Cм 18Дисперсия случайной величины
Дисперсия случайной величины характеризует меру разброса случайной величины около ее математического ожидания.
Если случайная величина x имеет математическое ожидание Mx , то дисперсией случайной величины x называется величина Dx = M(x - Mx )2.
Легко показать, что Dx = M(x - Mx )2= Mx 2 - M(x )2.
Эта универсальная формула одинаково хорошо применима как для дискретных случайных величин, так и для непрерывных. Величина Mx 2 >для дискретных и непрерывных случайных величин соответственно вычисляется по формулам
, .
Для определения меры разброса значений случайной величины часто используется среднеквадратичное отклонение , связанное с дисперсией соотношением .
Основные свойства дисперсии:
дисперсия любой случайной величины неотрицательна, Dx 0;
дисперсия константы равна нулю, Dc=0;
для произвольной константы D(cx ) = c2D(x );
дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий: D(x ± h ) = D(x ) + D (h ).
20Дисперсия, как характеристика разброса случайной величины, имеет один недостаток. Если, например, Х – ошибка измерения имеет размерность ММ2, то дисперсия имеет размерность . Поэтому часто предпочитают пользоваться другой характеристикой разброса – средним квадратическим отклонением, которое равно корню квадратному из дисперсии.
Среднее квадратическое отклонение имеет ту же размерность, что и сама случайная величина.
Кроме математического ожидания и дисперсии, для оценки случайной величины используются начальные и центральные моменты случайной величины.
Начальным моментом порядка случайной величины называют математическое ожидание величины :
.
Центральным моментом порядка случайной величины называют математическое ожидание величины :
.
Начальный момент первого порядка равен математическому ожиданию самой случайной величины .
Центральный момент первого порядка равен нулю:
.
Централный момент второго порядка представляет собой дисперсию случайной величины
Для дискретных случайных величин:
;
Коэффицие́нт асимметри́и (skewness) — числовая характеризующая степени несимметричности распределения данной случайной величины.
Определение
Пусть задана случайная величина , такая что .
Коэффициент асимметрии распределения случайной величины определяется формулой:
где
— третий центральный момент случайной величины ;
— стандартное отклонение случайной величины ;
— дисперсия или второй центральный момент случайной величины ;
Если плотность распределения симметрична, то .
Если левый хвост распределения тяжелее, то .
Если правый хвост распределения тяжелее, то .
Иногда вместо используется обозначение .
Эксцесс
Нормальное распределение наиболее часто используется в теории вероятностей и в математической статистике, поэтому график плотности вероятностей нормального распределения стал своего рода эталоном, с которым сравнивают другие распределения. Одним из параметров, определяющих отличие распределения случайной величины x , от нормального распределения, является эксцесс.
Эксцесс g случайной величины x определяется равенством .
У нормального распределения, естественно, g = 0. Если g (x ) > 0, то это означает, что график плотности вероятностей px (x) сильнее “заострен”, чем у нормального распределения, если же g (x ) < 0, то “заостренность” графика px (x) меньше, чем у нормального распределения.
21Математическая статистика – это наука, занимающаяся методами обработки экспериментальных данных. Любая наука решает в порядке возрастания сложности и важности следующие задачи:
1) описание явления;
2) анализ и прогноз;
3) поиск оптимального решения.
Такого рода задачи решает и математическая статистика:
1) систематизировать полученный статистический материал;
2) на основании полученных экспериментальных данных оценить интересующие нас числовые характеристики наблюдаемой случайной величины;
3) определить число опытов, достаточное для получения достоверных результатов при минимальных ошибках измерения.
Одной из задач третьего типа является задача проверки правдоподобия гипотез. Она может быть сформулирована следующим образом: имеется совокупность опытных данных, относящихся к одной или нескольким случайным величинам. Необходимо определить, противоречат ли эти данные той или иной гипотезе, например, гипотезе о том, что исследуемая случайная величина распределена по определенному закону, или две случайные величины некоррелированы (т.е. не связаны между собой) и т.д. В результате проверки правдоподобия гипотезы она либо отбрасывается, как противоречащая опытным данным, либо принимается, как приемлемая.
Таким образом, математическая статистика помогает экспериментатору лучше разобраться в полученных опытных данных, оценить, значимы или нет определенные наблюденные факты, принять или отбросить те или иные гипотезы о природе рассматриваемого явления.