Геометрическая вероятность

Министерство образования и науки

Российской Федерации

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ»

Волгодонский инженерно-технический институт – филиал НИЯУ МИФИ

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Индивидуальные домашние задания

Для студентов 2 курса всех направлений

Волгодонск 2013

УДК 811.111-36 (076.5)

Ф 947

Рецензент д.т.н., проф. Сысоев Ю.С.

Составители Шпонарская С.Н., Алексеева М.А.,

Батаков А.И., Гладун К.К., Столяр Л.Н.

Теория вероятностей./С.Н. Шпонарская, М.А. Алексеева, А.И. Батаков, К.К. Гладун, Л.Н. Столяр. – ВИТИ НИЯУ МИФИ. – Волгодонск, 2013. – 46с.

Предназначено для студентов 2-го курса всех направлений.

© ВИТИ НИЯУ МИФИ, 2013

Предисловие.

В целях лучшего усвоения курса математики и интенсификации самостоятельной работы студентов в соответствии с учебными планами на всех направлениях Волгодонского инженерно-технического института (филиала) НИЯУ МИФИ предусмотрено выполнение индивидуальных домашних заданий (ИДЗ).

В настоящей методической разработке представлены индивидуальные задания для студентов 2 курса по разделу «Теория вероятностей».

Номер варианта индивидуален для каждого студента и определяется преподавателем, ведущим практические занятия. Работа выполняется студентом на отдельных листах.

Решение задач студенты представляют в письменной форме с подробным изложением и указанием, используемых при этом, основных теоретических положений. На преподавателя, ведущего практические занятия, возлагается обязанность по систематическому контролю самостоятельной работы студентов, по организации ритмичности в выполнении ими ИДЗ, что снимет дополнительные перегрузки их в конце семестра.

В определённые преподавателем сроки частично или полностью выполненные ИДЗ сдаются на проверку.

Студенты, сдавшие в срок отчёт по ИДЗ, допускаются к сдаче экзамена или зачёта.

КЛАССИЧЕСКАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ

1) Из 15 работников предприятия 10 имеют высшее образование. Найти вероятность, что из случайно отобранных трех человек высшее образование имеют: а) три человека; б) хотя бы один человек.

2) В коробке из 20 изделий 15 – повышенного качества. Наугад извлекается 3 изделия. Найти вероятность, что а) только одно изделие повышенного качества; б) хотя бы 2 изделия повышенного качества.

3) В организации работают 12 мужчин и 8 женщин. Для них выделено 3 премии. Найти вероятность, что премию получит: а) две женщины; б) хотя бы 2 мужчин.

4) В ящике содержится 8 годных и 4 дефектных деталей. Найти вероятность того, что среди 3 наудачу отобранных деталей окажется: а) не более 2 годных; б) только 2 дефектные.

5) Из группы, состоящей из 12 мужчин и 10 женщин, случайным образом выбирают 4 человека. Найти вероятность того, что среди них: а) мужчин и женщин будет одинаково; б) женщин будет больше, чем мужчин.

6) Из 25 студентов группы 18 юношей, а остальные – девушки. На конференцию выбирают наугад 3 человек. Найти вероятность того, что: а) все 3 будут девушки; б) будет хотя бы 2 юноши.

7) В партии из 30 деталей 14 деталей – 1-го сорта, 9 деталей – 2-го сорта, остальные – 3-го сорта. Наудачу взяли 3 детали. Найти вероятность того, что: а) все выбранные детали будут одного сорта; б) 2 из выбранных деталей будут одного сорта.

8) В группе 20 студентов. Из них контрольную работу 3 человека написали на 5, 5 человек – на 4, 7 человек – на 3, а остальные получили два. Найти вероятность того, что из наудачу выбранных 3 студентов: а) 2 получили двойки; б) не более 1 получили двойки.

9) Из 15 строительных рабочих 10 – штукатуры, а 5 – маляры. Наугад собирается бригада из 5 рабочих. Найти вероятность, что среди них будет: а) только 3 маляра; б) не более 2 штукатуров.

10) К концу дня в магазине осталось 60 арбузов, из которых 50 спелые. Покупатель выбирает 3 арбуза. Найти вероятность, что: а) все арбузы спелые; б) хотя бы один арбуз спелый.

11) На стеллаже 15 учебников, 8 из них в переплете. Наугад выбирают 4 учебника. Найти вероятность, что в переплете будет: а) 3 учебника; б) хотя бы 2 учебника.

12) В клетке 7 белых и 8 коричневых кроликов. Наудачу выбирают 5 кроликов. Найти вероятность того, что: а) среди них 2 кролика белого цвета; б) все 5 кроликов одного цвета.

13) В гостинице имеется 4 отдельных номеров. На них претендуют 8 человек, из которых 5 мужчин и 3 женщины. Гостиница следует принципу: «Пришедший раньше — обслуживается раньше». Найти вероятность того, что: а) все 3 женщины получат номера; б) по крайней мере, 2 женщины получат номера.

14) В лотерее на 20 билетов разыгрывается 5 выигрышей. Ученик выбирает из урны наугад 3 билета. Найти вероятность, что среди них оказалось: а) ровно 2 выигрышных билета; б) по крайней мере, 2 выигрышных билета.

15) Ящик содержит 16 годных и 4 дефектных деталей. Найти вероятность того, что среди 3 наугад взятых из ящика деталей: а) нет дефектных; б) по крайней мере, 1 деталь без дефекта.

16) В ящике имеется 8 белых, 4 черных и 5 красных шаров. Наудачу взяли 3 шара. Найти вероятность того, что а) они будут одного цвета; б) двое из них будут одного цвета.

17) В магазине имеется в продаже 20 пар обуви, из которых 6 пар 42-го размера. Найти вероятность, что из 8 покупателей выберут обувь 42-го размера: а) только 3 покупателя; б) не более 3 покупателей.

18) В группе из 25 человек 10 учатся на «отлично», 8 – на «хорошо» и 7 – на «удовлетворительно». Найти вероятность, что из выбранных наугад 8 человек учатся на «отлично»: а) 3 человека; б) хотя бы один человек.

19) В урне имеется 7 черных и 5 красных шаров. Наугад извлекается три шара. Найти вероятность, что все три шара будут: а) красные; б) одного цвета.

20) В группе из 15 человек 6 человек занимаются спортом. Найти вероятность, что из случайно отобранных 7 человек занимаются спортом: а) 5 человек; б) хотя бы один человек.

21) Из 15 билетов выигрышными являются 5. Найти вероятность того, что среди взятых наудачу 4 билетов: а) 2 выигрышных; б) хотя бы один невыигрышный.

22) В урне 8 красных и 7 синих шаров. Наугад выбирают 3 шара. Найти вероятность, что среди выбранных шаров будет: а) красных меньше 2; б) только 1 белый.

23) В цехе работают 8 мужчин и 4 женщины. По табельным номерам наудачу отобраны 5 человек. Найти вероятность того, что среди отобранных окажется: а) 3 женщины; б) не более 2 женщин.

24) Имеется 5 синих, 6 красных и 4 зеленых шаров. Наугад берут 3 шара. Найти вероятность того, что: а) двое из выбранных шаров имеют одинаковый цвет; б) все 3 шара одного цвета.

25) Библиотечка состоит из 12 различных книг, причем 5 книг – по алгебре, 3 – по геометрии и 4 – по теории вероятностей. Наудачу выбрали 3 книги. Найти вероятность того, что: а) они все по алгебре; б) среди выбранных книг хотя бы одна по алгебре.

26) В клетке содержится 16 кур. Из них 6 не вакцинированы. Всех кур делят на две равные партии. Найти вероятность, что невакцинированные куры: а) разделятся поровну; б) попадут в одну партию.

27) Собрание, на котором присутствует 20 человек, в том числе 5 мужчин, выбирает делегацию из трех человек. Найти вероятность, что в делегацию войдут: а) только 2 женщины; б) все мужчины.

28) Среди 20 студентов группы, в которой 10 девушек, разыгрываются 5 билетов в театр. Найти вероятность, что среди обладателей билетов окажутся: а) три девушки; б) хотя бы один юноша.

29) Среди изготовленных 20 изделий имеется 5 нестандартных. Наугад выбирают 4 детали. Найти вероятность, что среди отобранных нестандартных будет: а) только две; б) не более двух.

30) Экзамен по математике содержит 20 вопросов по алгебре и 15 по геометрии. Студент успел подготовить только 15 вопросов по алгебре и 10 по геометрии. Билет содержит 2 вопроса по алгебре и 1 геометрии. Найти вероятность, что студент отвечает: а) на все три вопроса; б) на любые два вопроса.

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ

1) На отрезке OA длины L числовой оси Ox наудачу поставлены 2 точки B и C. Найти вероятность того, что длина отрезка BC меньше расстояния от точки O до ближайшей к ней точке.

2) В области, ограниченной эллипсом , разбросаны 2 квадрата со сторонами 2 и 3. Квадраты не пересекаются друг с другом и с эллипсом. Найти вероятность того, что точка, брошенная наудачу в эллипс, не попадет ни в один из квадратов.

3) Наудачу взяты 2 положительных числа x и y, каждое из которых не превышает 2. Найти вероятность того, что разность не превосходит 1, а произведение не превосходит 2.

4) На отрезке OA длины L числовой оси Ox наудачу поставлены 2 точки B и C. Найти вероятность того, что длина отрезка BC меньше .

5) В правильный треугольник со стороной 4 вписан круг. Найти вероятность того, что точка, брошенная наугад в треугольник, попадет и в круг.

6) Наудачу взято положительное число x, которое не превышает 4, и положительное число x, которое не превышает 2. Найти вероятность того, что их сумма не меньше 2, а их произведение не больше 2.

7) На отрезке OA длины L числовой оси Ox наудачу поставлены 2 точки B и C. Найти вероятность того, что длина отрезка BC не меньше , но не больше .

8) В области, ограниченной квадратом со стороной 4, разбросаны два кружочка с диаметром 1. Кружочки не пересекаются друг с другом и с квадратом. Найти вероятность того, что точка, брошенная наудачу в квадрат, не попадет ни в один из кружочков.

9) Наудачу взято положительное число x, которое не превышает 3, и положительное число y, которое не превышает 1. Найти вероятность того, что частное не меньше 2, а сумма не больше 3.

10) На отрезке АВ длины L наудачу взяты 2 точки M и N. Найти вероятность того, что точка M будет ближе к точке N, чем к точке А.

11) Внутри круга расположен эллипс . Найти вероятность попадания точки в область, ограниченную эллипсом и кругом.

12) Наудачу взяты 2 положительных числа x и y, каждое из которых не превышает 1. Найти вероятность того, что их сумма не больше 1, а произведение не меньше 0,09.

13) На отрезке OA длины L числовой оси Ox наудачу поставлены 2 точки B и C. Найти вероятность того, что длина отрезка BC меньше .

14)Наудачу взяты 2 положительных числа x и y, каждое из которых не превышает 1. Найти вероятность того, что их сумма не меньше 1, а произведение не больше 2/9.

15) Внутри эллипса расположен круг . Найти вероятность попадания точки в область, ограниченную эллипсом и кругом.

16) На отрезке OA длины L числовой оси Ox наудачу поставлены 2 точки B и C. Найти вероятность того, что длина отрезка BC меньше расстояния от точки A до ближайшей к ней точки.

17) Наудачу взяты 2 положительных числа x и y, каждое из которых не превосходит 4. Найти вероятность того, что их сумма не меньше 2, а разность не меньше 1.

18) В области, ограниченной эллипсом , разбросаны 3 кружочка радиуса 0,1. Кружочки не пересекаются друг с другом и с эллипсом. Найти вероятность того, что точка, брошенная наудачу в эллипс, не попадет ни в один из кружков.

19) На отрезок OA длины 20 см числовой оси Ox наудачу поставлена точка. Найти вероятность того, что расстояние от точки до одного из концов отрезка не превосходит величину 1/5.

20) В круг радиуса 3 вписан квадрат. Найти вероятность того, что точка, брошенная наугад в круг, окажется вне квадрата.

21) Наудачу взяты 2 положительных числа x и y, каждое из которых не превышает 2. Найти вероятность того, что произведение не превышает 1, а частное не меньше 1/4.

22) На отрезке OA длины L числовой оси Ox наудачу поставлены 2 точки B и C. Найти вероятность того, что длина отрезка BC больше расстояния от точки O до ближайшей к ней точке.

23) Внутри эллипса расположен круг . Найти вероятность того, что точка, поставленная наугад в эллипс, попадет и в круг.

24) Наудачу взяты 2 положительных числа x и y, каждое из которых не превышает 2. Найти вероятность того, что разность не превышает 1, а частное не меньше 2.

25) На отрезок OA длины 10 см числовой оси Ox наудачу поставлена точка. Найти вероятность того, что расстояние от точки до концов отрезка превосходит величину 1/7.

26) Внутри круга расположен эллипс . Найти вероятность того, что точка, поставленная наугад в круг, попадет и в эллипс.

27) В круг радиуса 12 см наудачу поставлена точка. Найти вероятность того, что она попадет в одну из двух непересекающихся фигур, площади которых равны 2,4 см² и 5,6 см².

28) На отрезок OA длины L числовой оси Ox бросают наугад и независимо друг от друга 2 точки B и C. Найти вероятность того, что расстояние между ними не меньше .

29) В квадрат со стороной 4 вписан круг. Найти вероятность того, что точка, брошенная наугад в квадрат, окажется вне круга.

30) В круг радиуса 16 см наудачу поставлена точка. Найти вероятность того, что она не попадет ни в одну из двух непересекающихся фигур, площади которых равны 2,7 см² и 8,2 см².