Индексы переменного и фиксированного состава
Общей сводной характеристикой любого сложного явления по некоторому признаку, как видели из предыдущего материала курса, служит средняя величина этого признака. Уровень средней складывается как под влиянием его значений у индивидуальных единиц совокупности, из которых состоит изучаемое явление, так и под воздействием соотношения их весов (т.е. структуры объекта).
Вспомним формулу средней
,
где – значения определяемого признака;
- численность отдельных вариантов совокупности.
Рассмотрим пример:
Предприятия | Базисный период | Отчетный период | ||||
Выпуск продукции | Себестоимость единицы, т.р. ![]() | Выпуск продукции | Себестоимость единицы, т.р. ![]() | |||
тыс.ед; ![]() | % к итогу | тыс.ед.; ![]() | % к итогу | |||
14,2 | ||||||
12,5 | ||||||
9,5 | ||||||
ИТОГО | 13,4 | 12,2 |
Рассчитаем среднюю себестоимость единицы продукции по данным предприятиям в отчетном и базисном периодах:
;
Сопоставляя их, получим: или 91,0%.
Отсюда видно, что средняя себестоимость единицы продукции за рассматриваемые периоды снизилась на 9,0% (или 91,0-100).
Отношения таких средних называют индексом переменного состава, т.е. в них используется разные веса соизмерители (в примере
):
.
Если бы в нашем примере выпуск продукции по отдельным предприятиям оставался без изменения или изменялся всюду пропорционально (т.е. удельный вес каждого предприятия в выпуске продукции оставался неизменным), то тогда снижение средней себестоимости на 9,0% можно было объяснить только влиянием изменения себестоимости на каждом предприятии. Фактически же менялась и себестоимость, и удельные веса (объемы выпуска продукции) каждого предприятия в общем выпуске продукции. Следовательно, снижение себестоимости на 9,0% достигнуто как за счет снижения себестоимости, так и за счет структурных сдвигов.
Чтобы исключить влияние изменения структуры совокупности на динамику средних величин, необходимо рассчитать средние (их соотношения) по одной и той же их структуре. В нашем случае:
.
Также индексы называются индексами фиксированного состава.
В нашем примере
или 95,2 %.
Этот индекс показывает, что в среднем по всем предприятиям себестоимость снизилась на 4,8%.
Влияние структурных сдвигов улавливается индексом структурных сдвигов (изменяются лишь веса – соизмерители и
):
.
В нашем примере:
или 95,8%.
За счет структурных сдвигов получено снижение себестоимости на 4,2%.
Итого имеем общее снижение себестоимости =4,8+4,2=9%.
Эти индексы взаимосвязаны между собой.
В общем виде эта зависимость записывается так:
.
Изложенный метод может быть применен не только для анализа изменения объекта во времени, но и для сравнения двух групп объектов.
Отсюда индекс структурных сдвигов рекомендуется рассчитывать путем деления индекса переменного состава на индекс фиксированного состава:
.
Другие виды индексов
А) Цепные и базисные индексы.
При расчете отдельно взятого индекса веса в числителе и знаменателе относятся к одному и тому же периоду, т.е. всегда одинаковы.
Пусть, например, за ряд периодов имеются данные о каком-то единичном показателе:
Периоды | I | II | III | IV | V |
Уровни | y1 | y2 | y3 | y4 | y5 |
В этом случае, веса в вычисляемых индексах могут быть как постоянными (т.е. у всех индексов относящихся к одному периоду), так и переменными (т.е. изменяющиеся от периода к периоду).
Примем за базу сравнения y1, тогда для периодов II, III, IV, V индексы последовательно будут выражены (с постоянной базой) следующим образом:
.
Полученный ряд индексов называется базисными индексами (или коэффициентами роста с постоянной базой).
Теперь будем исчислять ряд индексов как отношение двух соседних уровней. Тогда для периодов II, III, IV, V индексы последовательно будут выражены (с переменной базой) следующим образом:
.
Полученный ряд индексов называется цепными индексами.
Нетрудно заметить, что
Цепные и базисные индексы с постоянными весами – соизмерителями находятся в следующей взаимосвязи:
1) произведение цепных индексов дает базисный индекс (последнего периода)
;
2) деление последующего базисного индекса на предыдущий базисный индекс дает цепной индекс (последующего периода), т.е.
.
Отмечая эту взаимосвязь между цепными и базисными индексами следует иметь в виду, что она должна использоваться с определенными оговорками: для индивидуальных индексов эта взаимосвязь выполняется всегда (безусловно), а для общих индексов будет иметь место только тогда, когда ряд общих индексов рассчитан по одним и тем же весам (т.е. для так называемых индексов с постоянными весами).
Как видели в п. 10.3 настоящей темы, все индексы объемных (количественных) показателей исчисляются по весам – соизмерителям базисного периода, т.е. с постоянными весами. Поэтому к таким индексным рядам указанная взаимосвязь имеет безусловный характер.
В индексном ряду с постоянными весами значительно легче изменять базу расчета.
В то же время все индексы качественных показателей исчисляются по весам – соизмерителям отчетного периода, т.е. являются индексами с переменными весами. Для таких индексных рядов указанная взаимосвязь не выполняется. Однако в статистических исследованиях иногда приходится прибегать к перемножению цепных индексов с переменными весами для того, чтобы получить базисный индекс. При этом вследствие системы переменных весов результат содержит некоторую ошибку. Величина этой ошибки определяется расхождением двух разновзвешенных индексов:
.
Количественно эта ошибка зависит от:
А) коэффициентов вариации индивидуальных индексов «р»;
Б) вариации индивидуальных индексов «g»;
В) а также от тесноты зависимости (коэффициента корреляции) между индивидуальными индексами «р» и «g».
Чем меньше будет каждая из этих величин, тем меньше будет их произведение, а, следовательно, ошибка в оценке величины базисного индекса путем перемножения цепных индексов с переменными весами.
Б) Территориальные индексы.
Мы все время говорили о том, что массовые явления изучаются с учетом времени и места.
Выше статистические индексы рассматривались главным образом для изучения развития явления во времени. В современных условиях развития в статистике все большее значение приобретает использование индексного метода для территориальных сравнений. При рыночных отношениях возникает необходимость сравнения производственной, коммерческой и иной деятельности отдельных территорий (регионов, областей, районов, населенных пунктов) страны, отдельных стран. Большое значение имеет индексный метод в международной статистике при сопоставлениях показателей социально-экономического развития отдельных стран.
Общие принципы использования индексного метода при территориальных сравнениях во многом подобны изучению развития сложных статистических совокупностей.
Однако при расчете территориальных индексов имеются некоторые особенности.
Во-первых, при двухсторонних сравнениях каждый регион (страна) может быть принят как в качестве сравниваемого, так и в качестве базы сравнения. В зависимости от этого по-разному будут выбираться веса – соизмерители индексируемых величин. Это может привести к противоречивым результатам между общими и индивидуальными территориальными индексами, которое может быть преодолено путем исчисления сводных (общих) индексов с использованием суммарных весов этих двух индексных отношений. Например, изучаются уровни цен:
.
Отсюда и
.
Во-вторых, обеспечивается сопоставимость рассматриваемых территорий. Например, Россия как самостоятельное государство и Россия (РСФСР) в составе СССР.
В-третьих, выбор базы сравнения может не учитывать строгую хронологическую последовательность расчета показателей динамики.
При многосторонних сравнениях выбор базы сравнения и весов - соизмерителей индексируемых величин предопределяется конкретными целями статистического анализа.
Пример (упрощенный вариант)
Культура | Урожайность | Посевная площадь, тыс.га | Sа+Sб | ||
район А | район В | район А | район В | ||
кукуруза | |||||
рожь озимая | |||||
пшеница, озимая | |||||
- | - | Σ |