Выборочный коэффициент корреляции

Точечная оценка тестоны линейной корреляционной взаимосвязи двух СВ X и Y, т. е. коэффициента корреляции, осуществляется с помощью выборочного коэффициента корреляции rв по формуле

Выборочный коэффициент корреляции - student2.ru(6.1)

или

Выборочный коэффициент корреляции - student2.ru , n<30,

Выборочный коэффициент корреляции - student2.ru, n<30.

Пример.Установить силу корреляционной связи, если известны результаты наблюдений

x 1,00 1,50 3,00 4,50 5,00
y 1,25 1,40 1,50 1,75 2,25

Установим силу корреляционной связи. Для этого сначала произведём дополнительные вычисления:

Выборочный коэффициент корреляции - student2.ru ;

Выборочный коэффициент корреляции - student2.ru .

Вычислим средние квадратические отклонения:

Выборочный коэффициент корреляции - student2.ru ; Выборочный коэффициент корреляции - student2.ru .

Тогда

Выборочный коэффициент корреляции - student2.ru ;

Выборочный коэффициент корреляции - student2.ru ;

Выборочный коэффициент корреляции - student2.ru ;

Выборочный коэффициент корреляции - student2.ru .

Полученные результаты подставляем в формулу (6.2) для вычисления выборочного коэффициента корреляции:

Выборочный коэффициент корреляции - student2.ru .

Выборочный коэффициент корреляции близок к единице, следовательно, корреляционная связь сильная.

При большом значение объёма выборки n одно и то же значение xi может встретиться Выборочный коэффициент корреляции - student2.ru раз, yi Выборочный коэффициент корреляции - student2.ru раз, одна и та же пара чисел Выборочный коэффициент корреляции - student2.ruВыборочный коэффициент корреляции - student2.ru раз. Поэтому данные выборки группируют и записывают в виде т. н. корреляционной таблицы (табл. 6.1).

Таблица 6.1

Y ny
x1 xi ... xk
y1 Выборочный коэффициент корреляции - student2.ru Выборочный коэффициент корреляции - student2.ru Выборочный коэффициент корреляции - student2.ru Выборочный коэффициент корреляции - student2.ru
yj Выборочный коэффициент корреляции - student2.ru Выборочный коэффициент корреляции - student2.ru Выборочный коэффициент корреляции - student2.ru Выборочный коэффициент корреляции - student2.ru
ym Выборочный коэффициент корреляции - student2.ru Выборочный коэффициент корреляции - student2.ru Выборочный коэффициент корреляции - student2.ru Выборочный коэффициент корреляции - student2.ru
nx Выборочный коэффициент корреляции - student2.ru Выборочный коэффициент корреляции - student2.ru Выборочный коэффициент корреляции - student2.ru n

Тогда

Выборочный коэффициент корреляции - student2.ru . (6.3)

Если Выборочный коэффициент корреляции - student2.ru , Выборочный коэффициент корреляции - student2.ru и Выборочный коэффициент корреляции - student2.ru , Выборочный коэффициент корреляции - student2.ru являются равноотстоящими с соответствующими значениями h1 и h2, то при расчете rв целесобразно перейти к условным вариантам.

Выборочный коэффициент корреляции - student2.ru , Выборочный коэффициент корреляции - student2.ru ; (6.4)

Выборочный коэффициент корреляции - student2.ru , Выборочный коэффициент корреляции - student2.ru ,

где с1 – начало нового отсчёта величины X;

с2 – начало нового отсчёта величины Y;

h1 – расстояние между соседними вариантами величины X;

h2 – расстояние между соседними вариантами величины Y.

Тогда формула (6.3) примет вид

Выборочный коэффициент корреляции - student2.ru . (6.5)

Абсолютное значение rв не превышает значение 1 ( Выборочный коэффициент корреляции - student2.ru ).

Пример.Установить силу корреляционной святи, если результаті наблюдений

Y X ny
20 25 30 35 40
16 4 6 - - - 10
26 - 8 10 - - 18
36 - - 32 3 9 44
46 - - 4 12 6 22
56 - - - 1 5 6
nx 4 14 46 16 20 n=100

Составляем корреляционную таблицу в условных вариантах. За ложные нули выбираем С1=30 и С2=36.



U V nu
-2 -1 0 1 2
-2 4 6 - - - 10
-1 - 8 10 - - 18
0 - - 32 3 9 44
1 - - 4 12 6 22
2 - - - 1 5 6
nv 4 14 46 16 20 n=100

Находим Выборочный коэффициент корреляции - student2.ru , Выборочный коэффициент корреляции - student2.ru :

Выборочный коэффициент корреляции - student2.ru ;

Выборочный коэффициент корреляции - student2.ru .

Найдём вспомогательные величины Выборочный коэффициент корреляции - student2.ru , Выборочный коэффициент корреляции - student2.ru :

Выборочный коэффициент корреляции - student2.ru Выборочный коэффициент корреляции - student2.ru

Вычисляем Выборочный коэффициент корреляции - student2.ru , Выборочный коэффициент корреляции - student2.ru .

Выборочный коэффициент корреляции - student2.ru .

Выборочный коэффициент корреляции - student2.ru .

По формуле (6.5) находим выборочный коэффициент корреляции:

Выборочный коэффициент корреляции - student2.ru .

Значение rв далее может быть использовано для определения интервальной оценки коэффициента корреляции r. Например, интервальная оценка r нормально распределённой ГС при Выборочный коэффициент корреляции - student2.ru имеет вид

Выборочный коэффициент корреляции - student2.ru . (6.6)

Известно, что если величины X и Y некоррелированы, то r=0 (Тема 4). Допустим, что Выборочный коэффициент корреляции - student2.ru . Т. к. rв является оценкой, r то нельзя достоверно заключить, что r генеральной совокупности также отличен от 0.

Поэтому возникает необходимость проверки статистической гипотезы Выборочный коэффициент корреляции - student2.ru при конкурирующей гипотезе Выборочный коэффициент корреляции - student2.ru .

В качестве критерия для проверки основной гипотезы, если ГС (X, Y) распределена нормально, прнимают СВ

Выборочный коэффициент корреляции - student2.ru , (6.7)

которая при справедливости H0 имеет распределение Стьюдента с числом степеней свободы, равным n-2.

Критическое значение критерия определяем по таблице критических точек распределения Стьюдента по заданному уровню значимости и числу степеней свободы. Наблюдаемое значение критерия определяем по формуле (6.7).

Если Выборочный коэффициент корреляции - student2.ru – нет оснований отвернуть H0, что означает: rв незначим, СВ X и Y не коррелированы.

Если Выборочный коэффициент корреляции - student2.ru – H0 отвергают: rв значим, СВ X и Y коррелированы.

Наши рекомендации