Индексы переменного и фиксированного состава

Общей сводной характеристикой любого сложного явления по некоторому признаку, как видели из предыдущего материала курса, служит средняя величина этого признака. Уровень средней складывается как под влиянием его значений у индивидуальных единиц совокупности, из которых состоит изучаемое явление, так и под воздействием соотношения их весов (т.е. структуры объекта).

Вспомним формулу средней

,

где – значения определяемого признака;

- численность отдельных вариантов совокупности.

Рассмотрим пример:

Предприятия	Базисный период	Отчетный период
Выпуск продукции	Себестоимость единицы, т.р.	Выпуск продукции	Себестоимость единицы, т.р.
тыс.ед;	% к итогу	тыс.ед.;	% к итогу
						14,2
						12,5
						9,5
ИТОГО			13,4			12,2

Рассчитаем среднюю себестоимость единицы продукции по данным предприятиям в отчетном и базисном периодах:

;

Сопоставляя их, получим: или 91,0%.

Отсюда видно, что средняя себестоимость единицы продукции за рассматриваемые периоды снизилась на 9,0% (или 91,0-100).

Отношения таких средних называют индексом переменного состава, т.е. в них используется разные веса соизмерители (в примере ):

.

Если бы в нашем примере выпуск продукции по отдельным предприятиям оставался без изменения или изменялся всюду пропорционально (т.е. удельный вес каждого предприятия в выпуске продукции оставался неизменным), то тогда снижение средней себестоимости на 9,0% можно было объяснить только влиянием изменения себестоимости на каждом предприятии. Фактически же менялась и себестоимость, и удельные веса (объемы выпуска продукции) каждого предприятия в общем выпуске продукции. Следовательно, снижение себестоимости на 9,0% достигнуто как за счет снижения себестоимости, так и за счет структурных сдвигов.

Чтобы исключить влияние изменения структуры совокупности на динамику средних величин, необходимо рассчитать средние (их соотношения) по одной и той же их структуре. В нашем случае:

.

Также индексы называются индексами фиксированного состава.

В нашем примере

или 95,2 %.

Этот индекс показывает, что в среднем по всем предприятиям себестоимость снизилась на 4,8%.

Влияние структурных сдвигов улавливается индексом структурных сдвигов (изменяются лишь веса – соизмерители и ):

.

В нашем примере:

или 95,8%.

За счет структурных сдвигов получено снижение себестоимости на 4,2%.

Итого имеем общее снижение себестоимости =4,8+4,2=9%.

Эти индексы взаимосвязаны между собой.

В общем виде эта зависимость записывается так:

.

Изложенный метод может быть применен не только для анализа изменения объекта во времени, но и для сравнения двух групп объектов.

Отсюда индекс структурных сдвигов рекомендуется рассчитывать путем деления индекса переменного состава на индекс фиксированного состава:

.

Другие виды индексов

А) Цепные и базисные индексы.

При расчете отдельно взятого индекса веса в числителе и знаменателе относятся к одному и тому же периоду, т.е. всегда одинаковы.

Пусть, например, за ряд периодов имеются данные о каком-то единичном показателе:

Периоды	I	II	III	IV	V
Уровни	y1	y2	y3	y4	y5

В этом случае, веса в вычисляемых индексах могут быть как постоянными (т.е. у всех индексов относящихся к одному периоду), так и переменными (т.е. изменяющиеся от периода к периоду).

Примем за базу сравнения y1, тогда для периодов II, III, IV, V индексы последовательно будут выражены (с постоянной базой) следующим образом:

.

Полученный ряд индексов называется базисными индексами (или коэффициентами роста с постоянной базой).

Теперь будем исчислять ряд индексов как отношение двух соседних уровней. Тогда для периодов II, III, IV, V индексы последовательно будут выражены (с переменной базой) следующим образом:

.

Полученный ряд индексов называется цепными индексами.

Нетрудно заметить, что

Цепные и базисные индексы с постоянными весами – соизмерителями находятся в следующей взаимосвязи:

1) произведение цепных индексов дает базисный индекс (последнего периода)

;

2) деление последующего базисного индекса на предыдущий базисный индекс дает цепной индекс (последующего периода), т.е.

.

Отмечая эту взаимосвязь между цепными и базисными индексами следует иметь в виду, что она должна использоваться с определенными оговорками: для индивидуальных индексов эта взаимосвязь выполняется всегда (безусловно), а для общих индексов будет иметь место только тогда, когда ряд общих индексов рассчитан по одним и тем же весам (т.е. для так называемых индексов с постоянными весами).

Как видели в п. 10.3 настоящей темы, все индексы объемных (количественных) показателей исчисляются по весам – соизмерителям базисного периода, т.е. с постоянными весами. Поэтому к таким индексным рядам указанная взаимосвязь имеет безусловный характер.

В индексном ряду с постоянными весами значительно легче изменять базу расчета.

В то же время все индексы качественных показателей исчисляются по весам – соизмерителям отчетного периода, т.е. являются индексами с переменными весами. Для таких индексных рядов указанная взаимосвязь не выполняется. Однако в статистических исследованиях иногда приходится прибегать к перемножению цепных индексов с переменными весами для того, чтобы получить базисный индекс. При этом вследствие системы переменных весов результат содержит некоторую ошибку. Величина этой ошибки определяется расхождением двух разновзвешенных индексов:

.

Количественно эта ошибка зависит от:

А) коэффициентов вариации индивидуальных индексов «р»;

Б) вариации индивидуальных индексов «g»;

В) а также от тесноты зависимости (коэффициента корреляции) между индивидуальными индексами «р» и «g».

Чем меньше будет каждая из этих величин, тем меньше будет их произведение, а, следовательно, ошибка в оценке величины базисного индекса путем перемножения цепных индексов с переменными весами.

Б) Территориальные индексы.

Мы все время говорили о том, что массовые явления изучаются с учетом времени и места.

Выше статистические индексы рассматривались главным образом для изучения развития явления во времени. В современных условиях развития в статистике все большее значение приобретает использование индексного метода для территориальных сравнений. При рыночных отношениях возникает необходимость сравнения производственной, коммерческой и иной деятельности отдельных территорий (регионов, областей, районов, населенных пунктов) страны, отдельных стран. Большое значение имеет индексный метод в международной статистике при сопоставлениях показателей социально-экономического развития отдельных стран.

Общие принципы использования индексного метода при территориальных сравнениях во многом подобны изучению развития сложных статистических совокупностей.

Однако при расчете территориальных индексов имеются некоторые особенности.

Во-первых, при двухсторонних сравнениях каждый регион (страна) может быть принят как в качестве сравниваемого, так и в качестве базы сравнения. В зависимости от этого по-разному будут выбираться веса – соизмерители индексируемых величин. Это может привести к противоречивым результатам между общими и индивидуальными территориальными индексами, которое может быть преодолено путем исчисления сводных (общих) индексов с использованием суммарных весов этих двух индексных отношений. Например, изучаются уровни цен:

.

Отсюда и .

Во-вторых, обеспечивается сопоставимость рассматриваемых территорий. Например, Россия как самостоятельное государство и Россия (РСФСР) в составе СССР.

В-третьих, выбор базы сравнения может не учитывать строгую хронологическую последовательность расчета показателей динамики.

При многосторонних сравнениях выбор базы сравнения и весов - соизмерителей индексируемых величин предопределяется конкретными целями статистического анализа.

Пример (упрощенный вариант)

Культура	Урожайность	Посевная площадь, тыс.га	Sа+Sб
район А	район В	район А	район В
кукуруза
рожь озимая
пшеница, озимая
-	-	Σ