Глава 2. Основные теоремы.

Глава 2. Основные теоремы.

Вариант 1.

1. В ящике 10 деталей, из которых 4 окрашены. Сборщик наудачу взял 3 детали. Найти вероятность того, что хотя бы одна из взятых деталей окрашена.
2. Студент разыскивает нужную ему формулу в трех справочниках. Вероятности того, что формула содержит­ся в первом, втором, третьем справочнике, соответствен­но равны 0,6; 0,7; 0,8. Найти вероятности того, что фор­мула содержится: а) только в одном справочнике, б) только в двух справочниках, в) во всех трех справоч­никах.
3. В мешочке содержится 10 одинаковых кубиков с номерами от 1 до 10. Наудачу извлекают по одному 3 кубика. Найти вероятность того, что последовательно появятся кубики с номерами 1, 2, 3, если кубики извле­каются: а) без возвращения; б) с возвращением (извле­ченный кубик возвращается в мешочек).
4. Три исследователя, независимо один от другого, производят измерения некоторой физической величины. Вероятность того, что первый исследователь допустит ошибку при считывании показаний прибора, равна 0,1. Для второго и третьего исследователей эта вероятность соответственно равна 0,15 и 0,2. Найти вероятность того, что при однократном измерении хотя бы один из иссле­дователей допустит ошибку.
5. В вычислительной лаборатории имеются 6 клавиш­ных автоматов и 4 полуавтомата. Вероятность того, что за время выполнения некоторого расчета автомат не выйдет из строя, равна 0,95; для полуавтомата эта вероят­ность равна 0,8. Студент производит расчет на наудачу выбранной машине. Найти вероятность того, что до окон­чания расчета машина не выйдет из строя.
6. Два автомата производят одинаковые детали, кото­рые поступают на общий конвейер. Производительность первого автомата вдвое больше производительности вто­рого. Первый автомат производит в среднем 60% деталей отличного качества, а второй – 84%. Наудачу взятая с конвейера деталь оказалась отличного качества. Найти вероятность того, что эта деталь произведена первым авто­матом.

7. В пирамиде 10 винтовок, из которых 4 снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок пора­зит мишень при выстреле из винтовки с оптическим при­целом, равна 0,95; для винтовки без оптического прицела эта вероятность равна 0,8. Стрелок поразил мишень из наудачу взятой винтовки. Что вероятнее: стрелок стрелял из винтовки с оптическим прицелом или без него?

1. У рыбака есть 3 излюбленных места рыбалки. Эти места он посещает с одинаковой вероятностью. Вероятность того, что рыба клюнет в первом месте, 1/3, во втором –1/2, в третьем –1/4. Известно, что рыбак забросил удочку 3 раза, а вытащил только одну рыбу. Какова вероятность того, что он рыбачил в первом из его излюбленных мест?
2. Рабочий обслуживает 5 станков. 20% времени он уделяет первому станку, 10% – второму, 18% – третьему, 25% – чет­вертому и 30% – пятому станку. Какова вероятность того, что случайно заглянувший в цех мастер найдет рабочего:

а) у первого или третьего станка;

б) у первого или пятого станка;

в) у первого или четвертого станка;

г) у первого, у второго или у третьего станка?

Глава 2. Основные теоремы.

Вариант 2.

1. Для сигнализации об аварии установлены два не­зависимо работающих сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сигнализатор сработает, равна 0,95 для первого сигнализатора и 0,9 для второго. Найти вероятность того, что при аварии сработает только один сигнализатор.
2. Вероятности того, что нужная сборщику деталь содержится в первом, втором, третьем, четвертом ящике, соответственно равны 0,6; 0,7; 0,8; 0,9. Найти вероятно­сти того, что деталь содержится: а) не более чем в трех ящиках, б) не менее чем в двух ящиках.
3. Студент знает 20 из 25 вопросов программы. Найти вероятность того, что студент знает предложенные ему экзаменатором три вопроса.
4. Для разрушения моста достаточно попадания одной авиационной бомбы. Найти вероятность того, что мост будет разрушен, если на него сбросить 4 бомбы, вероят­ности попадания которых соответственно равны: 0,3; 0,4; 0,6; 0,7.
5. В пирамиде пять винтовок, три из которых снаб­жены оптическим прицелом. Вероятность того, что стре­лок поразит мишень при выстреле из винтовки с прице­лом, равна 0,95; для винтовки без оптического прицела эта вероятность равна 0,7. Найти вероятность того, что мишень будет поражена, если стрелок произведет один выстрел из наудачу взятой винтовки.
6. Число грузовых автомашин, проезжающих по шоссе, на котором стоит бензоколонка, относится к числу легковых машин, проезжающих по тому же шоссе как 3:2. Вероятность того, что будет заправляться грузовая машина, равна 0,1; для легковой машины эта вероятность равна 0,2. К бензоколонке подъехала для заправки машина. Найти вероятность того, что это грузовая машина.
7. Две из четырех независимо работающих ламп прибора отказали. Найти вероятность того, что отказали первая и вторая лампы, если вероятности отказа первой, второй, третьей и четвертой ламп соответственно равны p₁=0,1; p₂=0,2; p₃= 0,3 и p₄=0,4.
8. Путешественник может купить билет в одной из трех касс железнодорожного вокзала. Вероятность того, что он направится к первой кассе, , ко второй – к третьей – . Вероятности, того, что билетов уже нет в кассах, такие: в первой кассе , во вто­рой – , в третьей – . Путешественник обратился в одну из касс и получил билет. Определите вероятность того,что он напра­вился к первой кассе.

9. Два зенитных орудия ведут огонь по одному и тому же самолету. Вероятность попадания выстрелом из первого орудия 0,2, из второго – 0,6. Первым залпом в самолет попали только из одного орудия. Какова вероятность того, что промахнулся рас­чет первого орудия?

Глава 2. Основные теоремы.

Вариант 3.

1. Отдел технического контроля проверяет изделия на стандартность. Вероятность того, что изделие стандартно, равна 0,9. Найти вероятность того, что из двух проверенных изделий только одно стандартно.
2. Брошены три игральные кости. Найти вероятности следующих событий: а) на каждой из выпавших граней появится 5 очков; б) на всех выпавших гранях появится одинаковое число очков.
3. В урне имеется 5 шаров с номерами от 1 до 5. Наудачу по одному извлекают 3 шара без возвращения. Найти вероятность следующего события: последователь­но появятся шары с номерами 1, 4, 5.
4. Устройство содержит 2 независимо работающих элемента. Вероятности отказа элементов соответственно равны 0,05 и 0,08. Найти вероятность отказа устройства, если для этого достаточно, чтобы отказал хотя бы один элемент.
5. В ящике содержится 12 деталей, изготовленных на заводе № 1, 20 деталей – на заводе № 2 и 18 дета­лей – на заводе № 3. Вероятность того, что деталь, изго­товленная на заводе № 1, отличного качества, равна 0,9; для деталей, изготовленных на заводах № 2 и № 3, эти вероятности соответственно равны 0,6 и 0,9. Найти веро­ятность того, что извлеченная наудачу деталь окажется отличного качества.
6. Две перфораторщицы набили на разных перфораторах по одинаковому комплекту перфокарт. Вероятность того, что первая перфораторщица допустит ошибку, рав­на 0,05; для второй перфораторщицы эта вероятность равна 0,1. При сверке перфокарт была обнаружена ошибка. Найти вероятность того, что ошиблась первая перфораторщица. (Предполагается, что оба перфоратора были исправны.)
7. Три стрелка произвели залп, причем две пули поразили мишень. Найти вероятность того, что третий стрелок поразил мишень, если вероятности попадания в мишень первым, вторым и третьим стрелками соответ­ственно равны 0,6, 0,5 и 0,4.
8. При разрыве снаряда образуются осколки трех весовых категорий: крупные, средние и мелкие, причем число крупных, средних и мелких осколков составляет соответственно 0,1; 0,3; 0,6 общего числа осколков. При попадании в броню крупный осколок пробивает ее с веро­ятностью 0,9, средний – с вероятностью 0,2 и мелкий – с веро­ятностью 0,05. В броню попал один осколок и пробил ее. Найдите вероятности того, что эта пробоина причинена: крупным, средним и мелким осколком.

9. Группе студентов для прохождения производственной прак­тики выделено 30 мест: 15 – в Туле, 8 – во Владимире, 7 – в Калуге. Какова вероятность того, что студент и студентка, кото­рые в скором времени собираются справить свадьбу, будут по­сланы для прохождения практики в один и тот же город, если де­кан ничего не знает об их «семейных» делах?