Процент всхожести семян пшеницы равен 90%. Найти вероятность того, что из 500 посеянных семян взойдут от 400 до 440 семян.
Р е ш е н и е. Если вероятность появления события А в каждом из n испытаний постоянна и равна р, то вероятность того, что событие А появится не менее k1 раз и не более k2 раз определяется по интегральной теореме Лапласа, которая имеет формулу
где 
– функция Лапласа.
Значение этой функции для положительных значений х даны в приложении 2. При отрицательных значениях х в силу нечетности функции 
:
.
По условию задачи n=500; p=90%=0,9; q=1-0,9=0,1; k1=400; k2=440.
Находим значения х1 и х2.
. 
.
Тогда 
.
Задачи 321–340. Дискретная случайная величина Х задана своим законом распределения. Необходимо: 1) построить многоугольник распределения; 2) cоставить функцию распределения F(x) и построить ее график; 3) найти числовые характеристики СВ Х: а) математическое ожидание; б)дисперсию; с) среднее квадратическое отклонение.
| 321. | Х | -4 | -1 | | | |
| | Р | 0,1 | 0,3 | 0,2 | 0,3 | 0,1 |
| 322. | Х | -3 | -1 | | | 4 |
| | Р | 0,2 | 0,1 | 0,3 | 0,2 | 0,2 |
| 323. | Х | -5 | -3 | | | |
| | Р | 0,3 | 0,1 | 0,2 | 0,3 | 0,1 |
| 324. | Х | -2 | | | | |
| | Р | 0,4 | 0,1 | 0,1 | 0,2 | 0,3 |
| 325. | Х | -2 | -1 | | | |
| | Р | 0,2 | 0,4 | 0,1 | 0,2 | 0,1 |
| 326. | Х | -4 | -2 | | | |
| | Р | 0,3 | 0,1 | 0,3 | 0,2 | 0,1 |
| 327. | Х | -3 | -1 | | | |
| | Р | 0,3 | 0,1 | 0,2 | 0,1 | 0,2 |
| 328. | Х | -5 | -2 | | | |
| | Р | 0,1 | 0,4 | 0,2 | 0,1 | 0,2 |
| 329. | Х | -2 | -1 | | | |
| | Р | 0,3 | 0,1 | 0,2 | 0,1 | 0,3 |
| 330. | Х | -3 | -2 | | | |
| | Р | 0,2 | 0,1 | 0,2 | 0,3 | 0,2 |
| 331. | Х | -4 | -3 | | | |
| | Р | 0,1 | 0,3 | 0,2 | 0,3 | 0,1 |
| 332. | Х | -5 | -4 | | | |
| | Р | 0,2 | 0,3 | 0,1 | 0,3 | 0,1 |
| 333. | Х | -2 | -1 | | | |
| | Р | 0,2 | 0,1 | 0,1 | 0,4 | 0,2 |
| 334. | Х | -3 | -1 | | | |
| | Р | 0,3 | 0,1 | 0,2 | 0,1 | 0,3 |
| 335. | Х | -4 | -2 | | | |
| | Р | 0,2 | 0,4 | 0,1 | 0,1 | 0,2 |
| 336. | Х | -5 | -3 | | | |
| | Р | 0,2 | 0,1 | 0,4 | 0,2 | 0,1 |
| 337. | Х | -2 | | | | |
| | Р | 0,1 | 0,2 | 0,4 | 0,2 | 0,1 |
| 338. | Х | -3 | -2 | | | |
| | Р | 0,2 | 0,1 | 0,2 | 0,4 | 0,1 |
| 339. | Х | -5 | -3 | | | |
| | Р | 0,3 | 0,1 | 0,1 | 0,3 | 0,2 |
| 340. | Х | -4 | -2 | | | |
| | Р | 0,3 | 0,1 | 0,2 | 0,3 | 0,1 |
Решение типового примера
ДСВ. Х задана своим законом распределения
| X | -2 | | | | 6 |
| P | 0,1 | 0,3 | 0,1 | 0,3 | 0,2 |
1. Построить многоугольник распределения .
2. Составить функцию распределения 
, построить ее график.
3. Найти 
.
Р е ш е н и е. 1. В системе координат ОХУ по оси ОХ откладываем возможные значения случайной величины, по оси ОУ – их соответствующие вероятности. Соединив полученные точки отрезками ломаной, получим многоугольник распределения данной СВ Х (рис.3).
Рис.3.
2. Функция распределения 
. Составим для нашей задачи:
для 
;
для 
;
для 
;
для 
= 
для 
= 
для 
Таким образом имеет вид: 
Построим график (рис.4).
Рис. 4.
3. Найдем числовые характеристики данной случайной величины Х:
а) математическое ожидание М(Х) вычисляется по формуле 
,
б) дисперсия 
вычисляется по формуле
.
Вычислим 
Тогда 
.
в) среднее квадратическое отклонение 
.
Задачи 341–360.Непрерывная случайная величина Х задана функцией распределения F(x). Требуется: а) найти плотность распределения вероятностей f (x); б) построить графики функции f(x) и F(x); в) найти математическое ожидание М(Х) и дисперсию Д(Х).
