Проверка остатков регрессии на гетероскедастичность

Так как оценки параметров, полученные МНК , являются эффективными только при выполнении предпосылок МНК (п. 3.5), то после вычисления оце-нок и построения модели следует определить наблюдаемые отклонения e_i y_i f (x_1i, x_2i,..., x _pi)и проверить,удовлетворяются ли предпосылки МНК.

Рассмотрим методы, применяемые для проверки выполнения предпосылки о постоянстве дисперсий остатков (их гомоскедастичности).

Тест ранговой корреляции Спирменапроверяет наличие монотоннойзависимости между дисперсией ошибки и величиной фактора. Наблюдения (значения фактораx_iи остаткиe_i) упорядочиваются по величине фактораxивычисляется коэффициент ранговой корреляции Спирмена

				n
				d i2
		i 1
x ,e	n 2	( n 1) ,	(3.57)

где d_i– разность между рангами значений x_i и e_i в i-наблюдении. Коэффициент ранговой корреляции _x,e считается значимым на уровне

значимости α при n> 10, если выполняется условие

	t				x,e		n		>t1α, n 2,	(3.58)
			1 2x,e

где t_{1α, n 2}– табличное значение t-критерия Стьюдента на уровне значимости α и при числе степеней свободы (n–2).

Тест Гольдфельда–Квандта.Применяется в предположении,что средниеквадратические отклонения случайного члена σ_i пропорциональны значениям фактора x_i и случайный член распределен по нормальному закону. Процедура применения теста Гольдфелда– Квандта состоит из следующих шагов:

1) наблюдения упорядочиваются по мере возрастания факторах_i;

2) выделяются первые n′ и последние n′ наблюдений и исключаются из рассмотрения n–2n′ центральных наблюдений. При этом должно выполняться условие n′>р, где p – число оцениваемых параметров;

3) по каждой из групп оцениваются уравнения регрессии остатков ε_i по значимым факторам;

4) определяются остаточные суммы квадратов для первой (S₁=e²i) и

второй (S2=e2i) групп и находится их отношение:R = S2:S1	(S2>S1);
5) нулевая гипотеза о гомоскедастичности остатков отвергается, если вы-
полнено условие
				R F			p	(3.59)
				,n	p,n
где F			p	– табличное значениеF-критерия Фишера на уровне значимости
	,n	p,n

α при числе степеней свободы (n′–р) и (n′–р).

Авторами метода рекомендовано для случая одного фактора при n=30 принимать n′=11, а при n=60 принимать n′=22.

Тест Глейзера.Позволяет не только выявить наличие гетероскедастично-сти остатков, но и сделать определенные выводы о характере зависимости дис-

персии остатков _i от значений фактора х_i. В тесте проверяется существование функциональной зависимости следующего вида

ixiγ.

(3.60)

По полученным остаткам уравнения регрессии осуществляются регрессии

ei		xiγ	(3.61)

при различных значениях параметра γ (например, -1; 0,5; 1; 1,5; 2; …) и выби-рается зависимость с наиболее значимым коэффициентом β. Если все коэффи-циенты β не значимы, то нет оснований говорить о гетероскедастичности ос-татков.

Отобранная зависимость (с наиболее значимым коэффициентом β) использу-ется в ОМНК для получения улучшенных оценок параметров исходной модели.