Понятие степенной средней. Правило мажорантности средних
Все рассмотренные средние величины, а также средняя кубическая, средняя квадратическая и средняя геометрическая относятся к общему классу степенных средних. Степенные средние выражаются общей формулой, но различаются показателем степени Z.
Если Z= -1, то средняя гармоническая
Z= 0, то средняя геометрическая
Z= 1, то средняя арифметическая
Z= 2, то средняя квадратическая
Z= 3, то средняя кубическая
Чем выше показатель Z, тем больше значение средней величины, если значение признака варьируется. Все исходные значения признака не изменяются и между собой равны, то все средние равны этой константе. Соотношение между средними величинами называется «правило мажоратности средних»
Вопрос 28
Средняя геометрическая. Средняя кубическая. Средняя квадратическая.
Средняя геометрическая определяется по формуле
Наиболее часто эта формула используется при расчете средних темпов роста и прироста. Если при замене индивидуальных значений признака на среднюю величину необходимо сохранить неизменным произведение индивидуальных величин, то следует применить среднюю геометрическую величину.
Пример: Пусть цена товара в первый год в результате инфляции выросла в 2 раза к предыдущему году, а за второй год еще в 3 раза, тогда ясно, что цена выросла в общем в 6 раз от первоначального уровня. Какой средний темп роста цены за год
Следовательно, правильным будет применение средней геометрической
Средняя квадратическая
Если при замене индивидуальных значений величин признака на среднюю величину необходимо сохранить неизменной сумму квадратов исходных величин, то средняя будет являться средней квадратической величиной
Аналогично, если необходимо сохранить неизменной сумму кубов индивидуальных значений признака при их замене на среднюю величину, то получаем среднюю кубическую
Вопрос 29
Мода.
Характеристиками вариационных рядов, наряду со средними, являются мода и медиана.
Мода - это величина признака (варианта), наиболее часто повторяющаяся в изучаемой совокупности. Для дискретных рядов распределения модой будет значение варианта с наибольшей частотой.
Пример 8.
Распределение проданной обуви по размерам характеризуется следующими показателями:
| размер обуви | и выше | ||||||||||
| число пар, в % к итогу | — | — |
В этом ряду распределения мода равна 41. Именно этот размер обуви пользовался наибольшим спросом покупателей.
Для интервальных рядов распределения с равными интервалами мода определяется по формуле:
где 
- начальное значение интервала, содержащего моду;
- величина модального интервала;
- частота модального интервала;
- частота интервала, предшествующего модальному;
- частота интервала, следующего за модальным.
Пример 9.
Распределение предприятий по численности промышленно - производственного персонала характеризуется следующими данными:
Таблица 5.6.
| Группы предприятий по числу работающих, чел | Число предприятий |
| 100 — 200 | |
| 200 — 300 | |
| 300 — 400 | |
| 400 — 500 | |
| 500 — 600 | |
| 600 — 700 | |
| 700 — 800 | |
| ИТОГО |
В этой задаче наибольшее число предприятий (30) имеет численность работающих от 400 до 500 человек. Следовательно, этот интервал является модальным интервалом ряда распределения.
Введем следующие обозначения:
=400, =100, =30, =7, =19
Подставим эти значения в формулу моды и произведем вычисления:
|
Вопрос 30
Медиана
Медиана - это варианта, расположенная в середине вариационного ряда. Если ряд распределения дискретный и имеет нечетное число членов, то медианой будет варианта, находящаяся в середине упорядоченного ряда (упорядоченный ряд - это расположение единиц совокупности в возрастающем или убывающем порядке).
Например, стаж пяти рабочих составил 2, 4, 7, 8, 10 лет. В таком упорядоченном ряду медиана - 7 лет. По обе стороны от нее находится одинаковое число рабочих.
Если упорядоченный ряд состоит из четного числа членов, то медианой будет средняя арифметическая из двух вариант, расположенных в середине ряда. Пусть теперь будет не пять человек в бригаде, а шесть, имеющих стаж работы 2, 4, 6, 7, 8 и 10 лет. В этом ряду имеются две варианты, стоящие в центре ряда. Это варианты 6 и 7. Средняя арифметическая из этих значений и будет медианой ряда:
Ме = (6 + 7) / 2 = 6,5 лет.
Рассмотрим пример расчета медианы в дискретном ряду.
Пример 10.
Определим медиану заработной платы рабочих.
Таблица 5.7.
| Месячная з/п , руб. | Число рабочих | Сумма накопительных частот |
| 8 (2+6) | ||
| 24 (8+16) | ||
| — | ||
| — | ||
Для определения медианы надо подсчитать сумму накопленных частот ряда. Наращивание итога продолжается до получения накопленной суммы частот, превышающей половину. В нашем примере сумма частот составила ее половина - 20.
Накопленная сумма частот ряда получилась равной Варианта, соответствующая этой сумме, т.е. 160 руб., и есть медиана ряда.
Если же сумма накопленных частот против одной из вариант равна точно половине сумме частот, то медиана определяется как средняя арифметическая этой варианты и последующей.
Пример 11.
Таблица 5.8.
| Месячная з/п, руб. | Число рабочих | Сумма накопительных частот |
| 8 (2+6) | ||
| 20 (8+12) | ||
| — | ||
| — | ||
Медиана будет равна:
Ме = (150 + 170) / 2 = 160 руб.
Рассмотрим расчет медианы в интервальном вариационном ряду.
Медиана интервального вариационного ряда распределения определяется по формуле
где 
— начальное значение интервала, содержащего медиану;
— величина медианного интервала;
— сумма частот ряда;
— сумма накопленных частот, предшествующих медианному интервалу;
— частота медианного интервала.
Пример 12.
Таблица 5.9.
| Группы предприятий по числу рабочих | Число предприятий | Сумма накопительных частот |
| 100 — 200 | ||
| 200 — 300 | 4 (1+3) | |
| 300 — 400 | 11 (4+7) | |
| 400 — 500 | 41 (11+30) | |
| 500 — 600 | — | |
| 600 — 700 | — | |
| 700 — 800 | — | |
| ИТОГО |
Определим прежде всего медианный интервал. В данной задаче сумма накопленных частот, превышающая половину всех значений (41), соответствует интервалу 400 - 500. Это и есть медианный интервал, в котором находится медиана. Определим ее значение по приведенной выше формуле.
Известно, что:
Следовательно,
Вопрос 31