Построение полной таблицы смертности

Построение таблиц смертности является в принципе несложной, но достаточно трудоемкой вычислительной процедурой. Она включает в себя несколько этапов³:

· расчет значений исходного показателя для всех возрастов на основе данных статистики смертности (распределения умерших по возрастам);

· если необходимо, обработку этого ряда значений для уст
ранения искажений, вызванных возрастной аккумуляцией;

· интерполяцию ряда значений для устранения возможных
пропусков или экстраполяцию для расчета значений для самых
старших возрастов;

· вычисление остальных функций таблицы смертности.
Основная методическая проблема построения таблиц смертности, как уже говорилось, связана с переходом от реальных показателей повозрастной смертности к табличным вероятностям умереть в данном возрасте, т.е. от т_х* к q_x.

Методы построения таблиц смертности занимают большое место в демографии. Можно повторить уже сказанное выше, что история демографии в значительной мере совпадает с историей разработки и совершенствования этих методов.

Современные таблицы смертности рассчитываются с помощью т.н. косвенного, или демографического, метода. Демографический метод назван так потому, что в его основе лежат данные о повозрастной смертности, а также о возрастно-половой структуре населения, получаемые во время переписей и текущего учета. Косвенным этот метод назван, чтобы противопоставить его т.н. прямому методу, или, иначе, методу Р. Бека, основанному на непосредственном расчете показателей таблицы смертности в ситуации, когда известно распределение смертей на элементарные совокупности сетки Лексиса⁴.

Исходным показателем здесь служит повозрастной коэффициент смертности, который приравнивается к табличному коэффициенту смертности (d_x/L_x) и на основе которого определяются все функции таблицы смертности, начиная, разумеется, с вероятности умереть в возрасте х лет. Демографический метод позволяет строить таблицы смертности, наиболее адекватно отражающие ее уровень. При этом на величину итоговых показателей не влияют колебания чисел родившихся и умерших в годы, предшествовавшие расчету⁵.

Проблема, связанная с переходом от повозрастных коэффициентов смертности к вероятностям смерти на возрастном интервале (х, х+п) лет, состоит в том, что первые, как известно, рассчитываются по отношению к общему числу человеко-лет, прожитых населением на этом возрастном интервале, или к его приближению, т.е. среднегодовому населению. Вторые же рассчитываются по отношению к численности населения в начале возрастного интервала. Чтобы построить таблицу смертности, надо установить соотношение между ними, т.е. между т_х и q_x. Иначе говоря, нужно перейти от т_х к q_x⁶.

Пусть N_x - число доживающих до возраста х лет в реальном населении. Из этого числа до следующего возраста х+1 лет не доживет D_x. Тогда, по определению:

Вместе с тем повозрастной коэффициент смертности т_х равен отношению D_x к числу человеко-лет, прожитых N_x в течение интервала (х, х + 1). Это число человеко-лет, в свою очередь, равно сумме двух слагаемых:

Первое слагаемое - это (N_x - D_x, т.е. число человеко-лет, прожитых на этом интервале возраста теми, кто дожил до возраста (х, х + 1).

Второе слагаемое - это число человеко-лет, прожитых на этом интервале возраста теми, кто не дожил до возраста (х, х + 1), т.е. умер на этом интервале возраста. Это число равно a'_x-D_x.

Последнее выражение есть знакомая формула расчета повозрастного коэффициента смертности.

Решим уравнение Р_х = (N_X -D_x) + a'_xD_x относительно N_x:

N_x=P_x+(1-a'_xD_x). Подставим это выражение в приведенную выше формулу для q_x.

Если числитель и знаменатель этого выражения разделить на Р_x , то получим искомое базисное соотношение между q_x и т_х:

Величины а₀ а₁ ...варьируют от страны к стране в зависимости от уровня смертности. Для развивающихся стран, в которых смертность высока, обычно принимается а₀ - 0,3, a₁ - 0,4 и 0,5 для всех остальных. Там же, где смертность низка, наилучшей величиной для а₀ является 0,1. В целом выбранная величина не является критичной, за исключением а₀. Более того, существует альтернативный путь определения q₀ без использования вышеприведенной формулы. Речь идет о простом приравнивании q₀ к коэффициенту младенческой смертности. Newell С. Methods and Models in Demography. London. 1988. P. 69.

Приведенное выше уравнение является фундаментальным для построения современных таблиц смертности. Зная все q_x и выбрав корень таблицы смертности l₀ , можно, используя приведенные выше соотношения между ними, построить все остальные функции таблиц смертности.