Текстовые и геометрические задачи

1. Зарплату повысили на p%. Затем новую зарплату повысили на 2p%. В результате двух повышений зарплата увеличилась в 1,32 раза. На сколько процентов зарплата была повышена во второй раз?

2. Собрали 140 кг грибов, влажность которых составляла 98%. После подсушивания их влажность снизилась до 93%. Какова стала масса грибов после подсушивания?

3. В колбе было 200 г 80%-ого спирта. Провизор отлил из колбы некоторое количество этого спирта и затем добавил в неё столько же воды, чтобы получить 60%-ый спирт. Сколько граммов воды добавил провизор?

4. Из сосуда, доверху наполненного 94%-м раствором кислоты. Отлили 1,5 литра жидкости и долили 1,5 литра 70%-ого раствора этой же кислоты. После этого в сосуде получился 86%-й раствор кислоты. Сколько литров раствора вмещает сосуд?

5. Гусеница ползёт по ломаной, причём длина первого звена ломаной 30 см, а каждое следующее звено на 2 см меньше предыдущего. На скольких звеньях ломаной побывала гусеница, если за день она проползла 2 метра.

6. Два каменщика, работая вместе, могут выполнить задание за 12 часов. Производительности труда первого и второго каменщиков относятся как 1:3. Каменщики договорились работать поочерёдно. Сколько времени должен проработать первый каменщик, чтобы это задание было выполнено за 20 часов?

7. Отец с сыном должны вскопать огород. Производительность труда у отца в два раза больше, чем у сына. Работая вместе, они могут вскопать весь огород за 4 часа. Однако вместе они поработали только 1 час, потом некоторое время работал один сын, а заканчивал работу уже один отец. Сколько часов в общей сложности проработал на огороде отец, если вся работа на огороде была выполнена за 7 часов?

8. Подарочный набор состоит из трёх сортов конфет. Массы конфет первого, второго и третьего сорта в этом наборе относятся как 1:2:8. Массу конфет первого сорта увеличили на 20%, а второго на – на 6%. На сколько процентов надо уменьшить массу конфет третьего сорта, чтобы масса всего набора не изменилась?

9. В течение двух суток количество бактерий в пробирке увеличивалось на 40% ежесуточно. На сколько процентов увеличилось количество бактерий за эти двое суток?

10. Гражданин взял из своих сбережений сначала 30%, а затем 50% от оставшейся части. На сколько процентов уменьшились в результате сбережения этого гражданина?

11. Кусок сплава меди с оловом массой 15 кг содержит 20% меди. Сколько чистой меди необходимо добавить к этому сплаву, чтобы новый сплав содержал 40% олова?

12. Найдите диаметр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, если один из его катетов равен 20, а проекция другого катета на гипотенузу равна 9.

13. В треугольнике АВС биссектриса угла А делит сторону ВС на отрезки, длины которых равны 28 и 12 см. Найдите в (см) периметр треугольника АВС, если АВ-АС=18см.

14. Большее основание равнобедренной трапеции равно 8, боковая сторона 9, а диагональ 11. Найдите меньшее основание трапеции.

15. Боковая грань правильной четырёхугольной пирамиды наклонена к плоскости основания под углом 30 градусов, апофема равна 4. Найдите объём пирамиды.

16. В параллелограмме АВСД биссектриса угла Д пересекает сторону АВ в точке К и прямую ВС в точке Р. Найдите периметр треугольника СДР, если ДК=18, РК=24, АД=15.

17. Радиус основания цилиндра равен 1, а высота равна . Отрезки АВ и СД – диаметры одного из оснований цилиндра, а отрезок АА₁ – его образующая. Известно, что АД= . Найдите косинус угла между прямыми А₁С и ВД.

18. Угол между боковой гранью правильной четырёхугольной пирамиды и плоскостью основания равен 60 градусов. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды, если её высота равна .

19. В равнобедренный треугольник РМК с основанием МК вписана окружность с радиусом . Высота РН делится точкой пересечения с окружностью в отношении 1:2, считая от вершины р. Найдите периметр треугольника РМК.

20. Найдите расстояние от точки пересечения медиан прямоугольного треугольника до его гипотенузы, равной 25, если один из катетов 20.

Ответы к тренировочным заданиям.

№ задания	Степени, корни, логарифмы.	Тригоно- метрические функции	Уравнения.	Неравенства.	Текстовые, геометрические задачи.
	17/72
					4,5
	0,5
	-1,4			(-10;20)
	37,5		-1
			3/2	(6,5;6,75]
				(-40;14)
	-4,5		0,1	(-0,4;-0,3]
	5,5		-3	(4,5;9)
				(0;7)
				[-2;0]
					0,2
				(-1;0)
				(-0,5;0,5)

Вопросы для подготовки к экзамену (первый семестр).

1. Приближённые вычисления. Абсолютная и относительная погрешности вычислений. Верные и сомнительные цифры в записи приближённого значения.

2. Погрешность произведения, частного. Примеры.

3. Способы решения систем линейных уравнений.

4. Функция. Способы задания функции. Область определения, область значений и график функции.

5. План исследования функции. Основные свойства функций.

6. Виды элементарных функций и их особенности.

7. Особенности графиков чётных и нечётных функций. Примеры. Монотонные и периодические функции.

8. Основные преобразования графиков функций.

9. Координаты на плоскости и в пространстве. Формула расстояния между двумя точками. Координаты середины отрезка.

10. Деление отрезка в данном отношении.

11. Полярная система координат. Формулы связи между полярными и декартовыми координатами.

12. Скалярные и векторные величины. Вектор. Действия над векторами. Правило треугольника и параллелограмма.

13. Координаты и длина вектора. Коллинеарные и компланарные векторы.

14. Скалярное произведение векторов и его свойства. Вычисление углов между векторами.

15. Линейно-независимые векторы. Базис. Разложение вектора на составляющие. Координаты вектора в данном базисе.

16. Градусная и радианная мера угла, соотношение между градусной и радианной мерой угла.

17. Определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса острого угла в прямоугольном треугольнике. Основные соотношения сторон и углов в прямоугольном треугольнике.

18. Тригонометрические функции числового аргумента, знаки их значений.

19. Соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента. Основное тригонометрическое тождество. Формулы приведения.

20. Формулы сложения, двойного и половинного аргумента.

21. Свойства и графики тригонометрических функций: y=sinx, y=ctgx.

22. Свойства и графики тригонометрических функций: y=cosx, y=tgx.

23. Гармонические колебания и их основные характеристики.

24. Основные аксиомы стереометрии и простейшие следствия из них.

25. Взаимное расположение прямых в пространстве. Вычисление углов между прямыми.

26. Взаимное расположение прямой и плоскости. Угол между прямой и плоскостью.

27. Взаимное расположение плоскостей. Двугранный угол. Угол между плоскостями.

28. Параллельное проектирование и его свойства. Изображение пространственных фигур на плоскости.

29. Свойства параллельных плоскостей.

30. Перпендикуляр и наклонная. Теорема о трёх перпендикулярах.

31. Решение систем уравнений с помощью определителей (на примере системы из двух уравнений).

32. Методы решения уравнений и неравенств.

Вопросы для подготовки к экзамену (второй семестр).

1. Определение производной функции, её геометрический и механический смысл.

2. Правила вычисления производных. Производные элементарных функций.

3. Правило вычисления производной сложной функции.

4. Производные тригонометрических функций.

5. Примеры задач, приводимых к понятию производной. Физический смысл производной.

6. Уравнение касательной к графику функции в данной точке (с выводом). Геометрический смысл производной.

7. Признак возрастания (убывания) функции. Роль первой производной в исследовании функций.

8. Критические точки функции, экстремумы. Признаки максимума и минимума.

9. План исследования функции с помощью производной. Примеры.

10. Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке. Алгоритм отыскания наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке.

11. Определение первообразной. Основное свойство первообразной. Примеры.

12. Правила нахождения первообразных. Примеры.

13. Площадь криволинейной трапеции. Вывод формулы: S=F(b)-F(a).

14. Определённый интеграл. Формула Ньютона-Лейбница. Геометрический смысл определённого интеграла.

15. Применение определённого интеграла к вычислению объёмов геометрических тел.

16. Физический смысл определённого интеграла. Применение определённого интеграла к решению физических задач.

17. Корень n-ой степени, его свойства. Примеры.

18. Свойства степеней с рациональным показателем. Примеры.

19. Показательная функция, её свойства и график.

20. Логарифмическая функция, её свойства и график.

21. Показательная и логарифмическая функции, как обратные функции.

22. Определение логарифма. Виды и свойства логарифмов. Логарифмирование и потенцирование.

23. Производная и первообразная показательной функции (с выводом).

24. Производная логарифмической функции (с выводом).

25. Степенная функция, её виды и свойства. Производная степенной функции (с выводом).

26. Определение многогранника. Виды многогранников. Объём и площадь поверхности многогранника.

27. Параллелепипед. Объём и площадь поверхности.

28. Призма: основные понятия и определения. Виды призм. Объём и площадь поверхности призмы.

29. Пирамида: основные понятия и определения. Виды пирамид. Объём и площадь поверхности пирамиды.

30. Усечённая пирамида. Объём и площадь поверхности.

31. Правильные многогранники. Симметрия правильных многогранников.

32. Тела вращения: основные понятия и определения. Цилиндр. Объём и площадь поверхности цилиндра (объём вывести с помощью определённого интеграла).

33. Конус. Объём и площадь поверхности конуса (вывести формулу объёма прямого кругового конуса с помощью определённого интеграла).

34. Шар. Объём шара (вывод). Сфера. Площадь поверхности сферы.

35. Усечённый конус. Объём и площадь поверхности усечённого конуса (вывести объём с помощью определённого интеграла).

Справочные материалы.