Определение центров тяжести плоских тел

Цель работы: изучить методы определения координат центра тяжести плоских

тел, научиться определять центры тяжести сложных плоских тел.

Теоретическое обоснование

На отдельные частицы, из которых состоит твёрдое тело, действуют силы тяжести практически параллельно (при расстоянии между частицами в 31 м угол между вертикалями сил их тяжести составляет одну угловую секунду ).

Равнодействующая сил тяжести всех частиц тела называется силой тяжести этого тела.

Как бы мы не изменяли положение тела в пространстве, силы тяжести его отдельных частиц останутся параллельными одна другой (и вертикальными). Из основного свойства равнодействующей системы параллельных сил известно, что она всегда проходит через одну и ту же точку – центр данной системы параллельных сил. Отсюда понятие центра тяжести:

Центр тяжести – неизменно связанная с телом точка, через которую проходит линия действия силы тяжести данного тела при любом положении тела в пространстве.

Координаты центра тяжести любого твёрдого тела можно определить по формулам

(5.1)

где G_k – сила тяжести произвольной частицы тела;

X_k, Y_k, Z_k – координаты этой частицы;

G – сила тяжести всего тела

Для плоских фигур координата центра тяжести Z_k из уравнений (5.1) исключается.

Возьмём произвольную плоскую фигуру в плоской системе координат и разобьём её на ряд элементарных площадей F_i, расстояние такой элементарной площадки от координатных осей будет x_i и y_i (рис. 5.1).

Рис. 5.1. Элементарная площадка в плоскости фигуры

Произведение элементарной площади на её расстояние от осей координат называется статическим моментом элемента фигуры:

Статический момент площади всей фигуры:

(5.2)

Статический момент имеет размерность мм³, см³, м³.

Из уравнений (5.2) легко определить координаты центра тяжести плоской фигуры

(5.3)

где F - площадь всей фигуры.

Пример

Определить координаты центра тяжести однородного плоского листа, показанного на рис. 5.2.

Рис. 5.2. Однородный плоский лист (все размеры в мм)

Проведём координатные оси x и y, разобьём фигуру на три прямоугольника. Координаты центров тяжести этих прямоугольников С₁, С₂, С₃ лежат на пересечении их диагоналей (рис. 5.2). Координаты этих центров и площади прямоугольников легко определить из чертежа. Составим таблицу 5.1.

Таблица 5.1

Части фигуры	Площади Fi частей фигуры, мм2	Координаты центров тяжести, мм
xi	yi

Статические моменты площади фигуры:

800 20 + 1200 10 + 1000 25 = 53 10³ мм³;

800 10 + 1200 50 + 1000 90 = 158 10³ мм³.

Координаты центра тяжести всей фигуры определяем по формулам (5.3):

мм;

мм.

Пример

Определить центр тяжести для пластины радиуса R = 50 мм с вырезом радиуса r = 20 мм; расстояние С₁С₂ = 25 мм (рис. 5.3).

Рис. 5.3. Круглая однородная пластина с вырезом

Проведём координатные оси. Центр тяжести пластины лежит на оси x, являющейся осью симметрии тела. Определим площади большого круга и выреза:

мм²;

мм².

Так как центры тяжести окружностей С₁ и С₂ лежат на оси y, совпадающей с осью симметрии, то координаты y₁ = y₂ = 0. Координаты центров тяжести окружностей по оси x: x₁ = 0; x₂ = 25 мм. Для получения суммарной площади фигуры следует из площади большого круга вычесть площадь выреза

мм².

Статический момент определяем относительно оси y

мм³.

Координата центра тяжести всей пластины по оси x

мм.

Как видно, найденный центр тяжести лежит левее начала координат.

Описание оборудования

Для проведения лабораторной работы используются образцы плоских фигур, измерительный и чертёжный инструмент (штангенциркули, линейки и готовальня).

Подготовка к проведению работы

1. Проработать тему по учебнику С.М. Тарга «Краткий курс теоретической механики» М., 1995.

2. Проработать методические указания к лабораторной работе.

3. Подготовить расчётные формулы и таблицу для записи вычислений.

4. Ответить на контрольные вопросы.

Порядок выполнения работы

1. Получить у преподавателя образец плоской фигуры.

2. Произвести измерения линейных размеров плоской фигуры с помощью штангенциркулей и линейки.

3. Выполнить рабочий чертёж плоской фигуры в масштабах М 1:1 или М 2:1 в зависимости от размеров фигуры (можно использовать миллиметровую бумагу).

4. Разбить плоскую фигуру на ряд простых частей и подсчитать их площади в мм², результаты внести в табл. 5.3.

5. На рабочем чертеже провести координатные оси, определить положение центров тяжести частей плоской фигуры, координаты центров тяжести внести в табл. 5.3.

При вычислении площадей элементов плоской фигуры можно пользоваться данными табл.5.2

Таблица 5.2

Плоская фигура	Формулы площадей	Плоская фигура	Формулы площадей
Круг		Сектор с углом

Обработка результатов

1. Вычислить статические моменты элементов фигуры, результаты внести в табл. 5.3; для вычислений использовать формулы

2. Определить суммарную площадь всей фигуры (площади вырезов и отверстий следует брать со знаком «минус»), результат внести в табл. 5.3

3.По формулам (5.2) определить суммарные статические моменты плоской фигуры относительно координатных осей, результаты вычислений внести в табл. 5.3 (не забывать о знаках площадей вырезов и отверстий)

4. По формулам (5.3) вычислить координаты центра тяжести плоской фигуры, результаты вычислений записать

нанести положение центра тяжести С на рабочий чертёж фигуры.

Таблица 5.3

Элементы фигуры	Площадь, мм2	Координаты центров тяжести, мм	Статические моменты, мм3
Fi	xi	yi	Syi=Fixi	Sxi=Fiyi
Элемент 1 …
Вся фигура		--	--	Sy=	Sx=

Контрольные вопросы

1. Приведите определение силы тяжести тела.

2. Объясните правила сложения параллельных сил, направленных в одну сторону.

3. Объясните правила сложения параллельных сил, направленных в разные стороны.

4. Обоснуйте неизменность положения центра тяжести тела при изменении положения тела в пространстве.

5. Приведите определение центра тяжести тела и его координат.

6. Запишите формулы определения координат центра тяжести плоской фигуры.

7. Дайте определение статических моментов элементов плоской фигуры и их формулы.

8. Приведите определение статических моментов плоской фигуры и их формулы.

9. Приведите формулы определения центра тяжести плоской фигуры через статические моменты.

10. Объясните правила вычисления координат центра тяжести плоской фигуры с вырезами.

Лабораторная работа № 6