Тема 5.2. Элементы теории оценок и проверки гипотез
1. Заданы математическое ожидание т исреднее квадратическое отклонение σнормально распределенной случайной величины х. Найти: 1) вероятность того, что х примет значение, принадлежащее интервалу (α, β); 2) вероятность того, что абсолютная величина отклонения \х—т\ окажется меньше δ.
1.1. т=15, σ=2, α=16, β=25, δ=4.
1.2. т=14, σ=4, α=18, β=34, δ=8.
1.3. т=13, σ=4, α=156, β=17, δ=6.
1.4. т=12, σ=5, α=17, β=22, δ=15.
1.5. т=11, σ=3, α=17, β=26, δ=12.
1.6. т=10, σ=2, α=11, β=13, δ=5.
1.7. т=9, σ=4, α=15, β=19, δ=18.
1.8. т=8, σ=2, α=6, β=15, δ=8.
1.9. т=7, σ=5, α=2, β=22, δ=20.
1.10. т=6, σ=3, α=0, β=9, δ=9.
2. Найти выборочное уравнение прямой регрессии У на Х по данной корреляционной таблице.
2.1.
У | Х | пу | |||||
- | - | - | - | ||||
- | - | - | - | ||||
- | - | ||||||
- | - | - | |||||
- | - | - | |||||
пх | п=100 |
2.2.
У | Х | пу | |||||
- | - | - | - | ||||
- | - | - | - | ||||
- | - | - | |||||
- | - | - | |||||
- | - | - | |||||
пх | п=100 |
2.3.
У | Х | пу | |||||
- | - | - | - | ||||
- | - | - | - | ||||
- | - | - | |||||
- | - | - | |||||
- | - | - | |||||
пх | п=100 |
2.4.
У | Х | пу | |||||
- | - | - | - | - | |||
- | - | - | - | ||||
- | - | ||||||
- | - | ||||||
- | - | - | - | ||||
пх | п=100 |
2.5.
У | Х | пу | |||||
- | - | - | - | ||||
- | - | - | - | ||||
- | - | - | |||||
- | - | ||||||
- | - | - | |||||
пх | п=100 |
2. В задаче выборочные совокупности заданы из соответствующих генеральных совокупностей. Требуется: 1) по несгруппированным данным найти выборочную среднюю; 2) найти доверительный интервал для оценки неизвестного математического ожидания признака X генеральной совокупности (генеральной средней), если признак X распределен по нормальному закону; известно g -надежность и s - среднее квадратическое отклонение; 3) составить интервальное распределение выборки с шагом h, взяв за начало первого интервала х0; 4) построить гистограмму частот; 5) дать экономическую интерпретацию полученных результатов.
3.1 Получены результаты о фондовооруженности в 25 производственных объединениях (тыс. руб.):
16,8 17,2 17,6 17,6 17,9 18,0 18,2 18,4 18,6 18,9 18,9
19.0 19,1 19,2 19,2 19,3 19,7 19,9 20,0 20,0 20,2 20,3
20,4 20,8 21,5
g=0,95; s=1; h=1; х0=16,5.
3.2. Для определения удельного веса активных элементов основных производственных фондов было выборочно обследовано 25 производственных объединений и получены следующие результаты:
22,3 23,7 24,5 25,9 26,1 26,6 27,3 27,9 28,2 28,5 28,8
29.1 29,2 29,9 30,5 30,7 31,4 32,2 32,3 33,5 34,2 34,4
34.9 35,7 38,9
g=0,95; s=4; h=5; x0=20.
3.3. Произведено выборочное обследование 25 магазинов по величине товарооборота. Получены следующие результаты (в тыс. руб.):
42,5 60,0 63,5 70,5 82,0 83,5 92,0 95,5 100,0 101,0 105,0
108,5 110,0 115,5 120,0 120,5 122,0 130,0 138,5 140,0
142,0 150,5 160,0 162,1 180,5
g=0,96; s=31; h=20; х0=42,5.
3.4. При изучении уровня инфляции за некоторый период времени было обследовано 25 стран, получены следующие результаты:
0,35 0,41 0,53 0,59 0,64 0,68 0,71 0,73 0,77 0,78 0,82
0,83 0,85 0,86 0,88 0,89 0,92 0,93 0,97 1,01 107 108 1,14 1,25 1,28
g=0,98; s=0,22; h=0,2; х0=0,3.
3.5. Для определения себестоимости продукции было произведено выборочное обследование 25 предприятий пищевой промышленности и получены следующие результаты (руб.)
15,0 16,4 17,8 18,0 18,4 19,2 19,8 20,2 20,6 20,6
20,6 21,3 21,4 21,7 22,0 22,2 22,3 22,7 23,0 24,2
24,2 25,1 25,3 26,0 26,5 27,1.
g=0,95; s=2,8; h=2,5; x0=15.
3.6. Проведено выборочное обследование 25 частных фирм по количеству занятых в них служащих, получены следующие результаты (чел.):
266 278 315 336 347 354 368 369 391 408
411 416 427 437 444 448 457 462 481 483
495 512 518 536 576
g=0,96; s=65; h=50; х0=250.
3.7. Проведена случайная выборка личных заемных счетов в банке, получены следующие результаты (тыс. руб.):
1850 2200 2400 2450 2500 2550 2800 2900 2950 3100
3150 3200 3200 3300 3350 3400 3450 3550 3550 3600
3800 3900 4100 4300 4550
g=0,96; s=690; h=500; x0=1550.
3.8. Выборочно исследовано 25 предприятий для определения объема выпущенной продукции в месяц на одного рабочего, получены следующие результаты:
773 792 815 827 843 854 861 869 877 886 889 892 885
901 903 905 911 918 919 923 929 937 941 955 981
g=0,92; s=50; h=40; x0=760.
3.9. В Сбербанке проведено выборочное обследование 25 вкладов, которое дало следующие результаты (тыс.руб.):
75 210 350 350 400 520 540 560 590 680 700 700 720
750 780 790 810 850 875 890 1000 1000 1100 1200 1250
g=0,95; s=280; h=250; х0=50.
3.10. При исследовании объема продаж некоторого товара в супермаркете за 25 дней были получены следующие результаты (шт.):
69 76 77 79 83 86 87 88 89 89 90 91 91 92 93 93
94 94 96 96 99 101 103 107 108
g=0,98; s=9,5; h=10; х0=65.
4. Пусть зависимость признака у от х характеризуется таблицей.
хi | -3 | -2 | -1 | ||||
yi | 2,6 | -0,3 | -2 | -2,3 | -1,5 | 0,7 | 3,2 |
Предполагая, что справедлива зависимость у = а0 + а1х + а2х2, определить оценки коэффициентов ак.
5.Применяя способ наименьших квадратов, составить уравнение параболы второго порядка, которая проходит возможно ближе к точкам, указанным в таблице.
хi | -4 | -3 | -2 | -1 | |||||
yi | 0,3 | -0,1 | -0,2 | 0,2 |
6.Себестоимость у (в рублях) одного экземпляра книги в зависимости от тиража х (тыс. экз.) характеризуется данными, приведенными в таблице.
хi | ||||||||||
yi | 1,25 | 1,15 | 1,00 | 0,80 | 0,65 | 0,41 | 0,36 | 0,20 | 0,15 | 0,1 |
Применяя способ наименьших квадратов, определить коэффициенты для гиперболической зависимости вида у = а / х + b.
7. В ходе этнографической экспедиции по двум этнокультурным группам (районам) Архангельской области были выявлены наиболее часто встречающиеся узоры русской вышивки: конь и крылатая птица. На основе частоты появления этих образов орнамента в обследуемых этнокультурных группах была составлена следующая таблица:
Район | конь | крылатая птица |
Онежский | ||
Плисецкий |
По имеющимся данным построить таблицу сопряженности и по ней 1) оценить тесноту связи между признаками; 2) при уровне значимости проверить нулевую гипотезу о независимости исследуемых признаков: вид орнамента и принадлежность его к определенной группе.
8. В ходе медицинского обследования стояла задача проверить аллергенность нового препарата. Из 100 пациентов с одним и тем же заболеванием часть принимала старый общеизвестный препарат X, а часть принимала новый препарат Y. Из принимавших старый препарат: у 48 человек была нормальная реакция, а у 4 человек обнаружена аллергия. Среди тех, кто принимал новый препарат: у 42 зафиксирована нормальная реакция,. А у 6 человек аллергия. Проверить гипотезу о равенстве вероятностей возникновения аллергии при применении препаратов X и Y, когда уровень значимости равен 0,02. останется ли принятое решение о проверке данных гипотез справедливым, если при тех же значения частостей число пациентов возрастет в 10 раз?
9. На заводе изготовлен новый игровой автомат, который должен обеспечить появление выигрыша в одном случае из 100 бросаний монеты. Для проверки годности автомата произведено 400 испытаний, где выигрыш появился 5 раз. Оценить вероятность появления выигрыша. Построить приближенные доверительные границы для этой вероятности при , используя: преобразование арксинуса. Как изменится доверительный интервал, если при той же частости появления выигрыша число наблюдений возрастет в 20 раз?
10. Результаты наблюдений над величинами X и Y приведены в следующей таблице:
X | 1 | 2 | -1 | 3 |
Y | 2 | 3 | 1 | 4 |
Предполагая, что между X и Y имеется зависимость вида найти неизвестные коэффициенты a и b по методу наименьших квадратов. Вычислить Y при
.
11. Пусть вероятность того, что покупателю магазина женской обуви необходимы туфли 37 размера, равна 0,25. Оценить с помощью теоремы Бернулли и интегральной теоремы Муавра-Лапласа, вероятность того, что доля покупателей, которым необходимы туфли 37 размера, отклонится по абсолютной величине от вероятности 0,25 не более чем на 0,1, если всего в день магазин посещает 1000 покупателей.
12. Из 250 абитуриентов, сдававших вступительный экзамен по математике, в одном потоке 63 человека получило неудовлетворительные оценки. Оценить вероятность получения неудовлетворительной оценки на экзамене. Используя интегральную теорему Лапласа построить доверительные границы для этой вероятности при . Как изменится этот интервал, если при той же частости, число абитуриентов возрастет в 10 раз?
13. Из проконтролированных 100 телевизоров, выпущенных на Воронежском заводе, целиком удовлетворяют заданным техническим требованиям 85. При контроле 105 телевизоров, выпущенных на Шауляйском заводе, заданным техническим требованиям удовлетворяет 98 телевизоров. Проверить гипотезу о равенстве вероятностей выпуска годного телевизора на этих заводах при уровне значимости . Останется ли принятое решение в силе, если при тех же значениях частостей число проконтролированных телевизоров возрастет в 20 раз?
14. Результаты наблюдений над величинами X и Y приведены в следующей таблице:
X | 1 | 2 | 4 | 6 |
Y | 2 | 2,5 | 2,3 | 2,1 |
Предполагая, что между X и Y имеется зависимость вида найти неизвестные коэффициенты a и b по методу наименьших квадратов. Вычислить Y при
.
15. Из 450 деталей, изготовленных станком-автоматом оказалось 39 нестандартных. Оценить вероятность того, что произвольным образом взятая деталь окажется стандартной. Используя преобразование арксинуса, построить приближенные доверительные границы для этой вероятности при . Как изменится доверительный интервал, если при той же частости изготовления стандартных деталей число наблюдений возрастет в 25 раз?
16. В ходе социологических исследований, Стояла задача выявить, зависят ли миграционные установки выпускников от того, в каком регионе они живут. Результаты опроса представлены в таблице:
Город | Навсегда уехать | Жить в своем городе постоянно |
Пермь | ||
Екатеринбург |
По имеющимся данным построить таблицу сопряженности и по ней 1) оценить тесноту связи между признаками; 2) при уровне значимости проверить нулевую гипотезу о независимости исследуемых признаков: место жительства респондента и его миграционная установка. Изменится ли принятое решение, если все данные увеличить в 40 раз?
17. Пусть вероятность того, что автомат по продаже горячих напитков сработает равна 0,97. Пользуясь теоремой Бернулли, оценить вероятность того, что при использовании 1000 наборов из купюр в автомате отклонение частости правильной работы автомата от ее вероятности не превысит по абсолютной величине 0,02.
18. Результаты наблюдений над величинами X и Y приведены в следующей таблице:
X | 0 | 1 | 5 | 6 |
Y | 5 | 3 | 4 | 7 |
Предполагая, что между X и Y имеется зависимость вида найти неизвестные коэффициенты a, b и c по методу наименьших квадратов. Вычислить Y при
.
Раздел 6. Случайные процессы