Расчет значений сезонной компоненты в аддитивной модели
ЛЕКЦИЯ 14
Моделирование периодических колебаний. Показатели интенсивности колеблемости. Построение аддитивной и мультипликативной моделей временного ряда. Методы измерения устойчивости во временных рядах. Прогнозирование на основе тренда и колеблемости.
Глава 10.
ВРЕМЕННЫЕ РЯДЫ II.
МОДЕЛИРОВАНИЕ ПЕРИОДИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ
МОДЕЛИРОВАНИЕ СЕЗОННЫХ КОЛЕБАНИЙ
Показатели интенсивности колеблемости
При изучении тенденции временного ряда колебания уровней играли лишь роль помех, от которых следовало по возможности абстрагироваться. Однако сама колеблемость также представляет собой важный предмет статистического исследования временных рядов. Значение колеблемости многогранно. Учёт колеблемости позволяет сделать прогноз более надёжным и точным.
Типы колебаний статистических показателей весьма разнообразны, но все же можно выделить три основные из них: пилообразную или маятниковую колеблемость, циклическую долгопериодическую и случайно распределенную во времени колеблемость. Их свойства и отличия друг от друга хорошо видны при графическом изображении временных рядов (рис.10.1).
Пилообразная или маятниковая колеблемость состоит в попеременных отклонениях уровней от тренда в одну и в другую сторону. Таковы автоколебания маятника. Такие автоколебания, например, можно наблюдать в динамике урожайности при невысоком уровне агротехники.
Циклическая долгопериодическая колеблемость свойственна, например, солнечной активности (10-11-летние циклы), а, значит, и связанным с ней на Земле процессом – урожайности отдельных культур в ряде районов, некоторым заболеваниям людей и растений. Для этого типа характерны редкая смена знаков отклонений и кумулятивный (накапливающийся) эффект отклонений одного знака, который может отражаться на экономике. Зато колебания хорошо прогнозируются.
Случайно распределенная во времени колеблемость – нерегулярная, хаотическая. Она может возникать при наложении (интерференции) множества колебаний с разными по длительности циклами. Но может возникать в результате столь же хаотической колеблемости главной причины существования колебаний, например суммы осадков за летний период, температуры воздуха в среднем за месяц в разные годы.
Рис. 10.1б
Рис. 10.1в
На основе качественного содержания понятия колеблемости строится и система её показателей. Показателями колебаний уровней являются: амплитуда отклонений уровней отдельных периодов или моментов от тренда (по модулю), среднее абсолютное отклонение уровней от тренда (по модулю), среднее квадратичное отклонение уровней от тренда. Относительные меры колеблемости: относительное линейное отклонение от тренда и коэффициент колеблемости.
Особенности методики вычисления средних отклонений от тренда является необходимость учета потерь степеней свободы колебаний на величину, равную числу параметров уравнения тренда. Учитывая потерю степеней свободы, основные абсолютные показатели колеблемости вычисляются по формулам:
(10.1)
– среднее линейное отклонение;
(10.2)
– среднее квадратичное отклонение.
Относительные показатели колеблемости вычисляются делением абсолютных показателей на средний уровень за весь изучаемый период.
Для правильного измерения сезонных колебаний очень важно, чтобы тренд был рассчитан правильно. Чаще всего перед расчётом сезонной составляющей исходный временной ряд выравнивают методами механического сглаживания.
Пример 10.1. Провести расчёт показателей колеблемости по результатам примера 9.2.
Решение. Тренд примем по результатам центрированной четырехуровневой скользящей средней.
Таблица 10.1
| t | yt | Четырехуровневые скользящие средние (нецентрированные) | Четырехуровневые скользящие средние (центрированные) | Оценка сезонной компоненты St |  |  |
| 6,0 | 6,10 6,40 6,50 6,75 7,00 7,20 7,40 7,50 7,75 8,00 8,25 8,40 8,35 | – | – | – | – | |
| 4,4 | – | – | – | – | ||
| 5,0 | 6,250 | –1,250 | 1,250 | 1,563 | ||
| 9,0 | 6,450 | 2,550 | 2,550 | 6,503 | ||
| 7,2 | 6,625 | 0,575 | 0,575 | 0,331 | ||
| 4,8 | 6,875 | –2,075 | 2,075 | 4,306 | ||
| 6,0 | 7,100 | –1,100 | 1,100 | 1,210 | ||
| 10,0 | 7,300 | 2,700 | 2,700 | 7,290 | ||
| 8,0 | 7,450 | 0,550 | 0,550 | 0,303 | ||
| 5,6 | 7,650 | –2,025 | 2,025 | 4,101 | ||
| 6,4 | 7,875 | –1,475 | 1,475 | 2,176 | ||
| 11,0 | 8,125 | 2,875 | 2,875 | 8,266 | ||
| 9,0 | 8,325 | 0,675 | 0,675 | 0,456 | ||
| 6,6 | 8,375 | –1,775 | 1,775 | 3,151 | ||
| 7,0 | – | – | – | – | ||
| 10,8 | – | – | – | – | ||
| 116,8 | 19,625 | 39,652 |
Амплитуда колебаний составила от –2,075 в 6 квартале до 2,875 в 12 квартале, т.е. 4,95 пункта.
Среднее линейное отклонение найдём, сложив модули 
, и разделив на (n–p):
пункта.
Среднее квадратичное отклонение уровней от тренда найдём по формуле (10.2):
пункта.
Небольшое превышение среднее квадратичного отклонения над линейным указывает на отсутствие среди отклонений резко выделяющихся по абсолютной величине.
Среднее значение уровней за изучаемый период равно
.
Тогда коэффициент колеблемости будет равен
,
или 27,3%. Таким образом, колеблемость достаточно сильная. ‚
10.1.2.Построение аддитивной и мультипликативной
тренд-сезонных моделей временного ряда
Для исследования периодических колебаний необходимо отфильтровать из временного ряда периодическую компоненту, а затем уже анализировать её динамику. Большинство методов фильтрации построено таким образом, что предварительно выделяется тренд, а затем уже периодическая компонента. Чаще всего для выделения тренда, перед расчётом периодической компоненты, используют методы механического сглаживания. Процесс выделения компоненты временного ряда: тренда (T), периодической компоненты (S) и случайной компоненты (e) называется фильтрацией. В настоящее время развивается три основных направления фильтрации компонент временного ряда: регрессионные, спектральные и итерационные.
Замечание. В прикладных пакетах анализа метод расчета сезонных компонент известен как метод Census I. Существует также усовершенствованный с помощью различных приемов метод Census II, учитывающий, например, такой циклический фактор, как эффект конца рабочей недели или эффект выходного дня.
Существует несколько основных методов моделирования сезонных и циклических колебаний. К ним относятся:
· расчёт сезонной компоненты и построение аддитивной или мультипликативной модели временного ряда;
· применение сезонных фиктивных переменных;
· использование рядов Фурье.
Если амплитуда сезонных колебаний не меняется во времени, то применяют аддитивную модель временного ряда следующего вида:
, (10.3)
где T – трендовая компонента, S – сезонная компонента, e – случайная составляющая.
Если амплитуда сезонных колебаний со временем изменяется, то применяется мультипликативная модель временного ряда следующего вида:
. (10.4)
В качестве сезонной составляющей для аддитивной модели временного ряда применяют абсолютное отклонение 
, а для мультипликативной – индекс сезонности 
. Данные сезонные компоненты должны удовлетворять следующим требованиям:
1) в случае аддитивной модели сумма всех сезонных компонент (абсолютных отклонений ) должна быть равна нулю;
2) в случае мультипликативной модели произведение всех сезонных компонент (индексов сезонности ) должно быть равно единице.
Перед расчётом сезонной компоненты исходный ряд подвергают процедуре выравнивания, обычно методами механического сглаживания. В результате получают ряд выровненных значений 
, который не содержит сезонной компоненты.
Абсолютное отклонение в i-м сезоне рассчитывается как среднее арифметическое отклонение фактического и сглаженного уровней ряда:
.
Индекс сезонности в i-ом сезоне рассчитывается как среднее арифметическое отношений фактического уровня ряда к сглаженному:
.
При расчете тренда временного ряда используется метод аналитического выравнивания с помощью функций времени или кривых роста. Этот метод применяется не к исходному фактическому временному ряду, а к ряду, из которого удалена сезонная компонента. Таким образом, начальные уровни ряда корректируются на величину сезонной компоненты. В случае аддитивной модели из исходных уровней вычитаются абсолютные отклонения Sai. При наличии мультипликативной модели начальные уровни временного ряда делятся на индексы сезонности Isi.
Если при построении аддитивной модели сумма всех абсолютных отклонений не равна нулю, то рассчитывают скорректированные значения сезонных компонент:
,
где L – общее количество сезонных компонент.
Если при построении мультипликативной модели произведение всех индексов сезонности не равна единице, то рассчитывают скорректированные значения сезонных компонент:
.
Пример 10.2. Построить аддитивную и мультипликативную модели по результатам примера 10.1.
Решение. Тренд примем по результатам центрированной четырехуровневой скользящей средней и рассчитаем сезонную составляющую для аддитивной и мультипликативной моделей.
Таблица 10.2
| № квартала, t | Потребление электроэнергии, yt | Центрирования скользящая средняя | Оценка сезонной компоненты Sai | Оценка индекса сезонности Isi |
| 6,0 | – | – | ||
| 4,4 | – | – | ||
| 5,0 | 6,250 | –1,250 | 0,8000 | |
| 9,0 | 6,450 | 2,550 | 1,3953 | |
| 7,2 | 6,625 | 0,575 | 1,0868 | |
| 4,8 | 6,875 | –2,075 | 0,6982 | |
| 6,0 | 7,100 | –1,100 | 0,8451 | |
| 10,0 | 7,300 | 2,700 | 1,3699 | |
| 8,0 | 7,450 | 0,550 | 1,0738 | |
| 5,6 | 7,650 | –2,025 | 0,7344 | |
| 6,4 | 7,875 | –1,475 | 0,8127 | |
| 11,0 | 8,125 | 2,875 | 1,3538 | |
| 9,0 | 8,325 | 0,675 | 1,0811 | |
| 6,6 | 8,375 | –1,775 | 0,7881 | |
| 7,0 | – | – | ||
| 10,8 | – | – |
Используем эти оценки для расчета значений сезонной компоненты S в аддитивной модели (таб. 10.2). Для этого найдем средние за каждый квартал (по всем годам) оценки сезонной компоненты S. В моделях с сезонной компонентой обычно предполагается, что сезонные воздействия за период взаимопогашаются. В аддитивной модели это выражается в том, что сумма значений сезонной компоненты по всем кварталам должна быть равна нулю.
Таблица 10.3
Расчет значений сезонной компоненты в аддитивной модели
| Показатели | Год | № квартала, I | |||
| I | II | III | IV | ||
| – | – | –1,250 | 2,550 | ||
| 0,575 | –2,075 | –1,100 | 2,700 | ||
| 0,550 | –2,025 | –1,475 | 2,875 | ||
| 0,675 | –1,775 | – | – | ||
Средняя оценка сезонной компоненты для I-го квартала,  | 0,600 | –1,958 | –1,275 | 2,708 | |
Скорректированная сезонная компонента,  | 0,581 | –1,977 | –1,294 | 2,690 |
Для данной модели имеем:
.
Определим корректирующий коэффициент:
.
Рассчитаем скорректированные значения сезонной компоненты как разность между ее средней оценкой и корректирующим коэффициентом k:
.
Проверим условие равенства нулю суммы значений сезонной компоненты:
.
Таким образом, получены следующие значения сезонной компоненты:
| I квартал: |  ; |
| II квартал: |  ; |
| III квартал: |  ; |
| IV квартал: |  . |
Занесем полученные значения в таб. 10.4 для соответствующих кварталов каждого года.
Исключим влияние сезонной компоненты, вычитая ее значение из каждого уровня исходного временного ряда. Получим величины T+E=Y–S. Эти значения рассчитываются за каждый момент времени и содержат только тенденцию и случайную компоненту.
Таблица 4.4
Расчет выравненных значений тренда T и ошибок E в аддитивной модели
| t | yt | Si |  | T | T+S |  |  |
| 6,0 | 0,581 | 5,419 | 5,894 | 6,475 | -0,475 | 0,2253 | |
| 4,4 | -1,977 | 6,337 | 6,081 | 4,104 | 0,296 | 0,0877 | |
| 5,0 | -1,294 | 6,294 | 6,268 | 4,974 | 0,026 | 0,0007 | |
| 9,0 | 2,690 | 6,310 | 6,455 | 9,145 | -0,145 | 0,0211 | |
| 7,2 | 0,581 | 6,619 | 6,642 | 7,223 | -0,023 | 0,0005 | |
| 4,8 | -1,977 | 6,777 | 6,830 | 4,853 | -0,053 | 0,0028 | |
| 6,0 | -1,294 | 7,294 | 7,017 | 5,723 | 0,277 | 0,0769 | |
| 10,0 | 2,690 | 7,310 | 7,204 | 9,894 | 0,106 | 0,0113 | |
| 8,0 | 0,581 | 7,419 | 7,391 | 7,972 | 0,028 | 0,0008 | |
| 5,6 | -1,977 | 7,577 | 7,578 | 5,601 | -0,001 | 0,0000 | |
| 6,4 | -1,294 | 7,694 | 7,765 | 6,471 | -0,071 | 0,0051 | |
| 11,0 | 2,690 | 8,310 | 7,953 | 10,643 | 0,357 | 0,1277 | |
| 9,0 | 0,581 | 8,419 | 8,140 | 8,721 | 0,279 | 0,0780 | |
| 6,6 | -1,977 | 8,577 | 8,327 | 6,350 | 0,250 | 0,0625 | |
| 7,0 | -1,294 | 8,294 | 8,514 | 7,220 | -0,220 | 0,0485 | |
| 10,8 | 2,690 | 8,110 | 8,701 | 11,391 | -0,591 | 0,3497 | |
| 1,0984 |
Определим трендовую компоненту T данной модели. Для этого проведем аналитическое выравнивание ряда (T+E) с помощью линейного тренда. Результаты аналитического выравнивания следующие:
Таблица 10.5
| ВЫВОД ИТОГОВ | |
| Регрессионная статистика | |
| b0 | 5,707 |
| b1 | 0,1872 |
| Стандартная ошибка | 0,2773 |
| R-квадрат | 0,9171 |
| Число наблюдений |
Таким образом, имеем следующий линейный тренд:
.
Подставляя в это уравнение значения t=1,…, 16, найдем уровни T для каждого момента времени. График уравнения тренда приведен на рис. 10.2.
Найдем значения уровней ряда, полученные по аддитивной модели. Для этого прибавим к уровням T значения сезонной компоненты для соответствующих кварталов. Графически значения (T+S) представлены на рис. 4.2.
Рис. 10.2
В соответствии с методикой построения аддитивной модели расчет ошибки производится по формуле.
.
Это абсолютная ошибка. Сумма квадратов абсолютных ошибок равна 1,0984. Следовательно, средняя квадратичная абсолютная ошибка составит
.
Среднее значение уровней ряда равно
.
Сравним его с суммой квадратов абсолютных ошибок:
.
Таким образом, можно сказать, что аддитивная модель на 96,5% объясняет общую вариацию уровней временного ряда потребления электроэнергии за последние 16 кварталов.
Методика построения мультипликативной модели на первом этапе полностью совпадает с методикой построения аддитивной модели. Найдем оценки сезонной компоненты как частное от деления фактических уровней ряда на центрированные скользящие средние (таб.10.2). Используем эти оценки для расчета значений сезонной компоненты S в мультипликативной модели. Для этого найдем средние за каждый квартал (по всем годам) оценки сезонной компоненты S. В моделях с сезонной компонентой обычно предполагается, что сезонные воздействия за период взаимопогашаются. В мультипликативной модели это выражается в том, что произведение значений сезонной компоненты по всем кварталам должна быть равна единице.
Таблица 10.6