Необходимая численность выборки

Разрабатывая программу выборочного наблюдения, задаются конкретным значением предельной ошибки и уровнем вероятности. Не­известной остается минимальная численность выборки, обеспечиваю­щая заданную точность. Ее можно получить из формул средней и пре­дельной ошибок в зависимости от типа выборки. Так, подставляя фор­мулы сначала (39) и затем (40) в формулу (41) и решая ее относи­тельно численности выборки, получим следующие формулы:

для повторной выборки n = ; (46) для бесповторной выборки n = . (47)

Вариация ( ) значений признака к началу выборочного наблюдения как правило неизвестна, поэтому ее берут приближенно одним из способов:

1) берется из предыдущих выборочных наблюдений;

2) по правилу «трех сигм», согласно которому в размахе вариации укладывается примерно 6 стандартных отклонений (H/ = 6, отсюда = Н² /36);

3) если приблизительно известна средняя величина изучаемого признака, то = ² /9;

4) если неизвестна дисперсия доли единиц, обладающих каким-либо значением признака, то используется ее максимально возможная величина = 0,25.

Методические указания

Задача. На предприятии в порядке случайной бесповторной выборки было опрошено 100 рабочих из 1000 и получены следующие данные об их доходе за месяц (таблица 9):

Таблица 9. Результаты бесповторного выборочного наблюдения на предприятии

Доход, у.е.	до 300	300-500	500-700	700-1000	более 1000
Число рабочих

С вероятностью 0,950 определить:

1) среднемесячный размер дохода работников данного предприятия;

2) долю рабочих предприятия, имеющих месячный доход более 700 у.е.;

3) необходимую численность выборки при определении среднемесячного дохода работников предприятия, чтобы не ошибиться более чем на 50 у.е.;

4) необходимую численность выборки при определении доли рабочих с размером месячного дохода более 700 у.е., чтобы при этом не ошибиться более чем на 5%.

Решение. Для расчета обобщающих характеристик выборки построим вспомогательную таблицу 10.

Таблица 10. Вспомогательные расчеты для решения задачи

X	f	Х’	X’f	(Х’ - )2	(Х’ - )2f
до 300
300 - 500
500 - 700
700 - 1000
более 1000
Итого

По формуле (11) рассчитаем средний доход в выборке: = 57100/100 = 571 (у.е.). Применив формулу (28) и рассчитав ее числитель в последнем столбце таблицы, получим дисперсию среднего выборочного дохода: = 4285900/100 = 42859.

Теперь можно определить среднюю ошибку выборки по формуле (40): = = 19,640 (у.е.).

В нашей задаче = 0,950, значит t = 1,96. Тогда предельная ошибка выборки по формуле (41):

= 1,96*19,64 = 38,494 (у.е.).

Для определения средней ошибки выборки при определении доли рабочих с доходами более 700 у.е. в ГС необходимо определить их долю: w = 20/100 = 0,2 или 20%, а затем ее дисперсию по формуле = w(1-w) = 0,2*(1–0,2) = 0,16. Тогда можно рассчитать среднюю ошибку выборки по формуле (40): = = 0,038 или 3,8%. А затем и предельную ошибку выборки по формуле (41):

= 1,96*0,038 = 0,075 или 7,5%.

Доверительный интервал среднего дохода находим по формуле (44):

571-38,494 571+38,494 или 532,506 у.е. 609,494 у.е., то есть средний доход всех рабочих предприятия с вероятностью 95% будет лежать в пределах от 532,5 до 609,5 у.е.

Аналогично определяем доверительный интервал для доли по формуле (45):

0,2-0,075 p 0,2+0,075 или 0,125 p 0,275, то есть доля рабочих с доходами более 700 у.е. на всем предприятии с вероятностью 95% будет лежать в пределах от 12,5% до 27,5%.

В нашей задаче выборка бесповторная, значит, воспользуемся формулой (47), в которую подставим уже рассчитанные дисперсии среднего выборочного дохода рабочих ( = 42859) и доли рабочих с доходами более 700 у.е. ( = 0,16):

n_б/повт = = 62 (чел.), n_б/повт= = 197 (чел.).

Таким образом, необходимо включить в выборку не менее 62 рабочих при определении среднего месячного дохода работников предприятия, чтобы не ошибиться более чем на 50 у.е., и не менее 197 рабочих при определении доли рабочих с размером месячного дохода более 700 у.е., чтобы при этом не ошибиться более чем на 5%.