых характеристик неслучайной функции от случайной величины можно не знать закон распределения зависящей от случайной величины , а достаточно знать закон распределения случайного аргумента . Математическое ожидание и дисперсия случайной величины , где дискретная случайная величина задана рядом распределения , , , могут быть найдены по формулам:

, .

Тема 3. Предельные теоремы теории вероятностей.

Если для неотрицательной случайной величины существует математическое ожидание , то для всех выполняется неравенство:

(первое неравенство Чебышева).

Если для случайной величины существует дисперсия , то для всех выполняется второе неравенство Чебышева:

или

Второе неравенство Чебышева часто используют в виде:

, .

Последовательность случайных величин называют сходящейся по вероятности к случайной величине (кратко записывается ), если для всех : .

Говорят, что для последовательности случайных величин , имеющих математические ожидания , , выполняется закон больших чисел, если , т.е. для всех .

Закон больших чисел в форме Чебышева. Если последовательность независимых случайных величин такова, что существуют и , причём дисперсии этих величин равномерно ограничены (не превышают постоянного числа ), то для неё выполняется закон больших чисел, т.е. . В частности, если случайные величины , являются также одинаково распределёнными (в этом случае , ), то .

Закон больших чисел в форме Бернулли. Если - число успехов в испытаниях по схеме Бернулли с вероятностью успеха в отдельном испытании, то , т.е. для всех .

Закон больших чисел в форме Бернулли является частным случаем закона больших чисел в форме Чебышева.

Центральная предельная теорема. Пусть - последовательность независимых одинаково распределённых случайных величин ( , , ), тогда последовательность нормированных случайных величин , где , сходится по распределению при к стандартной нормальной величине ~ , т.е. для всех : .

Тема 4. Основные понятия и задачи математической статистики. Предварительная обработка экспериментальных данных.

Выборкой объёма из генеральной совокупности называется совокупность наблюдаемых значений случайной величины , соответствующих независимым повторениям случайного эксперимента с которым связана величина . В математической статистике генеральную совокупностьотождествляют со случайной величиной, совокупность всех возможных значений которой и называют генеральной совокупностью.

Выборка может быть записана в виде вариационного и статистического (дискретного или интервального) рядов. Выборку, записанную в виде статистического ряда, называют группированной.

Вариационным рядом выборки называется такой способ её записи, при котором элементы выборки упорядочиваются по величине, т.е. записываются в виде последовательности , где . Разность называется размахом выборки. Всюду в дальнейшем выборочные характеристики будем, как правило, обозначать символом с « » наверху.

Различные значения , ( ), называются вариантами. Число повторений варианты в выборке называется её частотой, а отношение называется её относительной частотой.

Дискретным статистическим рядомназывается упорядоченная в порядке возрастания значений вариант последовательность пар , . Обычно его записывают в виде таблицы, первая стока которой содержит варианты , а вторая их частоты.

Полигоном частотназывается фигура, расположенная под ломаной линией с вершинами в точках , построенных в прямоугольной системе координат.

Интервальным статистическим рядомназывается последовательность пар , , где - непересекающиеся интервалы, как правило, равной длины, объединением которых является отрезок , содержащий все выборочные значения; - частота интервала , равная числу элементов выборки, значения которых попали в данный интервал. Обычно его записывают в виде таблицы, первая строка которой содержит границы интервалов или их середины , а вторая – частоты интервалов.

Гистограммой частотназывается ступенчатая фигура, составленная из прямоугольников, построенных на интервалах группировки так, что площадь каждого прямоугольника равна частоте , . Если длины всех интервалов одинаковы и равны , то высоты прямоугольников равны .