Оценка риска аварий методами теории надежности

Оценка степени риска поражения людей и нанесения ущерба при авариях связана с задачей прогнозирования показателей надежности и остаточного ресурса функционирующей системы. Наиболее важным вопросом является установление допустимых сроков дальнейшей эксплуатации индивидуального объекта при конкретном значении риска аварии. Одним из основных показателей надежности объекта является вероятность P(t) безотказной работы на некотором временном интервале или функция надежности. Функциядополняющая P(t) до единицы и характеризующая вероятность отказа, является функцией риска аварии – поражения людей и нанесения материального ущерба.

Для оценки риска применяют некоторые модели теории надежности. Среди них модели высоконадежных систем, для которых аварийные ситуации представляют редкие события, а также модели стареющих систем, качество которых в процессе эксплуатации ухудшается вследствие ползучести, различных видов усталости, износа и других видов повреждений.

Прогнозирование аварийных ситуаций возможно на основе элементарной статистики и дискретного распределения Пуассона, часто применяемого к редким событиям и природным явлениям.

Функцией риска аварии из-за отказа нормального функционирования объекта называют вероятность отказа

(42)

где P(t) – вероятность безотказной работы (функция надежности);

λ(t) – интенсивность отказов, равная вероятности того, что после безотказной работы до момента времени t авария произойдет в последующем малом отрезке времени.

Опыт показывает, что после небольшого начального периода эксплуатации (приработки) функция λ(t) длительный период достаточно стабильна, т.е. λ(t) = const. Влияние интенсивного старения за счет коррозионного износа, усталости и других факторов должно исключаться регламентированием допустимого срока службы.

Принимая для периода нормального (спокойного) функционирования λ(t)=const, из (42) получаем экспоненциальное распределение

P(t)=ехр(–λt), (43)

причем – математическое ожидание срока службы (ресурса) или средняя наработка на отказ. Функцию риска теперь можно записать в виде

(44)

При функции надежности в виде (43) частота отказов в системе однотипных объектов (поток случайных событий) соответствует дискретному распределению Пуассона

(45)

Согласно данной формуле, аварии на временном интервале τ (t, t+τ) произойдут N раз с вероятностью Q(N, λτ), а отсутствие аварийных ситуаций (отсутствие отказов) – с вероятностью

Q (0, λτ) = ехр(-λt). (46)

Вероятность того, что аварии произойдут п раз при п<N (т.е. менее N раз), определяется функцией распределения

(47)

где

Вероятность возникновения хотя бы одной аварии представляет оценку риска аварий на объекте в период τ

(48)

Для математического ожидания , дисперсии D и стандарта (среднеквадратического отклонения) σ имеет место равенство т.е. имеется возможность экспериментальной проверки правдоподобия гипотезы применимости закона Пуассона к конкретному виду аварии по факту хотя бы приблизительного соблюдения равенства

Таким образом, прогнозирование аварийных ситуаций можно на основе элементарной статистики. Такого рода данные представляют интерес при принятии решений о мерах по снижению степени риска аварий на объектах.

Значения вероятности аварий Q(N, λτ) и риска возможной аварии для числа N ≤ 5 приведены в табл. 17 и на рис. 8.

Таблица 17

Вероятность N аварий и оценка риска аварийности в зависимости от параметра λτ согласно распределению Пуассона

N	0,1	0,2	0,3	0,5	1,0	2,0	3,0	4,0	5,0
	0,905	0,819	0,741	0,607	0,368	0,135	0,050	0,018	0,007
	0,091	0,164	0,222	0,303	0,368
	0,0045	0,016	0,033	0,076	0,184	0,271
	0,0002	0,0011	0,0033	0,013	0,061	0,180	0,224
		0,0001	0,0003	0,0016	0,015	0,090	0,168	0,195
				0,0002	0,003	0,036	0,101	0,156	0,176
	0,095	0,181	0,259	0,393	0,632	0,865	0,950	0,982	0,993

Рис. 8. Вероятность аварий и оценка риска аварийности в зависимости от параметра λt

Закон Пуассона является частным (предельным) случаем биномиального распределения при большом числе маловероятных событий. В связи с этим формулу Пуассона называют законом редких явлений. На рис. 9 показано распределение Пуассона для нескольких значений λτ, из которого видно при больших значениях λτ (λτ ≥10) распределение приближается к нормальному распределению при .

(49)

Рис. 9. Распределение Пуассона для шести значений λt

Закон Пуассона широко используют на практике, применительно к различным областям техники и природным процессам, в частности, в теории надежности, при проверке качества, при прогнозировании сейсмического риска и др. 3акон Пуассона применим также к событиям (авариям), разбросанным на площадях. В этом случае параметр λ имеет смысл средней плотности, отнесенной не к временному интервалу, а к некоторой площади.

Е Феллер (по данным P.D.Clarке) приводит пример исключительно хорошего согласия с распределением Пуассона реальной статистики падений самолетов-снарядов в южной части Лондона в период второй мировой войны. Такое согласие установлено при подсчете числа К падений, приходящихся на каждый из N = 576 одинаковых участков территории, каждый площадью S=0,25 км². При общем числе снарядов Т = 537 число участков N_k, на которое приходилось по К падений (среднее число λS= T/N = 0,9323), дано в табл. 18 в сравнении со значениями вероятностей P(k; 0,9323), подсчитанных по формуле Пуассона.

Таблица 18

Сравнение статистики падения самолетов-снарядов
с соответствующим распределением Пуассона

Число падений k							≥5
Число участков Nk, Q(k; 0,9323) 576 Q(k; 0,9323)	0,3936 226,74	0,3670 211,39	0,1711 98,54	0,0532 30,62	0,0124 7,14	0,0023 1,33

Оценку надежности производственных установок и различай аппаратуры, а также обслуживания персоналом можно провести с использованием биноминального распределения подсчетом вероятности как частоты r успешных событий (например, пусков и т.п.) при их общем числе п. Доверительный интервал для фактической вероятности P_T определяется уравнением

(50)

где Р – нижняя граница искомой надежности Р_T; α – достоверность того, что фактическая вероятность Р_T находится в интервале Р ... 1. Значения вероятности Р_T при достоверности α=0,8 приведены в табл. 19 для трех значений п.

Таблица 19

Вероятность успешных (безаварийных) событий
с достоверностью 0,8 при различных значениях n

п
10 15 20	0,083 0,056 0,041	0,240 0,157 0,117	0,418 0,272 0,201	0,619 0,394 0,291	0,851 0,524 0,384	0,662 0,481	0,813 0,582	0,686	0,798	0,922

Рассмотрим альтернативный подход с привлечением модели, учитывающей некоторые физические процессы, полагая, что авария на взрывоопасном объекте возникает в результате накопления элементарных повреждений у при достижении некоторого предельно-допустимого износа М. Процесс накоплены повреждений фиксируется функцией износа η(t). Отказ наступает при условии η(t) ≥ М; и числе элементарных повреждений r = М/у.

Для объектов с высокой однородностью начального качества (обеспечивается жестким контролем качества материалов и технологии производства, что обычно реализуется при изготовлении труб, сосудов, резервуаров и газгольдеров) расчет вероятности отказа (аварии) возможен с использованием модели монотонно стареющих систем, т.е. с накапливающимися повреждениями, на основе гамма-распределения времени T функционирования

(51)

где Г(r) – гамма-функция;

– скорость износа.

Для целых значений r гамма-функция Г(r)=(r–1)!, λ – средняя скорость износа и функция распределения гамма-распределения имеет вид

(52)

При r=1 выражение (50) соответствует плотности экспоненциального распределения (мгновенный выход из строя при однократном повреждении).

Методы определения параметров λ, и r приведены И. Герцбахом и др. Один из методов основан на данных о времени безотказной работы τ_i, для N однотипных объектов.

Средняя для и дисперсия времени безотказной работы вычисляются по формулам

(53)

Значения искомых параметров определяют из соотношений

(54)

Прогноз аварийности объектов, эксплуатируемых после истечения срока службы, возможен и на основе распределения Вейбулла.

(55)

обобщающего экспоненциальное распределение при β = 1. Параметр β характеризует изменение интенсивности отказов, например, за счет старения. Сложность практического использования закона Вейбулла заключается в ограниченности данных по параметру β. Приведем примеры оценки риска аварий.

Пример 6. Порядок выполнения и оформления лабораторной работы № 6