Производная и ее приложения
Производная. Понятие производной является одним из важнейших в курсе математики. Многие задачи как самой математики, так и естествознания и техники приводят к этому понятию.
Производной функции y=f(x) в точке х называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю:
Функция, имеющая конечную производную, называется дифференцируемой. Операция нахождения производной называется дифференцированием.
Если у=f(u) и u=φ(x)— дифференцируемые функции своих аргументов, то производная сложной функции у=f(φ(x)) существует и равна произведению производной функции у по промежуточному аргументу u на производную промежуточного аргумента u по независимой переменной х:
Аналогичная формула верна и для сложных функций, которые задаются с помощью цепочки, содержащей три звена и более.
Таблица формул дифференцирования
1. с’=0
2. х’=1
3. (u±v)’ = u’ ± v’
4. (uv)’ = uv’ + vu’
5. (cu)’ = cu’
6.
7.
8.
9.
10. (au)’ = au ln a • u’
11. (eu)’ = eu ln eu’ = euu’
12. где u>0
13. где u>0
14. (sin u)’ = cos u • u’
15. (cos u)’ = - sin u • u’
16.
17.
18.
19.
20.
21.
Здесь u и v — дифференцируемые функции от х, а
с - постоянная величина.
Пример 1. Найти производную функции
Решение. Дифференцируем функцию по формулам
Пример 2. Найти производную функции у=sin3j и вычислить ее значение при j= p/3.
Решение. Это сложная функция с промежуточным аргументом sinj. Дифференцируем ее по формулам
(un)' = nun-1u', (sin u)' = cos u • u':
f(j) = 3 sin2j (sinj)' = 3 sin2j cosj.
Вычислим значение производной при j = p/З:
f(p/3) = 3sin2 (p/3) cos(p/3)=3(Ö3/2)2 •(1/2)=3•(3/4) • (1/2)=9/8.
Пример 3. Найти производную функции
Решение. Сначала преобразуем функцию, используя свойства логарифмов: t
Дифференцируя, получим
Геометрический смысл производной. Производная функции у =f(x) представляет собой угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции в любой его точке.
Угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции y=f(х) в точке A(а;b), равен значению производной функции при х = а:
kкас=y'(a)=f'(a).
Уравнение касательной, проведенной к графику функции в этой точке, имеет вид
у— b=k (х -а), где k=f’(a).
Пример 4.Составить уравнение касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой х=2.
Решение. Сначала найдем ординату точки касания А (2;у). Так как точка А лежит на кривой, то ее координаты удовлетворяют уравнению кривой, т. е.
Уравнение касательной, проведенной к кривой в точке А(2;2), имеет вид у - 2 = k(x - 2). Для нахождения углового коэффициента касательной найдем производную:
Угловой коэффициент касательной равен значению производной функции при х = 2:
Уравнение касательной таково:
у - 2 = - (х - 2), или у - 2 = -х + 2, т. е. х + у - 4 = 0.
Физический смысл производной. Если тело движется по прямой по закону s = s (t), то производная пути s по времени t равна скорости движения тела в данный момент времени t:
Быстрота протекания физических, химических и других процессов также выражается с помощью производной.
Производная функции у=f(х) равна скорости изменения этой функции при данном значении аргумента х:
Пример 5. Закон движения точки по прямой задан формулой s=t2+3t+5. В какие моменты времени t скорость движения точки равна нулю?
Решение. Скорость прямолинейного движения точки равна производной пути s по времени t:
v (t) = s' = 3 t2 - 6t + 3; v (t) =0,З t2 - 6t + 3 = 0,
t2 - 2t + 1 = 0, (t — 1)2 = 0, откуда t = 1.
Вторая производная. Производной второго порядка (или второй производной) функции называется производная от первой производной у' =f' (х):
у" = (у’)' или f" (х) = (f' (х))'.
Пример 6. Найти вторую производную функции f(x)=tg x.
Решение. Сначала по формуле найдем первую производную:
Дифференцируя еще раз по формулам (un)’=nun-1u’, сos u)’=-sin u*u’, найдем вторую производную:
Физический смысл второй производной. Если тело движется прямолинейно по закону s=s(t), то вторая производная пути s по времени t равна ускорению движения тела в данный момент времени t:
а (t) = v' = s".
Пример 7. Точка движется по прямой по закону s=t3-5t2+8t+2. (s - в метрах, t - в секундах). Найти ускорение движения точки в конце второй секунды.
Решение. Сначала найдем производную пути s по времени t:
s' = 3 t2 - 10 t + 8.
Ускорение прямолинейного движения точки равно второй производной пути s по времени t:
а (t) = s" = 6 t - 10, а(2) = 6 • 2 - 10 = 12 - 10 = 2.
Ускорение движения точки в конце второй секунды равно 2 м/с2.
Приложения производной к исследованию функций.Дифференцируемая функция у=f (х) возрастает на промежутке ]а, b[, если ее производная положительна в каждой точке этого промежутка.
Дифференцируемая функция у=f(x) убывает на промежутке]а; b[, если ее производная отрицательна в каждой точке этого промежутка.
Функция y=f(x) имеет максимум в точке х = x1 (рис. 38), если для всех значений х, достаточно близких к x1, выполняется неравенство f(х) < f(х1); x=х1 - точка максимума; уmaх =f (х1) - максимум функции.
Функция у = f(x) имеет минимум в точке х = х2 (рис. 38), если для всех значений х, достаточно близких к х2, выполняется неравенство f(x) > f(х2); х = х2 - точка минимума; уmaх = f(х2) - минимум функции.
Точки максимума и минимума называются точками экстремума, а значения функции в этих точках - экстремальными.
Точки, в которых производная функции обращается в нуль, называются критическими, точками I рода.
Первое достаточное условие существования экстремума функции. Если при переходе через критическую точку I рода х=х0 производная функции y=f(х) меняет знак, то х=х0 - точка
экстремума.
При этом если производная меняет знак с плюса на минус, то х=х0= - точка максимума, а уmах =f(х0). Если же производная меняет знак с минуса на плюс, то х= х0 - точка минимума, a уmin =f(х0)
Второе достаточное условие существования экстремума функции. Если в точке х = х0 первая производная функции у=f(x) обращается в нуль, а вторая производная отлична от нуля, то х=х0 - точка экстремума.
При этом если вторая производная в этой точке положительна (f" (х0)>0), то х=х0 - точка минимума; если вторая производная в этой точке отрицательна (f"(х0) < 0), то х= х0 – точка максимума.
рис. 38.
Направление вогнутости и точки перегиба кривой. Говорят, что на промежутке ]а, b[ кривая обращена выпуклостью вверх или выпукла (Ç), если она лежит ниже касательной, проведенной в любой ее точке (рис. 42).
Говорят, что кривая на промежутке ]b,с[ обращена выпуклостью вниз или вогнута (È), если она лежит выше касательной, проведенной в любой ее точке (рис. 42).
Точка А, в которой меняется направление вогнутости кривой, называется точкой перегиба кривой (рис. 42).
График дифференцируемой функции y=f(x) является выпуклым на промежутке ]а; b[, если вторая производная функции отрицательна в каждой точке этого промежутка.
График дифференцируемой функции y=f(x) является вогнутым на промежутке ]b; с[, если вторая производная функции положительна в каждой точке этого промежутка.
Точки, в которых вторая производная функции обращается в нуль, называются критическими точками II рода.
Если при переходе через критическую точку II рода х = х0 вторая производная функция меняет знак, то х = х0 - абсцисса точки перегиба. Ордината точки перегиба равна значению
функции в точке х0, т.е. ут.п. =f(х0); А(х0;f(х0)) - точка перегиба графика функции у = f(х).
Исследование функций и построение их графиков. Исследование функции можно проводить по следующей схеме:
1. Найти область определения функции.
2. Найти точки пересечения графика функции с осями координат.
3. Найти промежутки монотонности и экстремумы функции.
4. Найти направление вогнутости и точки перегиба графика функции.
5. Для уточнения графика функции рекомендуется найти несколько дополнительных точек из уравнения функции.
Пример 8. Построить график функции у = х3 - Зх.
Решение 1. Областью определения функции служит множество всех действительных чисел, т. е. х = R.
2. Находим точки пересечения графика функции с осями координат:
рис.42. | рис. 43. |
3. Находим экстремумы функции. Для этого сначала найдем производную у' = Зх2 - 3. Затем найдем критические точки I рода: у' = 0,Зх2 - 3=0, х2 = 1, х1= 1, х2 = -1. Отметим эти точки на числовой прямой (рис. 43). Исследуем знак производной в каждом интервале; у'(-2) > 0, у' (0) < 0, у'(2) > 0. Функция возрастает при хÎ] -¥,-1[U]1,+¥[и убывает при хÎ] –1,1[. Итак, х= -1 — точка максимума; уmaх = у(-1)=(-1)3-3(-1)=-1+3=2; х=1 — точка минимума; ymin = у (1) = 13—3*1=1-3=-2.
4. Находим направление вогнутости и точки перегиба графика функции. Для этого сначала найдем вторую производную у" = 6х, а затем критические точки II рода: у" =0,6х=0, х = 0. Отметим эту точку на числовой прямой (рис. 44). Исследуем знак второй производной в каждом интервале:
у"(-1) < 0, у"(1)>0.
рис. 44 | рис. 45 |
Таким образом, график является выпуклым при хÎ] -¥,0[ и вогнутым при хÎ] 0, + ¥ [; х = 0 — абсцисса точки перегиба, yт.п= у(0) = 0; О (0,0) - точка перегиба графика функции.
Отметим все полученные точки в системе координат и соединим их плавной кривой (рис. 45).
Для уточнения графика функции можно найти дополнительные точки, используя уравнение функции: у(-2)= -2, у (2) =2.
Вопросы для самопроверки
1. Дайте определение производной функции.
2. В чем состоит геометрический смысл производной?
3. В чем состоит физический смысл производной?
4. Дайте определение второй производной функции.
5. В чем состоит физический смысл второй производной?
6. Напишите все формулы дифференцирования.
7. Как найти промежутки возрастания и убывания функции?
8. Как найти точки экстремума и экстремумы функции?
9. Как найти промежутки выпуклости и вогнутости кривой?
10. Как найти точки перегиба кривой?
11. Найдите производные функций: а) у = In tg (х/2);
б) у = cos2 Öx; в) f(x)=(x+1)2х-1.
12. Составьте уравнение касательной к кривой у = х2 — 4х в точке с абсциссой х = 1.
13. Прямолинейное движение точки задано уравнением
(s - в метрах, t - в секундах). Найдите скорость и ускорение движения точки в конце второй секунды,
14. Какой из прямоугольников с периметром, равным 48см, имеет наибольшую площадь?
15. Число 66 представьте в виде суммы двух положительных слагаемых так, чтобы произведение этих чисел было наибольшим.
Ответы. 11. a) cosec х; б) в)
12. 2х+у+1=0. 13. 3 м/с, 2 м/с2. 14. Квадрат со стороной 12 см. 15. 33 и 33.
Решение. Находим производную данной функции, используя формулы
Умножив производную на дифференциал аргумента, получим дифференциал:
Пример 2. Вычислить значение дифференциала функции n = In sin 2j при j = p/8, Dj = 0,02.
Решение: Дифференциал функции вычисляем по формуле dv = v' (j) dj.
Прежде чем применить эту формулу, используя равенства
(sin u)’ = cos u,u’, (си)’=си’, находим производную функции и ее значение при j = p/8:
Понятие о дифференциальном уравнении. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию, ее производную (или дифференциал аргумента и дифференциал функции).
Если дифференциальное уравнение содержит производную или дифференциал не выше первого порядка, то оно называется дифференциальным уравнением первого порядка. Общий вид такого уравнения F (х, у, у') = 0.
Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция у = j(х, С) от х и произвольной постоянной С, обращающая это уравнение в тождество.
Общее решение, записанное в неявном виде Ф (х, у. С) =0, называется общим интегралом.
Частным решением уравнения F (х, у, у') = 0 называется решение, полученное из общего решения при фиксированном значении С: у =j(х, Со), где Со - фиксированное число.
Частным интегралом уравнения F(x, у, у') = 0 называется интеграл, полученный из общего интеграла при фиксированном значении С: Ф (х, у, Со) = 0.
График любого частного решения дифференциального уравнения F (х, у, у') = 0 называется интегральной кривой. Общему решению (и общему интегралу) этого уравнения соответствует семейство интегральных кривых, зависящих от одного параметра С.
Пример 1. Составить уравнение кривой y=f(x), если угловой коэффициент касательной, проведенной в любой точке кривой, равен 2х.
Решение. Так как на основании геометрического смысла производной у' = kкас, то получим дифференциальное уравнение первого порядка:
Чтобы найти, искомую функцию у=f(х), надо проинтегрировать обе части уравнения: òdy = ò 2xdx. Отсюда получим общее решение дифференциального уравнения:
у=х2+С. Геометрически это решение представляет собой семейство парабол (рис. 55) с вершиной на оси Оу, симметричных относительно этой оси.
Чтобы из общего решения выделить частное решение, надо задать начальные условия. Пусть у = -1 при х=1; тогда общее решение примет вид -1 = 1 + С, откуда С = - 2. Геометрически частное решение у = х2 - 2 представляет собой параболу, проходящую через точку (1; -1) (рис. 55).
рис. 55
Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Общий вид такого уравнения
Х (х) • Y (y)dx + X1(x) • Y1 (у) • dy = 0,
где Х (х), Х1(х) — функции только от х, Y(у), Y1(у)—функции только от у.
Поделив обе части уравнения на произведение X1(x)•Y(у)¹0, получим уравнение с разделенными переменными: