Побудова довірчого інтервалу для генеральної дисперсії

Нехай розподіл ознаки (випадкової величини) X в генеральній сукупності є нормальним Будемо думати, що математичне сподівання (генеральне середнє) відоме. Тоді вибіркова дисперсія повторної вибірки ( її не варто плутати з вибірковою дисперсією і «виправленою» вибірковою

Рис. 3.3

дисперсією якщо характеризує варіацію значень ознаки відносно генерального середнього , то і - відносно вибіркового середнього ). Розглянемо статистику

Враховуючи, що неважко показати, що і Розподіл суми квадратів n незалежних випадкових величин , кожна з яких має стандартний нормальний розподіл являє собою з степенями вільності. Розподіл не залежить від невідомих параметрів випадкової величини X ,

а залежить лише від числа степенів вільності k.

Густина ймовірності розподілу має складний вигляд, і її інтегрування є складним. Складено таблиці для обчислення ймовірності того, що випадкова величина (яка має -розподіл з k степенями вільності) перевищить деякі критичні значення , тобто . В практиці вибіркового спостереження математичне сподівання , як правило, невідоме, і доводиться мати справу не з , а з . Якщо - повторна вибірка із нормально розподіленої генеральної сукупності, то випадкова величина (або ) має розподіл з степенями вільності. Тому для заданої довірчої ймовірності можна записати: (графічно це площина під кривою розподілу між і , див. рис. 3.4). Очевидно, що значення і визначаються неоднозначно при одному і тому ж значенні заштрихованої площі, яка дорівнює . Зазвичай і вибирають таким чином, щоб ймовірності подій і були однаковими, тобто

Перетворивши подвійну нерівність до рівносильного вигляду , отримаємо формулу довірчої ймовірності для генеральної дисперсії: , а для середнього квадратичного відхилення: .

При використанні таблиць значень , отриманих з рівності , необхідно врахувати , що ,

тому умова рівносильна умові . Таким чином, значення і знаходимо по таблиці із рівностей: , .

Тобто при , .

◄Приклад 3.8На основі вибіркових спостережень продуктивності праці 20 робітниць було встановлено, що середнє квадратичне відхилення добового виробітку складає 15 м тканини в годину. Вважаючи , що продуктивність роботи робітниць має нормальний розподіл, знайти межі, в яких з надійністю 0,9 находяться генеральна дисперсія і середнє квадратичне відхилення добового виробітку робітниці.

Розв’язання.Маємо ; .

При числі степенів свободи =20-1=19 визначимо і за таблицею значень для - розподілу:

і . Тоді довірчий інтервал для можна записати у вигляді: або ,

і для : або .

Отже, з надійністю 0,9 дисперсія добового виробітку робітниць знаходиться в межах від 149,5 до 445,6 , а її середнє квадратичне відхилення – від 12, 2 до 21,1 метрів тканини за годину.►

Зауваження.Таблиця значеньскладена при числі степенів вільності від 1 до 30. При можна вважати , що випадкова величина має стандартний нормальний розподіл N(0;1). Тому для визначення і необхідно записати, що , звідки , і після перетворень: . Таким чином, при обчисленні довірчого інтервалу при потрібно вважати , , де Ф( )= .

Контрольні питання

1. В чому полягає різниця між повторною і безповторною вибірками?

2. Що таке оцінка параметру розподілу?

3. Для чого використовують нерівність Рао-Крамера-Фреше?

4. Як побудувати довірчий інтервал?

5. Які переваги і недоліки методу найменших квадратів знаходження оцінок?