Элементы математической логики

Элементы теории множеств.

Контрольные вопросы.

1. Приведите примеры конечных и бесконечных множеств.

2. Перечислите способы задания множеств.

3. Назовите несколько подмножеств

а) множества натуральных чисел; б) множества геометрических фигур.

4. Какие множества называются равными? Какие из следующих множеств геометрических фигур на плоскости равны между собой:

A – множество всех квадратов;

B - множество всех прямоугольников;

C - множество всех четырехугольников с прямыми углами;

D - множество всех прямоугольников с равными сторонами;

F - множество всех ромбов с прямыми углами?

5. Перечислите основные операции над множествами. Для каждой операции сформулируйте определение и приведите простые примеры.

Упражнения.

1. Запишите множество A, элементами которого являются натуральные делители числа 24, используя перечисление элементов множеств.

2. Даны множества: A={а, и, о, у, э, ы}, B={111, 222, 333, 444, 555, 666, 777, 888, 999}, C={0, 2, 4, 6, 8}. Задайте каждое из них описанием характеристического свойства.

3. Даны числа: 19; ; 0; -27; 5,4 . Какие из них принадлежат множеству: а) целых чисел; б) целых неотрицательных чисел; в) рациональных чисел; г) действительных чисел?

4. Изобразите на координатной прямой множество Х, если

a) Х = {x½xÎR, -2 £ x £ 7};

b) Х = {x½xÎZ, -1 < x < 3};

c) Х = {x½xÎN, -2 < x £ 3}.

5. Изобразите на координатной прямой множество решений неравенства: .

6. Найдите множество решений уравнения, используя формулу для расстояния между двумя точками координатной прямой: а) ; б) .

7. Дано множество A={72, 56, 513, 117, 324}. Составьте подмножества данного множества, состоящие из чисел, которые:

а) делятся на 4;

б) делятся на 9;

в) делятся на 5;

г) не делятся на 10.

8. Изобразите при помощи кругов Эйлера множества P и Q_i, если P – множество равнобедренных треугольников,

а) Q₁ – множество остроугольных треугольников;

б) Q₂ – множество прямоугольных треугольников;

в) Q₃ – множество равносторонних треугольников.

Изобразите все четыре множества на одном чертеже.

9. Пусть A- множество натуральных чисел, запись которых оканчивается 0, B - множество натуральных чисел, кратных 10. Докажите, что множества A и B равны.

10. Известно, что N множество натуральных чисел, Z – множество целых чисел. Докажите, что высказывание Z Ì N - ложно.

11. Изобразите при помощи кругов Эйлера множества A, B и C, если:

а) А - множество четных целых чисел,

B - множество целых чисел, кратных 4;

b) А - множество четных целых чисел,

В - множество целых чисел, кратных 2;

с) А - множество нечетных целых чисел,

В - множество целых чисел, кратных 3,

С - множество чисел, кратных 5.

12. Отношения между множествами всех выпуклых четырехугольников, параллелограммов, прямоугольников, ромбов и квадратов изображены на рисунке. Покажите каждое из множеств.

А D

F

Рис. 1

13. Установите, в каком отношении находятся множества А и В, если А = {a, b, c, d}, а множество В:

а) {k, l, m}; b) {b, c, o, f, k}; с) {b, d}.

Задания для самостоятельной работы.

I. Повторите теоретический материал по теме ²Множества. Операции над множествами². Попытайтесь ответить на контрольные вопросы к занятию 2.

II. Решите задачи:

1. Для каждого из слов “сосна“, “осколок“, “насос“, “колосс“, “сокол“ составьте множество его различных букв. Имеются ли среди полученных множеств равные?

2. Найдите все подмножества множества М = . Сколько подмножеств получилось?

3. В каких отношениях находятся множества решений неравенств:

а) ; б) ?

4. А – множество двузначных чисел, В – множество четных натуральных чисел, С – множество чисел, кратных числу 4. В каком из случаев изображены данные множества? Приведите примеры множеств для двух других случаев.

а) б) в)

5. Задайте множество D, элементами которого являются натуральные числа, меньшие семи.

Занятие 2.

Контрольные вопросы.

1. Дайте определения: а) пересечения множеств; б) объединения множеств; в) разности двух множеств; г) дополнения множества А до множества В; д) декартова произведения множеств. Как называются соответствующие операции над множествами?

2. Как с помощью кругов Эйлера изобразить а) пересечение множеств; б) объединение множеств; в) разность двух множеств; г) дополнение множества А до множества В?

3. Назовите основные свойства операций пересечения и объединения множеств.

4. Каков порядок действий в формулах, содержащих несколько теоретико-множественных операций, если формулы

а) не содержат скобок; б) содержат скобки?

6. Как изображается на координатной плоскости декартово произведение двух числовых множеств? Приведите примеры.

Упражнения.

1. Множество A - множество натуральных чисел, кратных 3, множество B -множество натуральных чисел кратных 7. Задайте множества выясните, какие из чисел 42, 15, 70, 26, 0 им принадлежат?

2. Множество A - множество натуральных чисел, кратных 3, множество B -множество натуральных чисел кратных 7. Задайте описанием характеристического свойства разность множеств A и B и назовите несколько чисел, принадлежащих этому множеству.

3. Найдите пересечение и объединение множества C={14, 15, 16, 17, 18, 19, 20} и множества D, если

а) D={12, 14, 18, 20, 22, 24};

б) D={14, 16, 18, 20};

в) D={3, 4, 5, 6};

г) D=C.

4. Найдите пересечение и объединение множеств:

а) и ;

б) и ;

в) и .

5. Даны множества: A - тупоугольных треугольников, B - прямоугольных треугольников, C - треугольников с углом в 50 градусов. Постройте для данных множеств круги Эйлера и выделите штриховкой множество . Задайте это множество описанием характеристического свойства.

6. Найдите разность множества A={a, b, c, d, e} и множества B, если

а) B={c, d, e, f, k, l};

б) B={a, e, c};

в) B={c, a, d};

г) B={k, l, m};

д) B - пустое множество.

7. Множество A состоит из натуральных чисел от 2 до 10, множество B из натуральных чисел от 5 до 20. Перечислите элементы множеств: А\B, B\A.

8. Найдите дополнение множества четных натуральных чисел до множества натуральных чисел; множества целых чисел до множества рациональных.

9. Множество А - множество двузначных чисел, множество В - множество натуральных чисел, кратных 3, множество С - множество натуральных чисел, кратных 7. Постройте для данных множеств круги Эйлера и выделите штриховкой множества а) АÇ(В\C); b) AÈ(B\C).

10. Множество Е - множество четных чисел, множество F - множество натуральных чисел, кратных 4, множество G - множество натуральных чисел, кратных 7. Постройте для данных множеств круги Эйлера и выделите штриховкой множества а) (Е \ F) Ç G; b) (Е \ F) È G.

11. Изобразите на координатной плоскости элементы декартова произведения множеств: A={1, 2, 3, 4} и B={4,5}.

12. На координатной плоскости постройте фигуру, все точки которой являются элементами декартова произведения множеств A=R и B=[2;5].

Задание для самостоятельной работы.

I. Повторите теоретический материал по темам ²Множества. Операции над множествами², ²Соответствия и отношения². Попытайтесь ответить на контрольные вопросы к занятию 3.

II. Решите задачи:

1. Даны множества А = {8; 5; 3; 2; 0} и В = {5; 1; 4; 2 }. Запишите множества АÈВ, АÇВ, А\В, В\А.

2. Множество А - множество натуральных чисел, кратных 3, множество В - множество натуральных чисел, кратных 5, множество С - множество натуральных чисел, кратных 7. Постройте для данных множеств круги Эйлера и выделите штриховкой множества а) АÇ(ВÈС); b) АÈ(ВÇС).

3. Перечислите элементы, принадлежащие множеству , если:

а) X={a, b, c}, Y={k,l};

б) X={a, b, c}, Y-пустое множество.

4. Используя цифры 2, 7, 5, 4 запишите все возможные трехзначные числа (цифры в записи числа не повторяются). Сколько кортежей длины 3 получили?

5. На координатной плоскости изобразите декартовы произведения множеств:

а) М = {2; 4; 7; 8} и N = {-1; 0; 4; 5; 6};

b) M = [2;5] и N = {1; 3; 4};

c) M = [3;7] и N = [2; 5].

Занятие 3.

Соответствия и отношения.

Контрольные вопросы.

1. Дайте определение соответствия между множествами X и Y. Приведите примеры соответствий.

2. Назовите способы задания соответствий.

3. Что такое граф соответствия; график соответствия?

4. Дайте определение обратного соответствия.

5. Какое соответствие называется взаимно однозначным?

6. Какие множества называются равномощными? Приведите примеры равномощных множеств.

7. Дайте определение бинарного отношения на множестве Х. Приведите примеры отношений.

8. В чем состоит свойство

а) рефлексивности;

б) симметричности;

в) антисимметричности;

г) транзитивности;

д) связанности

отношения? Какова особенность графа отношения в каждом из случаев?

9. Дайте определения отношений эквивалентности и порядка. Приведите примеры таких отношений.

Решите задачи.

1. R - соответствие “x больше y” между множествами X={2, 4, 6, 7}, Y={3,5}. Постройте граф данного соответствия и соответствия, обратного данному.

2. Соответствие ²число х в два раза больше числа y² рассматривается между множествами X и Y. Каким будет график, если

а) Х = {2, 4, 6, 8}, Y = N; б) X = [2, 8], Y = R;

в) X = Y = R.

3. Постройте граф и график отношения “больше или равно”, заданного на множестве {0, 1, 2, 3, 4}.

4. Отношение P: “число x кратно y” задано между элементами множеств X={135, 0, 264, 122}, Y={3, 4, 5, 9}. Постройте граф отношения P. Перечислите свойства данного отношения.

5. Дано множество X={2, 3, 4, 5}. Перечислите все элементы декартова произведения X X и выпишите все подмножества этого декартова произведения, которые задают отношения: а) “меньше”, б) “больше”, в) “равно”.

6. Какими свойствами обладает отношение, граф которого изображен на рисунке?

7. На множестве X = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} задано отношение ²иметь один и тот же остаток при делении на 4”. Является ли оно отношением эквивалентности?

Задачи на повторение

8. Даны множества: К – множество двузначных чисел, М - множество натуральных чисел, кратных 4, Н – множество натуральных чисел, кратных 8. Постройте для данных множеств круги Эйлера и выделите штриховкой множества а) К \ (М È Н), б) К È (М \ Н).

9. Множество А – множество натуральных чисел, кратных 3, В – множество натуральных чисел, кратных 9, С – множество натуральных чисел, кратных 27. Постройте для данных множеств круги Эйлера и выделите штриховкой множества а) А \ В È C, б) В Ç C È A.

Задание для самостоятельной работы.

I. Повторите теоретический материал по теме ²Понятия. Высказывания и высказывательные формы. Конъюнкция и дизъюнкция². Попытайтесь ответить на контрольные вопросы к занятию 4.

II. Решите задачи:

1. Постройте график соответствия Q и укажите его область определения и множество значений, если соответствие задано при помощи таблицы:

X	-4	-3	-3	-3	-2	-2	-2	-1
Y	2	1	2	3	1	2	3	2

2. Постройте график отношения “больше в два раза”, заданного на множестве X, если

а) X={-4, -2, -1, 0, 2, 4};

б) X=[-4; 4].

3. На множестве Х = {0, 3, 6, 9, 12, 15, 18} задано отношение R. Перечислите пары чисел, связанных этим отношением, и постройте его граф, если:

а) R - ²x больше y в 3 раза²;

б) R - ²x больше y на 3².

4. Какими свойствами обладают следующие отношения, заданные на множестве натуральных чисел:

а) ²меньше²;

б) ²меньше на 2²;

в) ²меньше в 2 раза²?

5. Отношение Т - ²иметь одно и то же число делителей” задано на множестве X = {1,2,4,6,7,8,10,11}. Является ли Т отношением эквивалентности? Отношением порядка?

Занятия 4.

Элементы математической логики.

Контрольные вопросы.

1. Что такое понятие, объем понятия, содержание понятия? В чем особенность математических понятий?

2. В чем состоит отношение рода и вида для понятий? Приведите примеры понятий, находящихся в отношении рода и вида

а) из области математики;

б) из области языковых дисциплин;

в) из других дисциплин.

3. Приведите структуру явного определения понятия; примеры явных определений.

4. Дайте определение высказывания. Приведите примеры истинных и ложных высказываний и примеры предложений, не являющихся высказываниями.

5. Что называется одноместной высказывательной формой? n-местной высказывательной формой? Приведите примеры высказывательных форм. Дайте определение множества истинности высказывательной формы.

6. Как определяется конъюнкция высказываний? Составьте таблицу истинности конъюнкции.

7. Что такое конъюнкция высказывательных форм? Как найти множество истинности конъюнкции двух высказывательных форм А(х) и В(х)?

8. Дайте определение дизъюнкции высказываний. Составьте таблицу истинности дизъюнкции.

9. Сформулируйте определение дизъюнкции высказывательных форм. Как определить множество истинности дизъюнкции двух высказывательных форм А(х) и В(х)?

10. Как определяется отрицание высказываний и высказывательных форм? Приведите примеры отрицаний.

Упражнения.

1. Находятся ли в отношении рода и вида следующие пары понятий:

а) многоугольник и треугольник;

б) угол и острый угол;

в) луч и прямая;

г) ромб и квадрат;

д) круг и окружность?

2. Изобразите при помощи кругов Эйлера отношение между объемами понятий a, b и c, если:

а) а - ²четырехугольник²;

b - ²трапеция²;

с - ²прямоугольник²;

б) а - ²натуральное число, кратное 3²;

b - ² натуральное число, кратное 4²;

с - ²натуральное число².

3. В следующих определениях выделите определяемое и определяющее понятия; родовое понятие (по отношению к определяемому) и видовое отличие:

а) параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны;

б) отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, называется его средней линией.

4. Какие из следующих предложений являются высказываниями, а какие высказывательными формами:

а) 3x+2=4;

б) существует х такое, что ;

в) ( ) x+y=y+x;

г) y=5 является решением уравнения y-4=1.

5. Среди приведенных ниже предложений найдите высказывания и установите их значения истинности:

а) (15+3)*(6-4) = 36;

б) ;

в) число 4,7ÎN;

г) в любом прямоугольнике противоположные стороны равны;

д) (14+х) = 34;

е) число z – трехзначное;

ж) четное число – это число, которое делится на 2.

6. Какие предложения из задания № 1 являются высказывательными формами? Подставьте в них вместо переменной значение так, чтобы получилось а) истинное; б) ложное высказывание. Найдите множество истинности для каждой высказывательной формы.

7. Можно ли считать высказывательными формами записи:

а) х² – 2х ; б) 4х + 2y ;

в) число 3 является корнем уравнения х² – 9 = 0 ?

8. Обозначьте элементы высказываний буквами и запишите следующие высказывания с помощью символов логики:

-в параллелограмме ABCD угол A прямой и диагонали взаимно перпендикулярны;

-число 12 двузначное и кратно 2 или трем.

9. Найдите значения истинности следующих высказываний и дайте соответствующие пояснения: а) 15 кратно 3 и 12 кратно3; б) или ; в) 5 ³ 3; г) х = 2 является корнем уравнения х² = 9 или решением неравенства 2х – 1 < 3; д) –2 < 3 < 1/

10. Даны высказывания:

A: “Сегодня ясно”;

B: “Сегодня идет дождь”;

C: “Сегодня идет снег”;

D: “Я пойду в гости”.

Сформулируйте следующие высказывания:

1) AÙ ; 2) ; 3) .

11. Являются ли следующие высказывания отрицанием друг друга:

а)Число 253- простое. Число 253- составное.

б) Угол - тупой. Угол острый.

12.Сформулируйте, используя законы де Моргана, отрицания следующих утверждений:

а) Четырехугольник ABCD – прямоугольник или параллелограмм.

б) Число 14 – четное и делится на 3.

13. Найдите множества истинности высказывательных форм P(x): “x² – 4 = 0” и Q(x): “3x – 2 < 17”, если их область определения есть: 1) R; 2) N.

14. На множестве М = {1, 2, …, 20} заданы высказывательные формы: А(x): “x не делится на 5”, В(х): “х - четное”, С(х): “х - простое”, D(x): “х делится на 3”. Найти множества истинности следующих высказывательных форм:

а)

б)

в)

г)

д)

15. Выясните, какие из высказывательных форм являются тождественно истинными:

а) х² + у² ³ 0;

б) х² + 1 ³ (х + 1)²;

в) sin²x + cos²x = 1;

г) (х + 1)² > х – 1.

Задание для самостоятельной работы.

I. Повторите теоретический материал по теме ²Понятия. Высказывания и высказывательные формы. Конъюнкция и дизъюнкция. Отрицание высказываний. Высказывания с кванторами. Импликация и эквиваленция.² Попробуйте ответить на контрольные вопросы к занятию № 5.

II. Решите задачи:

1. Дайте определения: тупоугольного треугольника, равнобедренного треугольника, трапеции. Какие понятия вы выбрали в качестве родового в каждом случае? Какие свойства включили в видовое отличие?

2. Среди следующих предложений укажите высказывания и высказывательные формы и поясните ответ:

а) 4 - натуральное число;

б) разность чисел 16 и 11 равна 7;

в) 2³² > 3¹²;

г) х = 7 является решением неравенства 2х –8 < 9;

д) разность чисел х и 4 равна 17;

е) прямые перпендикулярны;

ж) график функции y = x² симметричен относительно оси ординат.

3. Найдите множество истинности высказывательной формы 2х – 10 < 0, заданной на множестве Х, если

а) X = R; б) Х = N; в) X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

4. Среди следующих предложений укажите составные; выделите в них элементарные предложения и логические связки: а) или ; б) противоположные стороны параллелограмма равны и параллельны; в) число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма цифр в его десятичной записи делится на 3; г) число 11 простое и не делится на 3; д) если число делится на 6, то оно делится на 2.

5. По окончании учебного года Лена сказала подругам, что осенью она начнет заниматься в хореографическом кружке и поступит на курсы французского или испанского языков. В сентябре, когда подруги встретились, оказалось, что Лена не занимается в хореографическом кружке, но зато изучает оба языка. Выполнила ли Лена свое обещание? Если вы считаете, что нет, то перечислите все возможные случаи, в которых высказывание Лены было бы истинным.

6. На множестве М = {1, 2, …, 20} заданы высказывательные формы: А(x): “x не делится на 5”, В(х): “х - четное”, С(х): “х - простое”, D(x): “х делится на 3”. Найдите множества истинности следующих высказывательных форм:

а)

б)

в)

г)

д)

7. На множестве треугольников плоскости заданы высказывательные формы А(х): ²треугольник х прямоугольный² и В(х): ²треугольник х равнобедренный².

Образуйте конъюнкцию и дизъюнкцию этих форм и начертите по 2 фигуры, принадлежащие множеству истинности а) конъюнкции; б) дизъюнкции.

Занятие 5.