Элементы математической статистики
ФК, ЭТК-10
ТРЕНИРОВОЧНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ К ЭКЗАМЕНУ
Комбинаторика
1. Первого сентября на 1 курсе одного из факультетов запланировано по расписанию 3 лекции по разным предметам. Всего на первом курсе изучается 10 предметов. Сколько существует способов составить расписание на 1 сентября?
2. На тренировках занимаются 12 баскетболистов. Сколько может быть образовано разных стартовых пятерок?
3. В группе студентов 25 человек. Необходимо избрать старосту, его заместителя и профорга. Сколькими способами это можно сделать?
4. Сколько существует трехзначных чисел в десятичной системе счисления?
5. Пусть дано множество А = {1, 2, 3, 4}. Сколько пар натуральных чисел можно составить, если , ? Сколько таких пар, если дано условие ?
6. Сколько словарей надо издать, чтобы можно было непосредственно выполнять переводы с любого из пяти языков (русского, английского, французского, немецкого и испанского) на любой другой из этих пяти языков?
7. Для полета в космос необходимо укомплектовать следующий экипаж: командир корабля, первый его помощник, второй помощник, два бортинженера и врач. Командная тройка может быть отобрана из 25 человек, готовящихся к полету летчиков, два бортинженера – из 20 специалистов, врач – из 8 медиков. Сколькими способами можно укомплектовать экипаж?
8. В колоде 32 карты. Раздаются 3 карты. Сколько может быть случаев появления хотя бы одного туза среди розданных карт? Сколько случаев появления ровно одного туза?
9. В колоде 52 карты. Сколькими способами можно выбрать по одной карте каждой масти? Сколько существует способов выбрать по одной карте каждой масти так, что среди них не будет двух одинаковых (т.е. двух королей, двух шестерок и т.д.)?
10. Из 15 васильков и 10 ромашек нужно составить букет, состоящий из 7 васильков и 6 ромашек. Сколькими способами это можно сделать?
11. У одного человека есть 7 книг по математике, у другого – 9. Сколькими способами они могут обменять книгу одного на книгу другого? Сколько существует способов обмена двух книг одного на две книги другого?
12. Есть 9 монет различного достоинства. Сколькими способами их можно разложить в 2 кармана?
13. Из 4 инженеров и 9 экономистов составляют комиссию, состоящую из 7 человек. Сколькими способами это можно сделать, если в комиссию должны войти хотя бы 2 инженера?
14. Четыре студента сдали экзамен. Известно, что все они получили положительные оценки. Сколько может быть вариантов распределения оценок?
15. Мама купила 2 яблока, 3 груши и 4 апельсина. Она каждый день дает сыну с собой в школу по одному фрукту. Сколькими способами она может выдать сыну фрукты?
16. На шахматную доску ставят две ладьи – белую и черную. Сколько существует способов поставить их так, чтобы ладьи не били друг друга?
17. Сколько различных упорядоченных комбинаций можно образовать из букв слова “живопись”? Сколько таких комбинаций можно образовать из букв слова “гамма”, из букв слова “соединение”?
18. В продажу поступили открытки 10 видов. Сколькими способами можно образовать набор из 8 открыток, чтобы открытки не повторялись? Сколькими способами можно образовать набор из 8 открыток с повторениями?
19. Сколько различных четырехзначных чисел можно образовать из цифр 0, 1, 2?
20. Для несения почётного караула приглашаются 10 служащих из 6 родов войск. Сколькими способами может быть избран состав караула, если в нём не обязательно должны быть представлены все рода войск?
21. На студенческий вечер собрались юноши и девушки 8 факультетов университета (в том числе, математического и филологического). На конкурс приглашаются 10 студентов. Сколькими способами они могут быть выбраны при условии участия в конкурсе хотя бы одного студента-филолога? Сколько существует способов выбрать участников, если обязательно должны участвовать хотя бы один филолог и хотя бы один математик?
22. Десять мужчин размещаются в гостиницу в два трехместных и один четырехместный номера. Сколько существует способов их размещения?
23. Двое ребят собрали 10 ромашек, 15 васильков и 14 колокольчиков. Сколькими способами они могут разделить между собой эти цветы? Сколько существует способов при условии, что каждый получит хотя бы по одному цветку каждого вида?
24. В кондитерской имеется 7 видов пирожных. Покупатель выбил чек на 4 пирожных. Сколько существует способов выбора пирожных? Сколько существует способов купить пирожные разных видов? Сколько существует способов выбрать по 2 пирожных разных видов?
25. 16 футбольных команд по жеребьевке разбиваются на 4 подгруппы по 4 команды. Сколькими способами это можно сделать?
26. На тренировке детской команды по футболу из 11 человек нужно назначить одного вратаря, четырех защитников, трех полузащитников и трех нападающих. Сколькими способами это можно сделать? Допустим, что вратарь уже выбран. Сколько существует способов выбрать защитников, полузащитников и нападающих?
27. Среди кандидатов в студенческий совет факультета 3 первокурсника, 5 второкурсников и 7 третьекурсников. Из этого состава выбирают 5 человек. Сколько существует способов выбрать совет, если в него должен войти хотя бы один представитель каждого курса?
28. Выпускнику школы, поступающему в университет, нужно пройти собеседование по 4 предметам и набрать не менее 17 баллов (двойки при этом получать нельзя). Сколько существует различных наборов отметок, дающих ему право поступления?
29. Сколько чисел, меньших миллиона, можно записать с помощью цифр 8 и 9?
30. На заседании студенческого научного общества присутствуют 52 студента: по 13 студентов от четырех факультетов. Сколькими способами можно избрать правление общества в составе четырёх человек так, чтобы в правление вошли представители хотя бы трех факультетов?
31. На собрании должны выступить 5 человек, в том числе А и Б. Сколькими способами можно установить очерёдность выступлений, если Б не должен выступать до того, как выступит А?
32. Укротителю диких зверей предстоит вывести на арену цирка одного за другим 5 львов и 4 тигров. Сколькими способами он может сгруппировать зверей так, чтобы ни разу два тигра не стояли один за другим?
33. На книжной полке стоят 10 книг. Сколькими способами можно взять с полки три книги при условии, что не будут вынуты книги, все 3 стоящие рядом?
34. Сколькими способами можно разделить 10 одинаковых шоколадок, 5 одинаковых пирожных и 8 булочек между 4 ребятами?
35. На студенческом вечере присутствуют 12 девушек и 15 юношей. Сколькими способами можно выбрать из них 4 пары для танца?
36. Ювелиру заказали один браслет. Сколько разных по составу драгоценных камней браслетов может изготовить ювелир, если у него имеется 5 одинаковых рубинов и 6 одинаковых алмазов. В браслете должен быть хотя бы один драгоценный камень.
37. У мужа 12 сослуживцев: 5 женщин и 7 мужчин. У жены тоже 12 сослуживцев: 7 женщин и 5 мужчин. За семейным столом помещается 14 человек. Сколько разных компаний из 6 женщин и 6 мужчин могут они пригласить при условии участия 6 знакомых мужа и 6 знакомых жены?
38. Найдите сумму всех четырёхзначных чисел, которые можно записать с помощью цифр 1, 2, 3, 4.
39. Сколько различных четырехзначных чисел, делящихся на 4, можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, если каждая цифра может встречаться в записи числа несколько раз?
40. Имеется неограниченное количество монет по 5, 10 и 50 копеек. Сколькими способами можно образовать набор из 20 монет?
41. Сколько существует целых чисел от 0 до 999, которые не делятся ни на 5, ни на 7?
42. Семь яблок, три апельсина и пять груш раскладывают в три пакета для трех детей. Сколькими способами это можно сделать при условии, что каждый ребенок получит хотя бы три разных фрукта?
43. Десять вариантов контрольной работы, написанные на отдельных карточках, распределяются между 8 студентами, сидящими в одном ряду, причем каждый студент получает по одному варианту. Сколькими способами это можно сделать? Сколько существует способов распределить варианты так, чтобы варианты с номерами 1 и 2 достались студентам, сидящим рядом?
44. Каждый из 18 компьютеров вычислительного центра обслуживается одним системным программистом. В штатном составе 3 программиста. Сколькими способами могут они обслуживать компьютеры центра, если каждый обслуживает 6 компьютеров?
45. Фотограф хочет послать своему другу 8 различных фотографий. Сколькими способами он может это сделать, используя 5 различных конвертов (пустые конверты посылать нельзя)?
46. В купе железнодорожного вагона имеется два противоположных дивана по 5 мест на каждом. Из 10 пассажиров четверо желают сидеть лицом к паровозу, а трое – спиной, остальным трем безразлично, как сидеть. Сколькими способами могут разместиться пассажиры?
47. За круглым столом короля Артура сидят 12 рыцарей. Из них каждый враждует со своими соседями по столу (и только с ними). Надо выбрать 5 рыцарей, чтобы освободить заколдованную принцессу. Сколькими способами это можно сделать так, чтобы среди выбранных рыцарей не было врагов?
48. На заводе работают 30 000 человек. Обязательно ли найдутся хотя бы два человека с одинаковыми инициалами (с одинаковыми первыми буквами фамилии, имени и отчества)?
Теория вероятностей
1. Подбрасывается игральная кость. Пусть ei – событие, состоящее в том, что выпало i очков (i = 1, 2, 3, 4, 5, 6). Запишите с помощью ei следующие события: А – “выпало число очков, кратное трем”, В – “выпало больше трех очков”, С – “выпало нечётное число очков”.
2. В условиях задачи 1 выясните смысл следующих событий: , , А×С, А×В+e4, e1+В, e3×А×С, e3×А+С, e2+e4+С.
3. В условиях задачи 1 докажите, что
а) `С×А = e6 , б) А+В+С =`e2, в) АВС = Æ.
4. Образуют ли полную группу событий следующие события:
а) А – “выпадение герба при подбрасывании одной монеты”,
В – “выпадение цифры при подбрасывании одной монеты”;
б) А – “выпадение двух гербов при подбрасывании двух монет”,
В – “выпадение двух цифр при подбрасывании двух монет”?
5. Стрелок произвел два выстрела по цели. Образуют ли полную группу попарно несовместных событий следующие события:
а) А0 – “попаданий нет”,
А1 – “попаданий не менее одного”,
А2 – “ровно два попадания”;
б) А1 – “попаданий не менее одного”,
А2 – “не менее одного промаха”?
6. В условиях задачи 5 придумайте полную группу попарно несовместных событий.
7. Поражение боевого самолета может наступить или в результате поражения двух двигателей (события D1 и D2) или при попадании снаряда в кабину пилота (событие K). Производится обстрел самолета. Опишите множество элементарных исходов задачи. Запишите событие А – “поражение самолета” с помощью:
а) событий D1 , D2 и K; б) элементарных исходов.
8. Пусть А, В, С – некоторые случайные события.
а) докажите, что А×(В ‑ С) = АВ – АС;
б) справедливы ли равенства: = , = ?
9. В урне находятся 4 белых и 7 чёрных шаров. Какова вероятность того, что наудачу вынутый шар окажется белым?
10. В партии из 200 лампочек 10 бракованных. Наудачу берется одна лампочка. Вычислите вероятность того, что эта лампочка исправна.
11. Игральную кость подбрасывают один раз. Найдите вероятности следующих событий: А – “число выпавших очков равно трём”, В – “число очков чётно”, С – “число очков меньше пяти”, D – “число очков не меньше двух”.
12. Из коробки, в которой имеется 4 жёлтых, 4 синих и 6 красных карандашей, наудачу берут один карандаш. Какова вероятность того, что этот карандаш
а) синий; б) синий или красный?
13. Монету подбрасывают три раза. Найдите вероятность того, что все три раза выпадет герб.
14. Игральный кубик бросают два раза. Найдите вероятность того, что
а) оба раза появится одинаковое число очков;
б) сумма выпавших очков делится на три.
15. В студенческой группе 20 девушек и 10 юношей. Выбирают трёх человек для участия в конференции. Найдите вероятность того, что отобраны три девушки.
16. В читальном зале есть 12 учебников по теории вероятностей, среди которых 4 новых. Наудачу берут два учебника. Найдите вероятность того, что оба учебника новые.
17. В урне находятся 5 белых, 1 чёрный и 3 красных шара. Наудачу выбирают 2 шара. Найдите вероятность того, что
а) оба шара белые; б) хотя бы один шар белый;
в) нет белых шаров; г) оба шара чёрные.
18. На десяти карточках написаны цифры от 0 до 9. Наудачу берутся две карточки. Найдите вероятность того, что сумма цифр на выбранных карточках не больше трёх.
19. Семь студентов, среди которых Иванов и Петров, случайным образом занимают очередь в библиотеку. Какова вероятность того, что Иванов в этой очереди будет стоять первым, а Петров – последним.
20. В партии из 20 деталей 4 бракованных. Наудачу выбирают 5 деталей. Какова вероятность того, что среди выбранных
а) ровно две бракованных детали; б) не более двух бракованных?
21. Участники лотереи тянут из ящика жетоны с номерами от 1 до 100. Найдите вероятность того, что номер первого участника
а) содержит цифру 5; б) не содержит цифры 5.
22. В соревнованиях по баскетболу участвуют 18 команд, которые распределяются на две группы по 9 команд в каждой. Пять команд обычно занимают лидирующие места. Какова вероятность
а) попадания всех лидирующих команд в первую группу?
б) попадания двух лидирующих команд в одну группу, а трёх – в другую?
23. В партии из 1000 деталей ОТК обнаружил 20 нестандартных. Найдите статистическую вероятность появления нестандартных деталей.
24. Стрелок сделал 30 выстрелов по цели и попал 23 раза. Найдите частоту промаха стрелка.
25. При стрельбе из винтовки частота попаданий оказалась равной 0,8. Найдите число попаданий, если всего сделано 240 выстрелов.
26. Из 1000 произвольно выбранных деталей оказалось 4 бракованных. Сколько приблизительно следует ожидать бракованных деталей в партии, состоящей из 2400 деталей?
27. На отрезке длины L помещён меньший отрезок длины l. Найдите вероятность того, что точка, наудачу поставленная на большем отрезке, попадет также и на меньший.
28. В квадрат со стороной а вписан круг. Найдите вероятность того, что точка, наудачу поставленная в квадрат, попадёт и в этот круг.
29. Вокруг квадрата со стороной а описана окружность. Найдите вероятность того, что точка, наудачу поставленная внутрь окружности, попадёт и в квадрат.
30. Внутрь круга радиуса R брошена точка. Найдите вероятность попадания точки
а) в правильный треугольник, вписанный в этот круг;
б) в правильный шестиугольник, вписанный в круг.
31. Из пяти букв разрезной азбуки составлено слово “книга”. Буквы перемешивают, а затем снова составляют слово. Какова вероятность, что снова получится слово “книга”?
32. На первом этаже семиэтажного дома в лифт вошли три человека. Вероятность выхода каждого на любом этаже одинакова. Найдите вероятность событий: А – “все вышли из лифта на четвертом этаже”, В – “все вышли из лифта на одном и том же этаже”, С – “все выходили из лифта на разных этажах”.
33. В одной урне 6 белых и 4 чёрных шара, во второй – 7 белых и 3 чёрных. Из каждой урны наугад вынимаем по одному шару. Чему равна вероятность того, что
а) оба шара белые; б) шарики разных цветов?
34. Из полного набора домино (28 костей) наудачу выбирают 7 костей. Какова вероятность того, что среди них окажется
а) по крайней мере одна кость с шестью очками;
б) ровно два дубля?
35. Из колоды, содержащей 36 карт, наудачу вынимают 4 карты. Найдите вероятность того, что
а) все карты бубновой масти;
б) среди карт окажется хотя бы один туз.
36. Бросают три одинаковые кости. Найдите вероятность событий: А – “ни на одной кости не выпадет 6 очков”, В – “хотя бы на одной кости выпадет 6 очков”, С – “на всех трёх костях выпадет 6 очков”.
37. В подъезде дома установлен замок с кодом. Дверь откроется, если в определенной последовательности набрать три цифры от 0 до 9. Некто стал наудачу пробовать набирать различные комбинации из трёх цифр. На каждую попытку он тратит 20 секунд. Какова вероятность того, что ему удастся открыть дверь за один час?
38. Два парохода должны подойти к одному и тому же причалу. Время прихода обоих пароходов независимо и равновозможно в течение суток. Определите вероятность того, что одному из пароходов придется ждать освобождения причала, если время стоянки обоих пароходов 2 часа.
39. Десять участников конторы “Рога и копыта” носят одинаковые шапки. Уходя с работы домой, они вынуждены одеваться в тёмном коридоре, поэтому шапки берут наугад. Чему равна вероятность того, что каждый вернется с работы в своей шапке?
40. Студент разыскивает нужную ему формулу в двух справочниках. Вероятность того, что формула есть в первом справочнике равна, 0,6, во втором – 0,8. Найдите вероятность того, что формула содержится
а) и в первом и во втором справочниках;
б) только в одном справочнике.
41. Из колоды, содержащей 36 карт, наудачу одну за другой вынимают 2 карты. Найдите вероятность того, что
а) вторая карта – дама, при условии, что первая карта – дама;
б) вторая карта – туз, при условии, что первая карта – дама.
42. В одной урне 6 белых и 4 чёрных шара, во второй – 8 белых и 2 чёрных. Наугад выбираем урну, из урны наугад вынимаем один шар. Чему равна вероятность того, что
а) этот шар белый; б) шар чёрный?
43. Электрические лампочки поставляются в магазин с трёх заводов. Первый завод поставляет 50% всех ламп, второй – 20%, а третий – 30%. Вероятность изготовления исправной лампы на каждом заводе соответственно равна 0,8; 0,9 и 0,7. Покупатель купил одну лампочку. Найдите вероятность того, что она исправна.
44. На экзамене студенту предлагается выбрать наугад один из 20 экзаменационных билетов. Он может ответить на “отлично” на 8 билетов с вероятностью 0,9, еще на 10 билетов – с вероятностью 0,6, и на 2 билета с вероятностью 0,2. Найдите вероятность того, что студент ответит на “отлично”.
45. В одной урне 6 белых и 4 чёрных шара, во второй – 8 белых и 2 чёрных. Наугад выбирают урну, из урны наугад вынимают один шар. Он оказывается белым. Чему равна вероятность того, что этот шар вынут из первой урны?
46. На спортивной площадке 10 мальчиков бросают мяч в ворота. Для пяти из них вероятность попадания в ворота равна 0,9 (они отлично забивают), для трёх мальчиков вероятность попадания равна 0,7 (они забивают голы хорошо), 2 мальчика забивают мяч в ворота плохо – с вероятностью 0,3. Один из мальчиков забил мяч в ворота. Какова вероятность того, что этот мальчик отлично забивает голы?
47. Произведено 5 независимых испытаний с двумя исходами, в каждом из которых вероятность появления события А равна 0,3. Найдите вероятность того, что событие А появится
а) ровно 2 раза, б) не более двух раз, в) хотя бы один раз.
48. Вероятность отказа прибора при испытании равна 0,2. Что вероятнее ожидать: два отказа при четырёх испытаниях или четыре отказа при шести испытаниях?
49. Игральный кубик бросают 120 раз. Найдите наивероятнейшее число выпадения шести очков.
50. Сколько раз примерно придётся бросать игральную кость, чтобы наивероятнейшее число появления шести очков было равно 32?
51. Вероятность отказа прибора при испытании равна 0,2. Найдите вероятность того, что при 400 испытаниях прибор откажет ровно 104 раза.
52. Вероятность поражения мишени стрелком при одном выстреле равна 0,75. Найдите вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена не более 70 раз.
53. Вероятность изготовления бракованной детали равна 0,001. Найдите вероятность того, что в партии из 5 000 деталей не окажется ни одной бракованной.
54 Случайная величина Х может принимать только значения 1, 3, 4. Значение 1 она принимает с вероятностью 0,3, значение 3 – с вероятностью 0,2. С какой вероятностью Х принимает значение 4?
55 Среди 10 лотерейных билетов имеются 4 билета с выигрышем. Наудачу покупают 2 билета. Напишите закон распределения вероятностей (таблицу распределения) числа выигрышных билетов среди купленных.
56 В партии из 25 курток 5 имеют скрытый дефект. Купили 3 куртки. Найти закон распределения числа дефектных курток среди купленных.
57. Имеются три базы с независимым снабжением. Вероятность отсутствия нужного товара равна 0,1. Предприниматель решил закупить некий товар. Составить закон распределения числа баз, на которых в данный момент отсутствует товар.
58. Задан ряд распределения случайной величины Х:
| Х | ||||||
| р | 0,40 | 0,20 | 0,20 | 0,05 | 0,10 | 0,05 |
Найти математическое ожидание, среднее квадратическое отклонение данной случайной величины и математическое ожидание случайной величины 2Х2 + 3.
59. Даны законы распределения двух независимых случайных величин:
| Х | ||||
| р | 0,4 | 0,2 | 0,1 | 0,3 |
| Y | |||
| р | 0,5 | 0,2 | 0,3 |
Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Z = 2X + 2Y.
60. Даны законы распределения двух независимых случайных величин:
| Х | -4 | ||
| р | 0,1 | 0,5 | 0,4 |
| Y | ||
| р | 0,5 | 0,5 |
Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Z = (X + Y)/2.
61. В магазин поступили электролампы с трёх заводов в пропорции 2:3:5. Доля брака в продукции первого завода – 5%, второго – 2%, третьего – 3%. Покупатель приобрел три лампочки. Найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение числа качественных лампочек среди купленных.
62. Два стрелка независимо друг от друга производят по одному выстрелу по цели. Вероятность попадания в цель первого стрелка равна 0,8, а второго – 0,7. Составьте таблицу распределения числа попаданий. Найдите математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение числа попаданий.
63. Производятся 3 независимых опыта, в каждом из которых событие А появляется с вероятностью, равной 0,4. Найдите математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение числа появлений события А.
64. Случайная величина Т – время работы радиолампы – имеет показательное распределение. Определите вероятность того, что время работы радиолампы будет не меньше 600 ч, если лампа работает в среднем 400 ч.
65. Случайная величина Х задана функцией распределения вероятностей:
F(x) =
Найти плотность вероятности f(х) и вероятность попадания случайной величины Х в интервалы (1; 2,5), (2,5; 3,5). Построить графики функций F(x) и f(х).
66. Случайная величина Х задана функцией распределения вероятностей:
F(x) =
Найти плотность вероятности f(х) и вероятность попадания случайной величины Х в интервал (10; 20). Построить графики функций F(x) и f(х).
67. Случайная величина Х имеет плотность распределения
f(x) =
Найти функцию распределения F(x) и построить её график.
68. Случайная величина Х имеет плотность распределения
f(x) =
Найти функцию распределения F(x) и построить ее график.
69. Плотность распределения непрерывной случайной величины Х задана функцией f(x) = 2a/(1+x2). Найти параметр а.
70. Плотность распределения непрерывной случайной величины Х задана в интервале (0; p/4) функцией f(x) = a×sin 4x. Вне этого интервала f(x) = 0. Найти параметр а.
71. Случайная величина Х распределена равномерно на отрезке [1; 6]. Найти функцию распределения F(x), математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение этой величины.
72. Случайная величина Х распределена равномерно на отрезке [0; 4]. Найти функцию распределения F(x), математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение этой величины.
73. Случайная величина Х задана функцией распределения вероятностей:
F(x) =
Найти математическое ожидание и дисперсию этой величины.
74. Случайная величина Х задана функцией распределения вероятностей:
F(x) =
Найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение этой величины.
75. Математическое ожидание нормально распределённой случайной величины равно 5, а дисперсия равна 9. Напишите выражение для плотности распределения этой случайной величины.
76. Математическое ожидание нормально распределённой случайной величины равно 12, а дисперсия равна 4. Найти вероятность того, что эта величина примет значение из интервала (14; 16).
77. Имеется случайная величина Х, распределённая по нормальному закону, математическое ожидание которой равно 20, а среднее квадратическое отклонение равно 3. Найти симметричный относительно математического ожидания интервал, в который с вероятностью 0,9972 попадёт эта случайная величина.
78. Случайная величина Х распределена по нормальному закону с математическим ожиданием, равным 15, и средним квадратическим отклонением, равным 2. Найти симметричный относительно математического ожидания интервал, в который с вероятностью 0,954 попадет случайная величина.
79. Математическое ожидание нормально распределённой случайной величины – количества сыра, используемого для изготовления 100 бутербродов, ‑ равно 1 кг. Известно, что с вероятностью 0,96 расход сыра на изготовление 100 бутербродов составляет от 900 до 1 100 г. Определить среднее квадратическое отклонение расхода сыра на 100 бутербродов.
80. При измерении нормально распределённой случайной величины оказалось, что её среднее квадратическое отклонение равно 10, а вероятность попадания в интервал от 100 до 140, симметричный относительно математического ожидания, равна 0,86. Найти математическое ожидание этой величины и вероятность попадания её в интервал от 90 до 150.
Ответы к разделу «Теория вероятностей»
1. А = е3+е6, В = е4+е5+е6, , С = е1+е3+е5.
2. `А – “выпало 1, 2, 4 или 5 очков”,`В – “выпало 3 или меньше трёх очков”, А×С – “выпало 3 очка”, А×В+ e4 – “выпало 4 очка” e1+В – “выпало 1 очко или больше трёх очков”, e3×А×С – “выпало 3 очка”, e3×А+С – “выпало нечётное число очков”, e2+e4+С – “выпало 2, 3, 4, 5 или 6 очков”.
3. -
4. а) да; б) нет.
5. а) нет; б) нет.
6. А0 – “попаданий нет”, А1 – “одно попадание”, А2 – “два попадания”.
7. ,
где , , , ,
, , , ;
а) ; б) .
8. б) справедливо второе равенство.
9.4/11.
10. 0,95.
11. 1/6, 1/2, 2/3, 5/6.
12. а) 4/14; б) 10/14.
13. 0,125.
14. а) 1/6; б) 1/3.
15. » 0,281.
16. » 0,091.
17. а) 5/18; б) 5/6; в) 1/6; г) 0.
18. 4/45.
19. 1/42.
20. а) » 0,217; б) » 0,968.
21. а) 0,19; б) 0,81.
22. а) » 0,015; б) » 0,706.
23. 0,02.
24. » 0,233.
25. » 192.
26. » 10.
27. l/ L.
28. » 0,785.
29. » 0,637.
30. а) » 0,413; б) » 0,827.
31. 1/120.
32. 1/216; 1/36; 5/54.
33. а) 0,42; б) 0,46.
34. а) »0,32, б) »0,36.
35. »0,002, »0,337.
36. 125/216, 1/2, 1/216.
37. 0,18.
38. » 0,16.
39. 1/(10!).
40. а) 0,48; б) 0,44.
41. а) 3/35, б) 4/35.
42. а) 0,7; б) 0,3.
43. 0,79.
44. 0,68.
45. 3/7.
46. 0,625.
47. а)»0,309; б)»0,837; в)»0,528.
48. .
49. 20.
50. от 191 до 197.
51. 0,00055.
52. 0,12.
53. 0,0067.
54. 0,5.
55.
| Х | |||
| р | 5\15 | 8/15 | 2/15 |
56.
| Х | ||||
| р | 114/230 | 95/230 | 20/230 | 1/230 |
57.
| Х | ||||
| р | 0,729 | 0,243 | 0,027 | 0,001 |
58. 3,9; 2,21; 43,2.
59. 11,6; 32,6.
60. 2,1; 1,89.
61. 2,91; 0,295.
62.
| Х | |||
| р | 0,06 | 0,38 | 0,56 |
М(Х) = 1,5; D(X) = 0,37; s(X) = 0,61.
63. 1,2; 0,72; 0,85.
64. 0,2231.
65. f(х) = 0,25; 0,75.
66. f(х) = » 0,233.
67. F(x) =
68. F(x) =
69. 1/(2p).
70. 2.
71. F(x) = 3,5; 25/12; 5 /6.
72. F(x) = 2; 4/3; 2/ .
73. 10; 100.
74. 2,5; 2,5.
75.
76. 0,1359.
77. (11,06; 28,94).
78. (3,5; 4,67).
79. 48,8.
80. 120; 0,9973.
Элементы математической статистики
1. Из генеральной совокупности найти выборочную среднюю, если:
| хi | ||||
| пi |
2. Найти несмещенную оценку дисперсии случайной величины Х на основании данного распределения выборки:
| хi | ||||
| пi |
3. В выборке, заданной вариационным рядом 2, 3, 3, 5, ?, 7, 7, 9, 9, 10, пропущен один элемент. Оценить, в каких пределах лежат:
а) выборочное среднее;
б) несмещённая оценка дисперсии генеральной совокупности.
4. Найдите доверительный интервал с надёжностью 0,8 для оценки математического ожидания нормально распределённой случайной величины Х со средним квадратическим отклонением 5, выборочной средней 20 и объёмом выборки 25.
5. Случайная величина Х распределена по нормальному закону. Статистическое распределение выборки представлено в таблице:
| хi | |||||
| ni |
Найдите с надёжностью 0,99 доверительный интервал для оценки математического ожидания и с надёжностью 0,99 – для оценки среднего квадратического отклонения.
Ответы:
1. 5,45
2. 7,7322
3. а) [6; 6,2]; [5 ; 10 ]
4. (18,72; 21,28)
5. (7,83; 10,27), (2,87; 4,68).