Контрольная работа № 2. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии

2.1. Построить треугольник, вершины которого находятся в точках Контрольная работа № 2. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru и найти:

1) уравнение стороны АВ;

2) уравнение медианы, проведенной из вершины С;

3) координату точки пересечения медиан;

4) уравнение высоты, опущенной из вершины В на сторону АС и ее длину;

5) уравнение прямой, проходящей через точку С параллельно прямой АВ;

6) площадь треугольника.

2.2. Даны вершины треугольной пирамиды Контрольная работа № 2. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru , Контрольная работа № 2. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru . Найти:

1) угол между ребрами Контрольная работа № 2. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru и Контрольная работа № 2. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru ;

2) площадь грани Контрольная работа № 2. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru ;

3) объем пирамиды Контрольная работа № 2. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru ;

4) длину высоты, опущенной из вершины S на грань АВС;

5) уравнение высоты, опущенной из вершины S на грань АВС.

Краткие теоретические сведения для выполнения контрольной работы № 2 и решение типовых задач

Прямая на плоскости

Уравнение вида

Контрольная работа № 2. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru

называется общим уравнением прямой.

Уравнение вида

Контрольная работа № 2. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru

называется уравнением прямой с угловым коэффициентов, здесь Контрольная работа № 2. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru , Контрольная работа № 2. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru - угол, образованный прямой с положительным направлением оси Ох, b – ордината точки пересечения прямой с осью Оу.

Пусть даны две точки прямой Контрольная работа № 2. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru и Контрольная работа № 2. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru . Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки имеет вид

Контрольная работа № 2. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru .

Уравнение прямой, проходящей через заданную точку Контрольная работа № 2. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru в заданном направлении, определяемом угловым коэффициентом k , имеет вид

Контрольная работа № 2. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru .

Условие параллельности двух прямых

Две прямые Контрольная работа № 2. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru параллельны в том и только в том случае, когда составляют равные углы Контрольная работа № 2. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru с осью Ох, следовательно Контрольная работа № 2. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru или Контрольная работа № 2. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru .

Условие перпендикулярности двух прямых

Две прямые перпендикулярны в том и только в том случае, когда угол j между ними равен Контрольная работа № 2. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru , т.е. Контрольная работа № 2. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru .

Координаты точки Контрольная работа № 2. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru , делящей отрезок АВ в данном отношении Контрольная работа № 2. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru , где Контрольная работа № 2. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru , Контрольная работа № 2. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru , можно вычислить по формулам

Контрольная работа № 2. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru .

В частности, если Контрольная работа № 2. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru , то Контрольная работа № 2. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru , т.е. М – середина отрезка АВ, то формулы примут вид

Контрольная работа № 2. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru .

Если уравнение прямой дано в общей форме: Контрольная работа № 2. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru , то расстояние точки Контрольная работа № 2. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru до этой прямой находится по формуле:

Контрольная работа № 2. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru .

Площадь треугольника с вершинами Контрольная работа № 2. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru , Контрольная работа № 2. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru можно вычислить по формуле

Контрольная работа № 2. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru .

Пример

Даны вершины треугольника Контрольная работа № 2. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru . Найти:

1) уравнение стороны АВ;

2) уравнение медианы, проведенной из вершины С;

3) координату точки пересечения медиан;

4) уравнение высоты, опущенной из вершины В на сторону АС и ее длину;

5) уравнение прямой, проходящей через точку С параллельно прямой АВ;

6) площадь треугольника.

Решение

1) Используем уравнение прямой, проходящей через две точки Контрольная работа № 2. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru . Подставив координаты точек Контрольная работа № 2. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru , получим

Контрольная работа № 2. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru - общее уравнение прямой АВ, из которого находим уравнение прямой с угловым коэффициентом Контрольная работа № 2. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru , Контрольная работа № 2. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru .

2) Медиана, проведенная из вершины С делит противолежащую сторону АВ треугольника пополам. Найдем координаты точки Е середины стороны Контрольная работа № 2. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru (рис.1):

Контрольная работа № 2. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru , т.е. Контрольная работа № 2. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru , Контрольная работа № 2. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru . Подставим координаты точек в уравнение прямой, проходящей через две точки, получим Контрольная работа № 2. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru - общее уравнение прямой СЕ.

3) Точка М делит каждую медиану в отношении Контрольная работа № 2. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru , считая от вершины. Таким образом, ее координаты Контрольная работа № 2. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru можно найти по формулам:

Контрольная работа № 2. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru .

В нашем случае

Контрольная работа № 2. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru ,

откуда Контрольная работа № 2. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru .

4) Найдем уравнение прямой, проходящей через заданную точку Контрольная работа № 2. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru перпендикулярно прямой Контрольная работа № 2. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru из уравнения Контрольная работа № 2. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru . Найдем угловой коэффициент прямой АС, используя уравнение прямой, проходящей через две точки Контрольная работа № 2. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru и Контрольная работа № 2. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru :

Контрольная работа № 2. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru - уравнение АС.

Угловой коэффициент прямой АС равен Контрольная работа № 2. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru , тогда, используя условие перпендикулярности двух прямых Контрольная работа № 2. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru , получим

Контрольная работа № 2. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru - уравнение высоты.

Длину высоты можно найти, как расстояние от точки Контрольная работа № 2. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru до прямой АС по формуле Контрольная работа № 2. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru . В нашем случае уравнение прямой АС: Контрольная работа № 2. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru , следовательно,

Контрольная работа № 2. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru .

5) Для нахождения уравнения прямой, проходящей через точку С параллельно прямой АВ используем уравнение прямой, проходящей через заданную точку в заданном направлении Контрольная работа № 2. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru и условие параллельности двух прямых. Известно, что угловой коэффициент прямой АВ равен Контрольная работа № 2. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru , следовательно,

Контрольная работа № 2. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru -

- уравнение искомой прямой.

6) Площадь треугольника находится по формуле: Контрольная работа № 2. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru , в нашем случае

Контрольная работа № 2. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru .

у А(4;6)

Е

В(-4;0) М

0 1 х

С(-1;-4)

Рис. 1

Наши рекомендации