II Электронная теплоемкость

Металл для газа свободных электронов представляет собой трехмерную потенциальную яму. Поскольку электроны имеют спин равный 1/2 и подчиняются статистике Ферми-Дирака, т.е. для них справедлив принцип Паули, то при Т=0 К все состояния с энергиями ниже некоторой, называемой энергией Ферми EF, заняты, причем на каждом уровне может быть не более двух электронов. Положение уровня Ферми зависит от концентрации свободных электронов:

При температурах T>0 К уровень Ферми сдвигается в соответствие с формулой

.

Однако этот сдвиг очень мал (при Т=300К отличие от Т=0 К составляет лишь 0,002%) и можно считать, что положение уровня Ферми в металлах с температурой не изменяется.

При повышении температуры электроны должны увеличить свою энергию на kT, что соответствует переходу в состояния с более высокой энергией. Так как состояния ниже уровня Ферми заняты, то основная часть электронов не может изменить свою энергию и лишь их малое количество с энергиями вблизи энергии Ферми может перейти на вышележащие уровни энергии. Эта часть составляет примерно 2kT/EF. Поэтому энергия электронов единицы объема должна быть порядка

,

а электронная часть теплоемкости

где n – концентрация свободных электронов в металле.

Для одного моля электронов n=NA и

Более аккуратный расчет дает вместо коэффициента 3 величину π2/2:

.

Поскольку энергия Ферми EF в металлах практически не зависит от температуры, концентрация свободных электронов n также изменяется слабо, то электронная теплоемкость металла оказывается прямо пропорциональной температуре Cэл ~ T.

Вклад подсистем металла в теплоёмкость модно оценить по отношению Cфэл , которое при комнатных температурах и выше имеет порядок EF/kT. Энергия Ферми при типичной концентрации свободных электронов в металле 5·1028 м-3 равна 5 эВ, тепловая энергия kT≈0,025 эВ. Поэтому Cфэл ~ 200, т.е. теплоемкость металлов при комнатной температуре и выше определяется теплоемкостью кристаллической решетки. Однако при низких температурах в силу линейной зависимости Сэл от температуры она может стать доминирующей. Обычно решеточная и электронная теплоемкости сравниваются при температуре в несколько Кельвинов.

Результаты

а)

t,сек T
29,5
30,5
30,5
30,5
30,5
5,5
6,5
33,2
7,5 33,5
33,6
8,5 33,5
33,5
9,5 33,5
33,5


Рис.2. Зависимость температуры калориметра от времени.

б) Из уравнения теплового баланса

следует выражение для расчета теплоемкости металла

,

где cв =4,187 Дж/(г К)– удельная теплоемкость воды, tºкип=100 ºС– температура кипения воды, Сk=66±1 Дж/К – теплоемкость калориметра, где tºk1, k2 – температура калориметра до и после внесения металла.

, значит, можно предположить, что исследуемый металл был алюминий.

Металл mMe, г mв, г с, Дж/(г К) Сμ, , Дж/(г К) С/С∞
аллюминий 77,5 285,6 0,86    

Вывод: мы экспериментально определили теплоемкость металлов при комнатной температуре и сравнили с теоретическими данными. Результаты оказались очень близкими.

Наши рекомендации