РАЗДЕЛ 4. Упругие свойства кристаллов

Механические свойства твердого тела отражают его реакцию на воздействие некоторых внешних факторов. В простейшем случае такими внешними факторами являются механические воздействия: сжатие, растяжение, изгиб, удар, кручение. Механические свойства определяются, в первую очередь, силами связи, действующими между атомами или молекулами, составляющими твердое тело. При действии на кристалл внешней растягивающей нагрузки расстояние между атомами увеличивается, и равновесное расположение их в кристалле нарушается. Это приводит к нарушению равенства сил притяжения и отталкивания, характерного для равновесного состояния атомов в решетке, и возникновению внутренних сил, стремящихся вернуть атомы в первоначальные положения равновесия. Величину этих сил, рассчитанную на единицу площади поперечного сечения кристалла, называют напряжением: s =F_вн./ S, где F_вн.-внешняя сила, S- площадь поперечного сечения кристалла. При однородном напряжении (одинаковом во всех точках тела) при равновесии силы, действующие на противоположные грани равны. Поэтому рассматриваются только силы, действующие на три взаимно перпендикулярные грани. Каждое из напряжений, действующих на три непараллельные грани куба, раскладывается на одну нормальную составляющие и две касательные, т.е. лежащие в рассматриваемой грани. Нормальные напряжения s₁₁, s₂₂, s₃₃ - растягивающие или сжимающие, касательные - s₁₂, s₂₁, s₂₃ и т.д. - скалывающие или сдвиговые. Касательные напряжения способствуют развитию пластической деформации, а нормальные - разрыву межатомных связей, хрупкому разрушению твердого тела. Имеется девять компонент тензора механических напряжений:

Т_напр.= . (4.1)

Так как элементарный куб находится в состоянии равновесия и напряжение однородно, то s₂₃ =s₃₂; s₃₁ = s₁₃; s₁₂ = s₂₁. Таким образом, из 9-ти компонент тензора напряжений только шесть являются независимыми и тензор оказывается симметричным s_ij = s_ji

Деформация этоизменение объема или формы твердого тела без изменения его массы под действием внешней силы. Это процесс, при котором изменяется расстояние между какими-либо точками тела. Относительная деформация тела: e=(l_к-l₀)/ l_0, где l₀-начальная длина тела; l_к- длина после приложения растягивающей силы. Деформация в любой точке есть производная смещения по координате (это безразмерная величина): e=du/dx. Тензор деформации определяет деформированное состояние в данной точке тела. Он содержит 9-ть компонент, шесть из которых являются независимыми и является симметричным:

Т_деф.= = . (4.2)

Диагональные компоненты е_ii описывают удлинение или сжатие, компоненты e_ij являются компонентами деформации сдвига.

Закон Гука.

1. Для изотропных твердых тел. При растяжении изотропного тела (для изотропного тела любые произвольно выбранные направления эквивалентны), когда деформация и напряжения достаточно малы, деформация пропорциональна напряжению: e=Ss, S - константа упругой податливости (податливость). 1/S=С - константа упругой жесткости (жесткость, модуль Юнга Е=С). Размерность этих величин: [S]=[площадь]/[сила]=[объем]/[энергия ]; [С]= [сила ]/[площадь]= [энергия]/ [объем]. Чем меньше податливость, тем более жестким является кристалл. Тогда закон Гука: s=Сe=Еe. Закон Гука для сдвиговой деформации при действии касательных (скалывающих) напряжений t = F/S=GD l /h= G tga , где G-модуль сдвига; tga- тангенс угла сдвига; F- сила; S- площадь сечения образца в плоскости сдвига.

В случае всестороннего сжатия (или растяжения) закон Гука имеет вид: Р=æDV/V=æW, где Р-гидростатическое давление, æ-коэффициент всестороннего сжатия (или модуль объемной деформации); W-объемная деформация.

Поперечная деформация при упругом растяжении или сжатии характеризуется коэффициентом Пуассона n, равным отношению изменения размеров в поперечном направлении к их изменению в продольном направлении:

= - . (4.3)

Существует связь между константами упругости и коэффициентом Пуассона: G=E/[2(1+n)]. Зная две константы, всегда можно определить третью.

Обобщенный закон Гука устанавливает линейную зависимость не только между одним напряжением и соответствующей деформацией, но и между компонентами тензора напряжений и каждым компонентом тензора деформации. Обобщенный закон Гука для изотропного тела записывается таким образом:

Для удлинений:

(4.4)

Для сдвигов:

e₁₂= e_xy=s₁₂/G=t_xy/G; e₂₃=e_yz=s₂₃/G=t_yz/G; e₃₁=e_zx=s₃₁/G=t_zx/G; (4.5)

2. Для анизотропных тел. Для монокристаллов любые произвольно выбранные направления по свойствам неэквивалентны. Если деформация бесконечно мала и однородна, то каждая компонента тензора деформации линейно связана со всеми компонентами тензора напряжений и, наоборот, каждая компонента тензора напряжений линейно связана со всеми компонентами тензора деформаций. В этом заключается сущность закона Гука для анизотропных тел:

e_ij=S_ijkl s_kl, либо (4.6)

s_ij=C_ijkl e_kl, (4.7)

где S_ijkl и C_ijkl - тензоры упругой податливости и упругой жесткости соответственно.

Так как тензоры деформации и напряжения являются симметричными тензорами второго ранга, то независимых компонент S_ijkl и C_ijkl будет 36. Наличие равенств S_ijkl = S_klij и C_ijkl = C_klij, приводит к сокращению независимых компонент до 21. Столько констант имеет твердое тело, не обладающее никакой симметрией. Для кристаллов с кубической симметрией полное число упругих констант равно 3, так как направления ±х, ±y, ±z взаимно перпендикулярны и полностью эквивалентны. Набор постоянных упругой жесткости сводится к матрице:

. (4.8)

Между константами податливости и жесткости в зависимости от симметрии кристалла имеется определенная форма соотношения. Для кристаллов кубической сингонии:

С₁₁= C₁₂= C₄₄ = (4.9)

Плотность упругой энергии. Плотность упругой энергии U в приближении закона Гука является квадратичной функцией деформации:

U= (4.10)

Где индексы от 1 до 6 определяются таким образом: 1 = хх; 2= yy; 3=zz; 4=yz; 5=zx; 6=xy. Коэффициенты связаны с коэффициентами С: С_ab= . Плотность упругой энергии кубического кристалла записывается в виде:

U= (4.11)

При однородном расширении е_хх=е_yy=e_zz=d/3. Тогда энергия: U= . Или: U= где В= -объемный модуль упругости для кубического кристалла. Величина, обратная объемному модулю упругости, есть сжимаемость æ=1/В. Зная значения упругих постоянных кристаллов, можно определить скорости распространения упругих волн (поперечных и продольных) и наоборот.