Экономических процессов

Сложность и динамичность, а также высокий уровень неопределенности, являясь характерными свойствами экономических процессов, порождают специфические условия, которые необходимо учитывать при разработке прогнозных моделей. Эта специфичность должна быть определяющей как при выборе адаптивных моделей и алгоритмов для проведения конкретных прогнозных расчетов, так и в работе по дальнейшему совершенствованию подходов, основанных на применении принципов адаптации в экономических исследованиях. Поэтому среди большого разнообразия методов адаптивного управления и предсказания широкое распространение в экономических приложениях получили только те, которые в наибольшей мере удается приспособить к требованиям этой специфики.

В настоящее время наибольшей популярностью у специалистов пользуются модели, адаптивный механизм которых построен на основе использования процедуры экспоненциального сглаживания. Модели с подобным механизмом находят применение как при решении прикладных задач, так и в теоретических построениях. И дело здесь не только и не столько в простоте идеи и удобстве вычислительной схемы, хотя и это играет определенную роль. Скорее, успех объясняется тем, что с ее помощью удается построить эффективный механизм корректировки коэффициентов прогнозной модели в ситуациях, когда специфичность условий экономического развития проявляется отсутствием информации, по которой можно было бы определить закономерность, лежащую в основе структурных изменений модели. Конечно, с подобной ситуацией приходится сталкиваться и в технических приложениях, но все же характерной, а практика решения задач перспективного анализа не оставляет места сомнениям по этому поводу, она является для приложений экономического плана.

Отсутствие информации может быть компенсировано только использованием правдоподобных предположений о характере поведения модели в ответ на качественные изменения в развитии моделируемых процессов. Пожалуй, самой простой и вполне естественной для экономических процессов является гипотеза, в основу которой положено предположение о том, что в моделях, отражающих эти закономерности, с течением времени происходит сравнительно медленное изменение структурных коэффициентов. Фактически это предположение непосредственно вытекает из анализа результатов одновременного проявления динамичности и инерционности экономических систем, так как именно одновременное действие ограничивает яркое проявление только одного из этих свойств, исключая тем самым применение как моделей с постоянными коэффициентами, так и моделей с резко изменяющимися свойствами. Удобным инструментом для практической реализации этой гипотезы как раз и явился метод экспоненциального сглаживания.

Применение метода экспоненциального сглаживания в краткосрочном прогнозировании получило широкое распространение после выхода работ П. Винтерса, Р. Брауна, Р. Майера, в которых дано его обоснование для случая моделей полиномиального типа. Учитывая этот факт в истории развития методов адаптивного прогнозирования экономических процессов, рассмотрим основные принципы их построения на примере модели, представляющей собой полином нулевого порядка

, (5.1)

где – значение показателя, характеризующего уровень прогнозируемого процесса в момент времени ;

– изменяющийся во времени параметр, характеризующий средний уровень прогнозируемого процесса в момент времени ;

– случайные независимые отклонения фактических значений от текущего среднего, имеющие нулевое математическое ожидание и конечную дисперсию .

Согласно этой модели расчетная величина прогнозного значения полагается равной оценке параметра , т.е.

. (5.2)

В свою очередь, за оценку текущего значения параметра принимается экспоненциальная средняя , рассчитываемая по рекуррентной формуле

(5.3)

где – значение экспоненциальной средней в момент ;

– параметр сглаживания, .

Фактически схема расчета прогнозной величины задается рекуррентной формулой (5.3), в которой при определении текущей средней используется механизм старения данных по экспоненциальному закону, позволяющий построить прогнозную траекторию с преобладанием тенденций последнего периода. Причем степень этого преобладания может регулироваться параметром . Чем ближе к 1, тем меньше прогнозная оценка отличается от последнего наблюдения.

Для экономических процессов такой механизм хорошо согласуется с интуитивным представлением о характере взаимосвязи будущего их состояния с достигнутыми уровнями предшествующих периодов и, по сути, является адаптивным. Чтобы выяснить сущность принципов, положенных в основу адаптивного механизма рассматриваемой модели, перепишем (5.3) в виде

. (5.4)

Если теперь рассматривать как величину прогнозного значения для момента , то в выражении (6.4) разность представляет собой погрешность прогноза. Эта погрешность учитывается в качестве корректирующего слагаемого при расчете нового прогнозного значения . Таким образом, в вычислительной схеме экспоненциального среднего используется принцип регулятора с обратной связью, что позволяет говорить об адаптивных свойствах модели (5.1).

Таким образом, экспоненциальное сглаживание лежит у истоков адаптивных методов, а сущность этих методов прогнозирования можно раскрыть следующим образом: «Адаптивными называются методы прогнозирования, позволяющие строить самокорректирующиеся (самонастраивающиеся) экономико-математические модели, способны оперативно реагировать на изменение условий путем учета результата прогноза, сделанного на предыдущем шаге, и учета различной информационной ценности уровней ряда»[1].

Полиномиальные модели

Развитием простейшей модели (5.1) можно считать полином первого порядка

, (5.5)

где , – текущие значения коэффициентов модели;

– период упреждения;

– случайные независимые отклонения расчетных от фактических, имеющие нулевое математическое ожидание и конечную дисперсию .

Его структура в отличие от полинома нулевой степени способна адекватно отражать тенденцию линейного роста исследуемого процесса. Это позволяет избавиться от систематической ошибки, которая как отмечалось в предыдущей главе, имеет место при использовании экспоненциальной средней в качестве прогнозной модели подобных процессов.

Одновременно с изменением структуры модели, как правило, претерпевает соответствующие изменения и ее адаптивный механизм. Неизменным может оставаться только принцип его построения. Причем, для одной и той же модели на основе одного того же принципа можно строить различные варианты адаптивных механизмов. Примером модели, для которой можно построить различные варианты адаптивных механизмов как раз и является рассматриваемый адаптивный полином первой степени (5.5). Одним из вариантов ее адаптивного механизма был предложен Ч. Хольтом. Этим вариантом предусматривается расчет оценок текущих (т.е. на данный момент времени) коэффициентов модели по двум рекуррентным соотношениям

, (5.6)

(5.7)

где , – параметры экспоненциального сглаживания .

Если через обозначить ошибку прогноза, то эти соотношения можно переписать в следующем виде:

, (5.8)

, (5.9)

Полученное представление показывает, что используемая в рекуррентных соотношениях (5.6), (5.7) процедура экспоненциального сглаживания приводит как и в случае полинома нулевой степени к адаптивному механизму, построенному на принципе регулятора с обратной связью.

Р. Брауном для этой же модели предложен другой вариант адаптивного механизма

, (5.10)

(5.11)

в котором использован только один параметр адаптации , интерпретируемый как коэффициент дисконтирования, показывающий степень обесценивания наблюдений по истечению единичного периода времени. Вариант Брауна проще для программной реализации на ЭВМ, так как расчеты значительно сокращаются. Это сокращение получается в силу того, что механизм адаптации по этому варианту требует оптимальной настройки всего одного параметра и практически не уступает в точности предсказания многопараметрическим моделям.

Однако несмотря на ряд замечательных свойств, остающаяся довольно простой структура этой модели не гарантирует адекватного отражения всего многообразия закономерностей развития экономических процессов. Ее адаптивный механизм не обладает такой гибкостью, чтобы полностью компенсировать рассогласованность между моделью и реально протекающим процессом, порождаемую неадекватностью. Причем, в тех случаях, когда в структуре модели не находят своего отражения закономерности прогнозируемого процесса, имеющее место запаздывание в корректирующих воздействиях адаптивного механизма приводит к тому, что обновление коэффициентов модели обеспечивает только локальное улучшение ее аппроксимационных свойств, которые не гарантируют соответствующего повышения точности прогнозных расчетов. Все это, конечно, сужает область возможных применений простейших моделей в практике перспективного анализа.

В основе дальнейшего развития и обобщения моделей полиномиального типа лежит доказанная Р. Брауном и Р. Майером фундаментальная теорема экспоненциального сглаживания. С ее помощью удается расширить класс адаптивных моделей, в которых используется принцип экспоненциального сглаживания, до множества полиномов произвольной степени

(5.12)

Для определения неизвестных коэффициентов делается предположение о том, что полином, представляющий детерминированную часть выражения (6.12), можно представить в точке в виде ряда Тейлора

(5.13)

где – -я производная, вычисленная в точке .

Используя обобщенное понятие экспоненциальной средней -го порядка

(5.14)

величина которой определяется по известным начальным значениям и , Р. Браун и Р. Майер в своей фундаментальной теореме показали, каким образом коэффициенты связаны с обобщенными экспоненциальными средними соотношениями

(5.15)

представляющими линейную систему из уравнения.

Для полиномов невысокой степени, а в практике прогнозных расчетов, как правило, используются полиномы не выше второй степени, решение системы (5.15) можно выразить в явном виде через обобщенные экспоненциальные средние. Необходимые для расчета экспоненциальных средних начальные значения получаются из правой части (5.15) заменой оценками метода наименьших квадратов.

Адаптивная полиномиальная модель нулевого порядка, получаемая из (5.15), полностью совпадает с моделью первого порядка при заданных с помощью оценок метода наименьших квадратов начальных значениях

, (5.16)

(5.17)

и определяется системой рекуррентных соотношений. По этим рекуррентным соотношениям вычисляются экспоненциальные средние

, (5.18)

(5.19)

и соответствующие коэффициенты адаптивного полинома

, (5.20)

. (5.21)

Полученные коэффициенты подставляются в полином, и расчет прогнозных значений осуществляется с помощью следующего выражения:

(5.22)

Аналогично определяется адаптивная полиномиальная модель второго порядка ( ). С помощью оценок метода наименьших квадратов задаются начальные условия

, (5.23)

, (5.24)

(5.25)

и рекуррентно рассчитываются экспоненциальные средние

, (5.26)

, (5.27)

, (5.28)

по которым находятся коэффициенты полинома

, (5.29)

, (5.30)

. (5.31)

Прогноз рассчитывается по параболе следующего вида:

. (5.32)

В адаптивном механизме этих моделей, хотя и не в явной форме, также использован принцип регулятора с обратной связью. На этом принципе построен расчет обобщенных экспоненциальных средних, линейная комбинация которых, как видно из (5.22), (5.32), принимается за величину прогнозного значения.