Принципы выбора стратегии в играх с единичным экспериментом
Так как введение функции риска сводит игру с единичным экспериментом к форме, аналогичной игре без эксперимента, то остаются справедливыми все принципы выбора стратегии статистика. Отличие состоит только в том, что вместо минимизации средних потерь, статистик должен теперь минимизировать средний риск.
Например, согласно принципу минимакса выбирается стратегия , при которой средний риск
будет минимальным при наихудшем для статистика состоянии природы:
. (3.18)
И игра решается сведением к задаче линейного программирования.
Отметим также, что при определении среднего риска можно исходить и из дополнительных потерь
.
Для применения байесовского принципа введем понятие ожидаемого риска, под которым будем понимать средний риск с учетом всех возможных состояний природы и априорного распределения вероятностей
. А именно:
. (3.19)
И оптимальной будет такая решающая функция , при которой ожидаемый риск будет минимальным:
. (3.20)
При этом риск называется байесовским.
№ 3.10.Определить минимаксную и байесовскую стратегии в задаче о технологической линии с проведением единичного эксперимента.
Решение. Сведение задачи к - игре позволяет получить следующие решения:
1) Минимаксная стратегия -
.
2) Байесовская стратегия: , при которой
.
Пример задачи принятия решений в сельском хозяйстве
Рассмотрим задачу о том, на каких участках сажать картофель: на влажных , или на засушливых
. Множество состояний природы состоит из двух элементов:
- влажное лето (осадков будет выше нормы),
- сухое лето (осадков будет ниже нормы). По результатам многолетних наблюдений известна соответствующая прибыль в расчете на 1 га (в у.е.):
![]() | ![]() | |
![]() | ||
![]() |
Так как размерность задачи мала, то решение этой статистической игры можно будет продемонстрировать аналитически.
Определим функцию потерь в виде разности между наибольшей прибылью (25) и прибылью которую можно получить во всех остальных случаях:
20 0
5 17
Определим множество исходов эксперимента как:
- наблюдается (весной) большое количество осадков,
- малое количество осадков, со следующими условными вероятностями
:
![]() | ![]() | |
![]() | 0,60 | 0,30 |
![]() | 0,40 | 0,70 |
Построим пространство решающих функций
:
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | |
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
и вычислим функции риска, представив для удобства расчетов потери и условные вероятности в одной таблице:
![]() | ![]() | ![]() | ||
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | |
![]() | 0,60 | 0,40 | ||
![]() | 0,30 | 0,70 |
Тогда можем получить следующие функции риска:
,
,
,
,
,
,
,
.
Представим полученные значения в виде матрицы (таблицы) рисков:
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | |
![]() | ||||
![]() | 13,4 | 8,6 |
Видно, что стратегия является недопустимой, так как при сравнении ее со стратегией
, получаем следующие неравенства:
. Поэтому стратегию
можно исключить. Это приводит к следующей матрице рисков:
![]() | ![]() | ![]() | |
![]() | |||
![]() | 8,6 |
Найдем сначала байесовское решение, предполагая, что априорное распределение вероятностей состояний природы имеет вид: .
Тогда средние потери (риски) будут равны:
,
,
,
Видно, что
.
Следовательно, оптимальной байесовской стратегией будет стратегия : если весной много осадков (
), то принимается решение
о том, что картофель надо сажать на засушливых участках; если весной будет мало осадков (
), то принимается решение
о том, что посадки надо осуществить на влажных участках.
Найдем теперь минимаксное решение . Согласно принципу минимакса необходимо выполнение следующих условий:
где - цена игры. Разделив на
все неравенства, получаем
задачу линейного программирования.
Найти
,
при ограничениях:
Решив эту задачу, получаем:
,
то есть
,
и
.
Таким образом, минимаксная стратегия заключается в выборе стратегии с вероятностью 0,0385, и стратегии
с вероятностью 0,9615. Это означает, что если весной наблюдается большое число осадков
, то с вероятностью 0,0385 принимается решение
, а с вероятностью 0,9615 - решение
. Если же весной наблюдается малое число осадков
, то принимается решение
. Кроме того, видно, что минимаксная стратегия более осторожна, чем байесовская, так как
.
Если решать эту задачу без проведения эксперимента, то легко можно получить:
а) байесовское решение: ;
б) минимаксное решение: .
Видно, что проведение эксперимента действительно позволило улучшить результаты статистика, особенно минимаксное решение.