Трендовые модели временных рядов и МНК
Уровни временных рядов формируются под совокупным влиянием множества длительно и кратковременно действующих факторов, в т.ч. различного рода случайностей. Изменение условий развития явления приводит к более или менее интенсивной смене самих факторов, к изменению силы и результативности их воздействия и, в конечном счете, к вариации уровня изучаемого явления во времени.
Динамика рядов экономических показателей в общем случае складывается из четырех компонентов:
1) тенденции, характеризующей долговременную основную закономерность развития исследуемого явления;
2) периодичного компонента, связанного с влиянием сезонности развития изучаемого явления;
3) циклического компонента, характеризующего циклические колебания, свойственные любому воспроизводству;
4) случайного компонента как результата влияния множества случайных факторов.
Тенденция — некоторое общее направление развития. Тенденцию ряда динамики представляют в виде гладкой кривой (траектории), которая аналитически выражается некоторой функцией времени, называемой трендом. Тренд характеризует основную закономерность движения во времени, свободную в основном (но не полностью) от случайных воздействий.
В зависимости от вида функции различают следующие основные формы тренда.
Линейная форма тренда:
ye = at + b,
где у — уровни, освобожденные от колебаний, выровненные по прямой;
b — начальный уровень тренда в момент или период, принятый за начало отсчета времени;
а — среднегодовой абсолютный прирост (среднее изменение за единицу времени t; константа тренда).
Линейный тренд хорошо отражает тенденцию изменений при действии множества разнообразных факторов, изменяющихся различным образом по разным закономерностям. Равнодействующая этих факторов при взаимном погашении особенностей отдельных факторов (ускорение, замедление, нелинейность) часто выражается в примерно постоянной абсолютной скорости изменения, т.е. в прямолинейном тренде.
Параболическая форма тренда:
у = а + bt + ct2 ,
где с — квадратический параметр, равный 1/2 ускорения; константа параболического тренда.
Параболический тренд выражает ускоренное или замедленное изменение уровней ряда с постоянным ускорением. Такой характер развития можно ожидать при наличии важных факторов прогрессивного (регрессивного) развития.
Экспоненциальная форма тренда:
,
где k — темп изменения в разах;
e — константа тренда.
Если k > 1, экспоненциальный тренд выражает тенденцию ускоренного и все более ускоряющегося возрастания уровней. При росте по экспоненте абсолютный прирост пропорционален достигнутому уровню. Так росло население Земли в эпоху «демографического взрыва» в XX столетии.
При k< 1 экспоненциальный тренд означает тенденцию постоянно все более замедляющегося роста уровней динамического ряда.
Логарифмическая форма тренда:
y = а + b log(t).
Логарифмический тренд пригоден для отображения тенденции замедляющегося роста уровней при отсутствии предельного возможного значения.
Для определения параметров уравнения тренда применяют метод наименьших квадратов (МНК). Применение МНК для определения параметров линейного тренда ye = at + b дает систему двух линейных уравнений, решение которой выбирается таким образом, чтобы Σ t = 0. В рядах с нечетным числом членов это выполняется при условии, что для центрального члена ряда t = 0 и вправо t — +1, +2, +3..., а влево: -1, -2, -3...
Пример 11.4. Реализация молочной продукции в магазинах группы городов по кварталам 1995—1998 гг. характеризуется следующими данными:
| Период | Реализовано продукции, тыс. тонн |
| 1995 г . | |
| I квартал | 39,9 |
| II квартал | 65,5 |
| III квартал | 63,9 |
| IV квартал | 38,5 |
| 1996 г. | |
| I квартал | 38,1 |
| II квартал | 82,3 |
| III квартал | 83,4 |
| IV квартал | 45,1 |
| 1997 г. | |
| I квартал | 45,9 |
| II квартал | 101,5 |
| III квартал | 103,8 |
| IV квартал | 63,8 |
| 1998 г. | |
| I квартал | 55,7 |
| II квартал | 115,5 |
| III квартал | 121,7 |
| IV квартал | 65,5 |
Существенной особенностью данного ряда является наличие ярко выраженной тенденции роста. Темп роста (базисный относительно 1995 г.) t = 172,97%.
Во многих случаях, когда в рядах динамики наблюдаются явно выраженные периодические колебания, для описания тренда следует использовать спектральный анализ, когда динамический ряд аппроксимируется функциями Фурье. Расчет спектральной функции осуществляется в следующем порядке:
1) разложение динамики показателя в ряд Фурье;
2) определение значений интенсивности спектрограммы;
3) расчет значений спектральной функции с помощью сглаживания с интервалом усреднения;
4) для анализа связи между отдельными уровнями ряда строят автокорреляционные функции.
Наибольшую точность при прогнозировании нестационарных временных рядов в экономике дают модели, совмещающие процессы выделения трендами учитывающие при этом процессы автокорреляции Это так называемые модели авторегрессии — проинтегрированного скользящего среднего ARIMA (аббревиатура от англ. — AutoRegressive Integrated Moving Average). Среди этого класса моделей доминирует модель Бокса—Дженкинса.