Геометрическое распределение вероятностей

Пусть производятся независимые испытания, в каждом из которых вероятность появления события А равна р. Следовательно вероятность непоявления события А q=1-р. Испытания заканчиваются, как только появится событие А. Таким образом, если событие А появилось в k-ом испытании, то в предшествующих k-1 испытаниях оно не появилось.

Вероятность этого сложного события вычисляется по формуле:

, (28)

где - номер испытания в котором появилось событие А;

- вероятность появления события А в каждом испытании;

- вероятность не появления события А в каждом испытании.

Полагая k=1, 2, 3,… получим геометрическую прогрессию с первым членом р и знаменателем q. По этой причине данное распределение называют геометрическим распределением.

Математическое ожидание случайной величины Х, имеющей геометрическое распределение с параметром р рассчитывается по формуле:

, (29)

где - вероятность появления события А в каждом испытании.

Дисперсия случайной величины Х, имеющей геометрическое распределение с параметром р рассчитывается по формуле:

, (30)

где - вероятность появления события А в каждом испытании;

- вероятность не появления события А в каждом испытании.

Пример: После ответа студента на вопросы экзаменационного билета экзаменатор задаёт студенту дополнительные вопросы до тех пор, пока студент не ответит на заданный вопрос. Вероятность того, что студент ответит на любой заданный вопрос 0,9. Необходимо составить закон распределения ДСВ Х – числа дополнительных вопросов, которые задаст преподаватель студенту и найти наиболее вероятное число заданных студенту вопросов.

Решение: ДВС Х – число заданных студенту вопросов может принимать следующие значения: 1, 2, 3, …, k, … . Найдём вероятности этих значений.

Если p = 0,9 – вероятность того, что студент ответит на вопрос преподавателя, тогда q = 1 – p = 1 – 0,9 = 0,1 – вероятность того, что студент не ответит на заданный вопрос.

1) х₁ = 1 – экзаменатор задал только 1 вопрос, тогда по формуле геометрического распределения найдём вероятность этого события: Р(Х=1)=0,1

2) х₂ = 2 – экзаменатор задал только 2 вопроса, тогда по формуле геометрического распределения найдём вероятность этого события: Р(Х=2)=0,9∙0,1=0,09

3) х₃ = 3 – экзаменатор задал только 3 вопроса, тогда по формуле геометрического распределения найдём вероятность этого события: Р(Х=1)=0,9²∙0,1=0,081

и т.д., следовательно = 0,9^k-1 ∙ 0,1

Составим закон распределения:

x				…	k	…
p	0,1	0,09	0,081	…	0,9k-1 ∙ 0,1	…

Наиболее вероятное число заданных преподавателем вопросов, как следует из закона распределения, равно 1.