Алгоритм побудови апроксимуючої функціональної залежності.

ЗАВДАННЯ ДЛЯ ІНДІВІДУАЛЬНОЇ ДОМАШНЬОЇ РОБОТИ

Постановка задачі

Нехай у результаті досліджень одержали табличну модель , , деякої функціональної залежності величини від величини , при цьому припускається, що виміри значень , , проведені незалежно одне від одного і що похибки вимірювань підпорядковані нормальному закону розподілу випадкової величини з параметрами і , де , . Задача полягає в аналітичному представленні табличної моделі, тобто в підборі апроксимуючої функції , яка дає найточніше наближення до вихідних даних.

1. За допомогою метода найменших квадратів знайти параметри нелінійних залежностей визначеного типу: , , , , , .

2. За допомогою аналітичного критерію обрати вид нелінійної залежності , яка найбільш точно описує експериментальні дані , .

3. Побудувати таблицю даних , , і графік обраної функціональної залежності .

Варіанти до завдання

Таблиця 1.1– Варіанти до завдання

№ варіанта	і	1	2	3	4	5
1		-6	-4	-1	0	1
	0,4	0,2	-1,8	-0,7	0,8
2		-6	-4	-2	0	4
	2,6	2,4	2,5	1,4	1,8
3		-3	-2	-4	2	1
	-3	-1,3	-0,7	0.3	-0,1
Продовження Таблиці 1.1
№ варіанта	і	1	2	3	4	5
4		-3	-1	-2	0	1
	2,3	2,1	2,2	1,5	1,4
5		-2	-4	0	6	2
	-1,8	-4,2	-1	-1,6	-7,4
6		-1	-7	0	1	2
	2,9	3,1	2	1,9	3,5
7		-7	-1	0	6	2
	-1,2	-0,9	-1	-2,1	-6,6
8		-1	-7	0	1	2
	2,9	1	5	2,3	3,2
9		-9	-3	-1	-4	0
	-7,8	6,1	-4,5	-6,7	1,2
10		-3	-2	-1	3	0
	5,6	5	2,0	4,3	1,4
11		-3	-2	-1	0	1
	-9,4	-5,7	-7,4	-2	-2,6
12		-5	-2	-1	0	1
	4,9	4,3	4,4	2,3	2,2
13		-3	-2	-8	0	1
	-8,2	-5,1	-2,3	0,2	-4,2
14		-5	-2	-1	0	1
	3,5	4,2	2,8	1,6	2,7
15		-2	-1	0	1	2
	-6,2	-5,9	-7,1	1,7	-3,6
16		-2	-1	0	1	2
	-2	-4,7	1,5	-4.5	-7,1
17		-2	-1	0	1	2
	-4,1	-4	-3,1	-4,4	-7,9
Продовження Таблиці 1.1
№ варіанта	і	1	2	3	4	5
18		-2	-3	-2	-1	0
	-1,3	-4,1	-8,9	-7,1	-5,3
19		-3	-2	-1	0	1
	-5,1	-5,5	-3,6	-0,3	-2,1
20		-3	-2	-1	0	1
	-6,8	-5	-1,8	-2	-4,7
21		-3	-2	-1	0	1
	-3	-3,8	-2,1	0	-1,7
22		-2	-1	0	1	2
	-6,3	-1,7	1,2	-3,2	-8,3
23		-4	-3	-2	-1	0
	-4,2	-5,2	-5,8	-4,4	-3,4
24		-4	-3	-2	-1	0
	4,8	8	3,3	3,5	2,8
25		-2	-7	0	1	2
	-2,1	-1,6	0,7	-2,5	-5,6
26		0	1	6	3	4
	0,9	0,1	-1,3	0,4	3,5
27		-5	-3	-8	-2	-1
	9,5	5,7	-0,2	0,9	-0,8
28		0	1	2	3	4
	1,7	0,4	-1,5	-0,6	3,3
29		0	1	8	3	4
	0,7	0,1	0,4	1,5	4,6
30		0	1	2	3	4
	1,3	0,2	-0,3	1,3	5,5

ТЕОРЕТИЧНА ЧАСТИНА

2.1 Теоретичні відомості

Необхідність встановлення форми зв’язку між ознаками виникає при проведенні теоретичних досліджень і практичних розрахунків в багатьох галузях техніки, у процесі вивчення різних питань природознавства, соціології, економіки. Вдало підібрана емпірична формула дає змогу не тільки апроксимувати сукупність експериментальних даних, “згладжуючи” значення результативної ознаки, а й екстраполювати знайдену залежність на інші проміжки значеньфакторної ознаки.

Нехай у результаті досліджень одержали деяку функціональну залежність величини від величини , при цьому припускається, що виміри значень , , проведені незалежно одне від одного і що похибки вимірювань підпорядковані нормальному закону розподілу випадкової величини з параметрами і , де , .

Задача полягає в аналітичному представленні табличної моделі , , тобто в підборі апроксимуючої функції , що описує результати експерименту. Функцію називають емпіричною, або рівнянням регресії y на x, параметри функції – параметрамирівняння регресії, графік функціональної залежності – лінією регресії.

Для апроксимації табличних моделей використовують метод найменших квадратів, при якому мірою наближення табличної моделі апроксимуючою функцією є сума квадратів відхилень вихідних значень і значень апроксимуючої функції , тобто:

.

Апроксимуючу функцію обирають так, щоб сума була мінімальною, що відповідає найбільш ймовірним значенням апроксимуючої функціональної залежності.

Алгоритм побудови апроксимуючої функціональної залежності.

1. Від нелінійної залежності перейти до лінійної моделі , використавши відповідні формули переходу до нових координат.

2. За вихідною табличною моделлю , , побудувати нову таблицю даних , , де , .

3. Знайти параметри і лінійної моделі за формулами:

,

.

4. За відповідними формулами переходу обчислити параметри і нелінійної функціональної залежності .

5. Обрати апроксимуючу функцію за правилом: сума квадратів відхилень вихідних значень і значень апроксимуючої функції мінімальна.