Элементы теории вероятностей

Контрольные вопросы.

1. Что такое ²испытание², ²событие²? Приведите примеры испытаний и событий.

2. Какие события называются совместимыми и несовместимыми?

3. В каком случае два события называются противоположными? Приведите примеры противоположных событий.

4. Что такое ²достоверное событие², ²невозможное событие², ²случайное событие², ²полная группа событий², ² элементарные события²?

5. Дайте классическое определение вероятности.

6. Что такое абсолютная и относительная частота события А?

7. Сформулируйте статистическое определение вероятности. Приведите примеры геометрических определений вероятности.

8. Что такое сумма и произведение событий? Приведите примеры.

9. Какие события называются независимыми? Зависимыми? Приведите примеры.

10. Сформулируйте теоремы о вероятности суммы несовместимых событий, произведения независимых событий.

11. Даете определение условной вероятности.

12. Сформулируйте теоремы о вероятности произведения зависимых событий, суммы совместимых событий,.

Упражнения.

1. В ящике имеется 100 яиц, из них 5 некачественных. Наудачу вынимают одно яйцо. Найти вероятность, что оно некачественное.

2. Участники жеребьевки тянут из ящика жетоны с номерами от 1 до 100. Найти вероятность того, что номер наудачу извлеченного жетона не содержит цифры 5.

3. При стрельбе по мишени вероятность сделать отличный выстрел равна 0,3, а вероятность выстрела на оценку “хорошо” 0,4. Какова вероятность получить за сделанный выстрел оценку не ниже “хорошо”?

4. Бросается один раз игральная кость. Определить вероятность выпадения 3 или 5.

5. В урне 3 белых и 3 черных шара. Из урны дважды вынимают по одному шару, не возвращая их обратно. Найти вероятность появления белого шара при втором испытании, если при первом испытании был извлечен черный шар.

6. Наудачу выбирается число n£ 30. Найти вероятность того, что n является

а) делителем числа 30;

б) делителем числа 60.

7. Набирая номер телефона, абонент забыл последние две цифры и поэтому набрал их наудачу.

а) Найти вероятность того, что он набрал нужные две цифры;

б) Найти вероятность того, что он набрал нужные две цифры, если он все же помнил, что вторая цифра больше первой.

8. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что

а) на обеих костях выпадет 6 очков;

б) на обеих костях выпадет одинаковое число очков;

в) на обеих костях выпадет четное число очков.

9. Наудачу взято трехзначное число. Найти вероятность того, что все его цифры

а) различны;

б) нечетны;

в) одинаковы.

10. Из десяти лотерейных билетов выигрышными являются два. Найти вероятность того, что среди четырех наудачу взятых билетов

а) один выигрышный;

б) два выигрышных;

в) хотя бы один выигрышный.

11. При стрельбе по мишени вероятность сделать отличный выстрел равна 0,3, а вероятность выстрела на оценку “хорошо” 0,4. Какова вероятность получить за сделанный выстрел оценку не ниже “хорошо”?

12. Бросается один раз игральная кость. Определить вероятность выпадения 3 или 5.

13. В урне 3 белых и 3 черных шара. Из урны дважды вынимают по одному шару, не возвращая их обратно. Найти вероятность появления белого шара при втором испытании, если при первом испытании был извлечен черный шар.

14. В колоде 36 карт. Наудачу вынимают из колоды 2 карты. Определить вероятность того, что вторым вынут туз, если первым тоже вынут туз.

15. Какова вероятность, что из колоды в 36 карт будут вынуты подряд два туза?

16. В семье двое детей. Принимая события, состоящие в рождении мальчика и девочки равновероятными, найти вероятность, что в семье:

· все девочки;

· дети одного пола.

17. В ящике лежат 5 деталей, одна из которых нестандартная. Наудачу извлекают две детали. Найти вероятность того, что обе они стандартные.

18. Два стрелка сделали по одному выстрелу в мишень. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка равна 0,8, а для второго – 0,6. Найти вероятность того, что

а) только один из стрелков попал в мишень;

б) хотя бы один из стрелков попал в мишень.

19. Из урны, в которой имеется 6 белых и 4 черных шара, извлекают один за другим три шара. Найти вероятность того, что

а) все три шара будут белыми;

б) все три шара будут одного цвета;

в) цвета шаров будут чередоваться;

г) хотя бы один шар не будет черным;

д) среди шаров будут как белые, так и черные;

е) только один шар будет черным.

20. Студент, разыскивая книгу, решил обойти три библиотеки. Для каждой библиотеки одинаково вероятно, есть в ее фонде эта книга или нет, а если есть, то одинаково вероятно, выдана она или нет. Что вероятнее, достанет студент книгу или нет?

21. В ящике находится 20 деталей, изготовленных на первом станке, 12 деталей – на втором и 18 деталей – на третьем. Вероятность детали быть стандартной для первого станка равна 0,6, для второго – 0,9, для третьего – 0,75. Найти вероятность того, что извлеченная наудачу деталь окажется стандартной.

22. На экзамен по математике пришли 15 девушек и 10 юношей. Среди юношей 60% могут сдать экзамен с первого раза, среди девушек – 80%. Найти вероятность того, что наугад выбранный студент сдаст экзамен с первого раза.

23. В магазин поступают электролампы с трех заводов. На первом заводе стандартные лампы составляют 90% продукции, на втором 95% продукции, на третьем 85%. 50% всех ламп в магазине представлены первым заводом, 30% вторым, 20% третьим. Какова вероятность купить стандартную лампу в этом магазине.

24. В ящике 10 шаров: 7 черных и 3 белых. Из ящика вынимают сразу 5 шаров. Найти вероятность, что среди них окажется 3 черных и 2 белых шара.

25. Узел содержит 3 независимо работающие детали. Вероятность отказа деталей соответственно 0,1; 0,2; 0,3. Найти вероятность отказа узла, если для этого достаточно, чтобы отказала хотя бы одна деталь.

26. Абонент забыл последнюю цифру в номере телефона и набрал ее наудачу. Какова вероятность, что ему придется звонить не более, чем в три места?

27. Вероятность малому предприятию быть банкротом за некоторое время t равна 0,2. Найти вероятность, что из 6 малых предприятий за это время сохранится:

- два предприятия;

- более двух.

28. В цехе работают 15 человек, их них 4 женщины. Найти вероятность, что во время вечерней смены из 5 человек будет трое мужчин.

Задание для самостоятельной работы.

I. Повторите теоретический материал по теме ²Элементы теории вероятностей.² Попробуйте ответить на контрольные вопросы к занятию № 9.

II. Решите задачи:

1.В урне 2 белых и 3 черных шара. Из урны вынимают подряд два шара. Найти вероятность, что оба шара белые.

2. Из колоды в 36 карт вынимают сразу три карты. Найти вероятность того, что среди них одна дама, одна семерка, один туз.

3. Из 30 студентов 10 имеют спортивные разряды. Какова вероятность, что выбранные наудачу 3 студента окажутся разрядниками.

4. Перевозится партия из десяти деталей. Вероятность повреждения в пути одной детали 0,1. Какова вероятность, что во время перевозки будут повреждены не более двух деталей.

5. Вероятность того, что студент сдаст первый экзамен 0,9; второй – 0,9; третий – 0,8. Найти вероятность, что студентом будут сданы:

- только второй экзамен;

- только один экзамен;

- все три экзамена;

- хотя бы один экзамен.

Занятие 9.