Моделирование сезонных и циклических колебаний
Большинство эконометрических моделей строится как динамические эконометрические модели. Это означает, что моделирование причинно-следственных связей между переменными осуществляется во времени, а исходные данные представлены в форме временных рядов.
Временной ряд 
- ряд значений какого-либо показателя за несколько последовательных промежутков времени.
Каждый временной ряд 
складывается из следующих основных компонентов:
1) Тенденции, характеризующей общее направление динамики изучаемого явления. Аналитически тенденция выражается некоторой функцией времени, называемой трендом 
.
2) Циклической или периодической компоненты, характеризующей циклические или периодические колебания изучаемого явления. Например: значения макроэкономических показателей зависят от того, в какой фазе бизнес-цикла находится экономика. Объем продаж некоторых товаров подвержен сезонным колебаниям 
.
3) Случайной компоненты, которая является результатом воздействия множества случайных факторов 
.
Тогда уровень ряда можно представить как функцию от этих компонент: 
.
В зависимости от взаимосвязи между этими компонентами может быть построена либо аддитивная модель: 
, либо мультипликативная модель: 
ряда динамики.
Пусть нам даны поквартальные данные об объеме выпуска некоторого товара некоторой фирмой - Y (усл.ед.) за 3 года:
Таблица 4 – Исходные данные об объеме выпуска товара фирмой
График данного временного ряда (рисунок 17) свидетельствует о наличии сезонных колебаний (период колебаний равен 4) и общей возрастающей тенденции уровней ряда. Объем выпускаемой продукции в весенне-летний период выше, чем в осенне-зимний период. Поскольку амплитуда сезонных колебаний примерно постоянна, можно предположить существование аддитивной модели.
Рисунок 18 – Объем выпуска товаров формой
Автокорреляция - корреляционная связь между последовательными уровнями одного и того же ряда динамики (сдвинутыми на определенный промежуток времени L - лаг).
Лаг (сдвиг во времени) определяет порядок коэффициента автокорреляции. Если 
, то имеем коэффициент автокорреляции 1-ого порядка 
, если 
, то коэффициент автокорреляции 2-ого порядка 
и т.д. Следует учитывать, что с увеличением лага на единицу, число пар значений, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, уменьшается на единицу. Поэтому обычно рекомендуют максимальный порядок коэффициента автокорреляции равный n/4.
Рассчитав несколько коэффициентов автокорреляции, можно определить лаг 
, при котором автокорреляция наиболее высокая, выявив тем самым структуру временного ряда. Если наиболее высоким оказывается значение , то исследуемый ряд содержит только тенденцию. Если наиболее высоким оказался 
, то ряд содержит (помимо тенденции) колебания периодом k. Если ни один из коэффициентов автокорреляции k не является значимым, можно сделать одно из двух предположений:
- либо ряд не содержит тенденции и циклических колебаний, а его уровень определяется только случайной компонентой;
- либо ряд содержит сильную нелинейную тенденцию, для выявления которой нужно провести дополнительный анализ.
Последовательность коэффициентов автокорреляции 1, 2 и т.д. порядков называют автокорреляционной функцией временного ряда. График зависимости значений коэффициентов автокорреляции от величины лага (порядка коэффициента автокорреляции) называют коррелограммой.
Для выявления закономерных колебаний внутри года при выполнении контрольной работы рекомендуется рассчитывать не меньше 4-х уровней коэффициентов автокорреляции.
Определим коэффициент автокорреляции 1-го порядка, используя формулу линейного коэффициента корреляции.
,
где
; 
,
,
,
Промежуточные расчеты по определению коэффициента автокорреляции первого порядка приведены в таблице 5.
Таблица 5 - Вспомогательные расчеты по определению коэффициента автокорреляции первого порядка.
| t | Yt | Yt-1 |  Yt - Yt | Yt-1 - Yt-1 | (Yt -Yt)2 |  (Yt-1 – Yt-1)2 |  (Yt - Yt)(Yt-1-Yt-1) |
| - | - | - | - | - | - | ||
| -206,82 | -312,27 | 42773,76 | 97514,26 | 64583,678 | |||
| -51,818 | -162,27 | 2685,124 | 26332,44 | 8408,678 | |||
| -266,82 | -7,27 | 71191,942 | 52,89 | 1940,496 | |||
| -246,82 | -222,27 | 60919,215 | 49405,17 | 54860,950 | |||
| -26,818 | -202,27 | 719,21488 | 40914,26 | 5424,587 | |||
| 208,18 | 17,73 | 43339,669 | 314,26 | 3690,496 | |||
| -96,818 | 252,73 | 9373,7603 | 63871,07 | -24468,595 | |||
| -61,818 | -52,27 | 3821,49 | 2732,44 | 3231,405 | |||
| 183,18 | -17,27 | 33555,579 | 298,35 | -3164,050 | |||
| 433,18 | 227,73 | 187646,49 | 51859,71 | 98647,314 | |||
| 133,18 | 477,73 | 17737,397 | 228223,35 | 63624,587 | |||
| Сумма | х | х | 473763,64 | 561518,18 | 276779,545 | ||
| Среднее | 766,82 | 722,27 |
Таким образом, 
,
Далее определим коэффициент автокорреляции второго порядка по формуле:
,
где
; 
,
,
,
Промежуточные расчеты по определению коэффициента автокорреляции второго порядка приведены в таблице 6.
Таблица 6 - Вспомогательные расчеты по определению коэффициента автокорреляции второго порядка.
| t | Yt | Yt-2 | Yt - Yt | Yt-2 - Yt-2 | (Yt -Yt)2 | (Yt-2 – Yt-2)2 | (Yt - Yt)(Yt-2-Yt-2) |
| - | - | - | - | - | - | ||
| - | - | - | - | - | - | ||
| -72,5 | -264,5 | 5256,25 | 69960,25 | 19176,25 | |||
| -287,5 | -114,5 | 82656,3 | 13110,25 | 32918,75 | |||
| -267,5 | 40,5 | 71556,3 | 1640,25 | -10833,75 | |||
| -47,5 | -174,5 | 2256,25 | 30450,25 | 8288,75 | |||
| 187,5 | -154,5 | 35156,3 | 23870,25 | -28968,75 | |||
| -117,5 | 65,5 | 13806,3 | 4290,25 | -7696,25 | |||
| -82,5 | 300,5 | 6806,25 | 90300,25 | -24791,25 | |||
| 162,5 | -4,5 | 26406,3 | 20,25 | -731,25 | |||
| 412,5 | 30,5 | 930,25 | 12581,25 | ||||
| 112,5 | 275,5 | 12656,3 | 75900,25 | 30993,75 | |||
| Сумма | х | х | 310472,5 | 30937,5 | |||
| Среднее | 787,5 | 674,5 |
Таким образом, 
.
Аналогично вычисляются коэффициенты автокорреляции третьего, четвертого и т.д. порядка. Результаты расчетов и коррелограмма представлены в таблице 7.
Таблица 7 – Автокорреляционная функция и коррелограмма временного ряда объема выпуска товара фирмой
| Лаг(порядок) - L | Коэффициенты автокорреляции | Коррелограмма |
| 0,537 | ***** | |
| 0,085 | * | |
| 0,599 | ****** | |
| 0,990 | ********* | |
| 0,154 | ** |
Вывод: в данном ряду динамики имеется тенденция и периодические колебания с периодом (L) равным 4, т.е. имеют место сезонные колебания.
Построение аддитивной модели временного ряда с сезонными колебаниями.
Обратимся к данным об объеме выпуска товара некоторой фирмой за последние три года, представленным в таблице 4.
Шаг 1. Проведем выравнивание исходных уровней ряда методом скользящей средней. Для этого:
а) просуммируем уровни ряда последовательно за каждые четыре квартала со сдвигом на один момент времени и определим условные годовые объемы потребления электроэнергии (графа 3 таблицы 8);
б) разделив полученные суммы на 4, найдем скользящие средние (графа 4 таблицы 8). Отметим, что полученные таким образом выровненные значения уже не содержат сезонной компоненты;
в) приведем эти значения в соответствие с фактическими моментами времени, для чего найдем средние значения из двух последовательных скользящих средних - центрированные скользящие средние (графа 5 таблицы 8).
Таблица 8 - Расчет оценок сезонной компоненты в аддитивной модели.
| t | Yt | Итого за четыре квартала | Скользящая средняя за четыре квартала | Центрированная скользящая средняя | Оценка сезонной компоненты |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| - | - | - | - | ||
| 546,25 | - | - | |||
| 573,75 | |||||
| 618,75 | 596,25 | -96,25 | |||
| 683,75 | 651,25 | -131,25 | |||
| 726,25 | |||||
| 772,5 | 749,375 | 225,625 | |||
| 798,75 | -128,75 | ||||
| 881,25 | 853,125 | -148,125 | |||
| 938,75 | |||||
| - | - | - | - | ||
| - |
Шаг 2. Найдем оценки сезонной компоненты как разность между фактическими уровнями ряда и центрированными скользящими средними (графа 6 таблицы 8). Используем эти оценки для расчета значений сезонной компоненты S (таблица 9). Для этого найдем средние за каждый квартал (по всем годам) оценки сезонной компоненты 
. В моделях с сезонной компонентой обычно предполагается, что сезонные воздействия за период взаимопогашаются. В аддитивной модели это выражается в том, что сумма значений сезонной компоненты по всем кварталам должна быть равна нулю.
Таблица 9 - Расчет значений сезонной компоненты в аддитивной модели.
| Показатели | Год | № квартал, i | |||
| I | II | III | IV | ||
| - | - | -96,25 | |||
| -131,25 | 225,63 | -128,75 | |||
| -148,13 | - | - | |||
| Итого за i-й квартал (за все года) | -279,38 | 380,63 | -225 | ||
 Средняя оценка сезонной компоненты для i-ого квартала, Si | -139,69 | 37,5 | 190,315 | -112,5 | |
| Скорректированная сезонная компонента, Si | -133,59 | 43,59 | 196,405 | -106,41 |
Для данной модели имеем:
Определим корректирующий коэффициент: 
Рассчитаем скорректированные значения сезонной компоненты как разность между ее средней оценкой и корректирующим коэффициентом k:
где 
,
Проверим условие равенства нулю суммы значений сезонной компоненты:
.
Таким образом, получены следующие значения сезонной компоненты:
I квартал: 
;
II квартал: 
;
III квартал: 
;
IV квартал: 
.
Занесем полученные значения в таблицу 10 для соответствующих кварталов каждого года (графа 3).
Шаг 3. Элиминируем влияние сезонной компоненты, вычитая ее значение из каждого уровня исходного временного ряда. Получим величины 
(графа 4 таблицы 10). Эти значения рассчитываются за каждый момент времени и содержат только тенденцию и случайную компоненту.
Таблица 10 - Расчет выровненных значений T и ошибок E в аддитивной модели.
| t | Yt | Si | T+E= Yt - Si | T | T+S | E= Yt-(T+S) | E2 |  (Yt - Yt )2 |
| -133,594 | 534,594 | 471,658 | 338,064 | 71,936 | 5174,79 | |||
| 43,594 | 516,406 | 519,916 | 563,51 | -3,51 | 12,3201 | |||
| 196,406 | 518,594 | 568,174 | 764,58 | -49,58 | 2458,18 | |||
| -106,406 | 606,406 | 616,432 | 510,026 | -10,026 | 100,521 | |||
| -133,594 | 653,594 | 664,69 | 531,096 | -11,096 | 123,121 | |||
| 43,594 | 696,406 | 712,948 | 756,542 | -16,542 | 273,638 | |||
| 196,406 | 778,594 | 761,206 | 957,612 | 17,388 | 302,343 | |||
| -106,406 | 776,406 | 809,464 | 703,058 | -33,058 | 1092,83 | |||
| -133,594 | 838,594 | 857,722 | 724,128 | -19,128 | 365,88 | |||
| 43,594 | 906,406 | 905,98 | 949,574 | 0,426 | 0,18148 | |||
| 196,406 | 1003,594 | 954,238 | 1150,64 | 49,356 | 2436,01 | |||
| -106,406 | 1006,406 | 1002,5 | 896,09 | 3,91 | 15,2881 | |||
| Итого | - | 8844,92 | - | - | ||||
| Среднее значение | 737,1 |
Шаг 4. Определим компоненту T данной модели. Для этого проведем аналитическое выравнивание ряда 
с помощью линейного тренда (расчеты выполнены с помощью Ms Excel). Результаты аналитического выравнивания следующие:
,
.
Подставляя в это уравнение значения t = 1, ..., 16, найдем уровни Τ для каждого момента времени (графа 5 таблицы 10). График уравнения тренда приведен на рисунке 19.
Рисунок 19 - Объем выпуска товаров фирмой (фактические, выровненные и полученные по аддитивной модели значения уровней ряда)
Шаг 5. Найдем значения уровней ряда, полученные по аддитивной модели. Для этого прибавим к уровням T значения сезонной компоненты для соответствующих кварталов. Графически значения 
представлены на рисунке 4.
Шаг 6.В соответствии с методикой построения аддитивной модели расчет ошибки производится по формуле:
Это абсолютная ошибка. Численные значения абсолютных ошибок приведены в графе 7 таблицы 10.
Для оценки качества построенной модели или для выбора наилучшей модели используется ошибка ε.
Следовательно, можно сказать, что аддитивная модель объясняет 
общей вариации временного ряда.