Решения задач для самоконтроля

Задачи для самостоятельной работы и самопроверки

Глава 1

5. С какой силой взаимодействуют между собой соседние ионы цезия и хлора в кристалле хлористого цезия.

Отв.: 1,8·10^-4 дин.

6. При плавлении льда объем образующейся воды становится меньше и уменьшается при дальнейшем ее нагревании от 0 до 4°С. Как объяснить это явление на основании изменения связей молекул?

7. Сколько атомов содержится в каждой элементарной ячейке кристалла, если она является: а) простой; б) объемно центрированной; в) гранецентрированной кубической ячейкой?

13. Сколько атомов приходится на одну элементарную ячейку в кристаллах с простой, объемоцентрированной и гранецентрированной кубической структурой?

Отв.: 1;2;4.

14. Сколько атомов приходится на одну элементарную ячейку в кристаллах с простой и плотноупакованной гексагональной структурой?

Отв.: 1;2.

Практика 2

1.Показать, что для идеальной гексагональной структуры с плотной упаковкой с/а = 1,633.

2. Вычислить объем элементарной ячейки в кристалле гексагональной системы с постоянными а и с.

Отв.: .

3. Доказать, что направление [hkl] в кубической решетке нормально к плоскости (hkl).

4. Какие плоскости в структуре гранецентрированного куба и объемноцентрированного куба имеют наибольшую плотность упаковки атомов? В каких направлениях в этих плоскостях линейная плотность расположения атомов максимальна?

5. Определить постоянную кристаллической решетки алюминия (гранецентрированный куб).

Отв.: 4,04 Å.

6. Кристалл кадмия имеет плотноупакованную гексагональную структуру с постоянными а = 2.97 Å и с = 5,61 Å. Вычислить плотность кадмия.

Отв.: 8,65 г·см^-3.

7. Многие металлы могут иметь как объемноцентрированную, так и гранецентрированную кубическую крис­таллическую решетку. Замечено, что переход от одной структуры к другой сопровождается лишь незначительным из­менением объема. Предполагая, что в таком переходе объем вовсе не изменяется, найти отношение D₁/D₂, , где D₁ и D₂ - наименьшие расстояния между атомами металла соответственно в гранецентрированной и объемноцентрированной решетках. (Есть решение для самопроверки)

Практика 3

1.Вычислить минимальную длину волны Дебая в титане, если его характеристическая температура 5° С, а скорость распространения звука 6×10³ м×c^-1 .

Отв.: 10,2 Å.

2. Какова максимальная энергия фононов в кристалле свинца, если характеристическая температура его 94 К?

Отв.: 8,2×10^-2 эВ.

3. Какова удельная теплоемкость цинка при 100°С?

Отв.: 0,092 кал× г^-1×град^-1.

4. Удельная теплоемкость алюминия при 20° С равна 840 Дж×кг^-1×К^-1.Выполняется ли при этой температуре для него закон Дюлонга и Пти?

Отв.: нет.

5. На нагревание металлического предмета массой 100 г от 20 до 50° С затра­чено 8300 Дж. Определить, из какого металла изготовлен предмет, если указанный интеграл температур выше характеристической температуры.

Отв.: бериллий.

6. Из уравнения следует, что величина пропор­циональна (а, следовательно, приблизительно пропорциональна ). В соответствии с уравнением частота пропор­циональна квадратному корню из силовой постоянной и обратно пропорциональна квадратному корню из массы атома. Следовательно, величина должна быть больше для легких, жестких металлов и меньше для тяжелых металлов с небольшими модулями упругости. Всегда ли это справедливо? Привести примеры.

7. Вычислить удельную теплоемкость алмаза при температуре 30К.

Отв.: 1,3 ×10^-4 кал×г^-1× град^-1.

8. Кристаллическое тело в состоянии возбуждения упругих тепловых колебаний можно рассматривать как систему N различных независимых квантовогармонических осцилляторов с одинаковой угловой частотой со (модель Эйнштейна). Вывести выражение для закона распределения системы. Вычислить среднюю энергию системы при высоких и низких температурах. Найти удельную молярную теплоемкость С для обоих предельных случаев и проанализировать справедливость модели в этих случаях.

(Есть решение для самопроверки)

9. Удельная теплоемкость решетки определенной модификации углерода зависит от температуры как T ², а не как T ³, что обычно имеет место для твердых тел. Что можно сказать о структуре этой специфичной фазы углерода?

(Есть решение для самопроверки)

Практика 4

5. Вычислить энергию Ферми при Т = 0 К для алюминия. Считать, что на каждый атом алюминия приходится три свободных электрона. Отв.: 12 эВ.

6. Найти разницу энергий (в единицах k_BT) между электроном, находящимся на уровне Ферми, и электронами, находящимися на уровнях, вероятности заполнения которых равны 0,20 и 0,80.

Отв.: -1,38 k_BT и +1,38 k_BT.

7. Какова вероятность заполнения электронами в металле энергетического уровня, расположенного на 0,01 эВ ниже уровня Ферми, при температуре +18° С?

Отв.: 0,6.

8. При какой концентрации свободных электронов в кристалле температура вырождения электронного газа в нем равна 0° С?

Отв.: п = 1,86·10²⁵ м³.

9. Как и во сколько раз изменится вероятность заполнения электроном энергетического уровня в металле, если он расположен на 0,1 эВ выше уровня Ферми и температура изменяется от 1000 до 300 К?

Отв.: уменьшится в 11,4 раза.

10. Вычислить суммарную кинетическую энергию электронов проводимости в 1см³ цезия при 0 К.

Отв.: 1280 Дж.

11. Исходя из функции распределения электронов проводимости по энергиям, получить функцию распределения их в металле по скоростям при температурах Т = 0К и Т. Изобразить примерный вид графиков этой функции для обеих температур.

12. Определить, какая часть электронов проводимости в металле при Т = 0 С имеет кинетическую энергию, большую 0,5 Е_F. Отв.: 0,65.

14. Методом, в котором металлический образец получал механическое ускорение было экспериментально определено отношение e/m для электронов. Предполагая электроны в металле свободными, объяснить, как это можно сделать.

(Есть решение для самопроверки)

Практика 6

3. Вычислить удельную проводимость кристалла Si, если коэффициент Холла для него R_x = 7·10^-4 м³·K^-1.

Отв.: 390 ом^-1·м^-1.

4. В кристалле кремния массой 120 г равномерно по объему распределены 25,7μкг фосфора и 38,2 кг галлия. Считая, что атомы примеси полностью иони­зированы, вычислить удельное сопротивление кристалла.

Отв.: 7,4·10^-3 ом^-1·м^-1.

8. Определить подвижность электронов в германии n - типа, для которого при некоторых условиях удельное сопротивление = 1,6·10^-2 ом·м и коэффици­ент Холла 7·10^-3 м³·K^-1 . Отв.: 0,37 м²/(В·с).

9. Найти минимальную энергию, необходимую для образования пары элект­рон-дырка в кристалле GaAs, если его электропроводность изменяется в 10 раз при изменении температуры от -(+20 до –3)°С.

Отв.: 1,4 эВ.

10. Сопротивление кристалла PbS при температуре 20°С равно 10⁴ Ом. Опре­делить его сопротивление при температуре +80° С.

Отв.: 1350 Ом.

12. Проводимость чистого полупроводника при T = 273 К равна 0,01 Cим. Из оптических измерений известно, что валентная зона лежит ниже зоны проводимости на 0,1 эВ. Вычислить проводимость полупроводника при T = 500К.

(Есть решение для самопроверки)

13. При каких условиях в полупроводнике, имеющем свободные носители заряда, не наблюдается эффект Холла?

Отв.:

14. Определить знак, концентрацию и подвижность свободных носителей заряда в полупроводниковом образце, который обладает примесной проводимостью и сопротивлением 338 Ом. При токе 50 мА и магнитной индукции 0,1 Т э. д. с. Холла в образце 200 мВ. Размеры образца b = 0,1 мм, d = 5 мм (см. рисунок к задаче 13,).

Отв.: n = 1,8·10²¹ м-3, u_n = 2 м²·В^-1·с^-1.

17. Для германия эффект Холла не имеет места. Какая часть тока в образце переносится электронами, если подвижность электронов в германии равна 3500 см²/(В·с), а подвижность дырок 1400 см²/(В·с)?

(Есть решение для самопроверки)

Практика 7

1. Вычислите плотность тока термоэлектронной эмиссии j (при равном нулю электрическом поле) для вольфрама при температуре 2500К.

Отв.: 12,3 А/м².

3. Плоский анод параллелен плоскому металлическому катоду и расположен на расстоянии 0,01 м от него. Между электродами создана разность потенциалов 1000 В. Чему равно поле на катоде? Какова величина x₀ (положение максимума потенциальной энергии электрона ) в ангстремах? Чему равно уменьшение работы выхода за счет эффекта Шоттки? Пусть катод находится при температуре 1700 К; чему равно в этом случае отношение j для данного поля к j при отсутствии поля? Считать, что пространственный заряд отсутствует.

Отв.:10⁵ В/м; 6,0·10^{-8 м; 0,012 В; 1,085.}

Решения задач для самоконтроля

Практика 2, задача 7.

Пусть A₁ и A₂ - соответствующие постоянные решеток. Тогда из простых геометрических соображений следует, что

Далее, в гранецентрированном кристалле на одну ячейку приходится четыре молекулы, в то время как в объемноцентрированном кристалле - лишь две. Так как, по предположению, изменение объема при переходе от одной структуры к другой пренебрежимо мало, то объем, приходящийся на одну молекулу, не изменяется и, следовательно, . Поэтому

Практика 3, задача 8.

Энергия гармонического осциллятора определяется выражением . Заметим, что мы пренебрегли энергией нулевых колебаний, как несущественной, но ус­ложняющей рассмотрение. Вероятность заселения данного уровня равна

Каждая молекула имеет три моды колебаний. Следовательно,

При высоких температурах , где n - число молей, а R – универсальная газовая постоянная. При низких тем­пературах

Таким образом, при высоких температурах

При низких температурах

Выражение для удельной теплоемкости при высоких температурах согласуется с эмпирическим законом Дюлонга и Пти; при низких температурах С 0 в согласии с экспе­риментом. Однако зависимость С от температуры при ма­лых Т, предсказываемая выведенным здесь выражением, не согласуется с экспериментом. Более усложненный расчет (модель Дебая) дает результат, лучше согласующийся с экспериментом.

Практика 3, задача 9.

Энергия, связанная с колебаниями решетки, определяется выражением

где - плотность состояний для фононов. При низких температурах именно низкочастотная зависимость определяет температурную зависимость энергии. Для трехмерной решетки

где с - скорость звука. Таким образом, , откуда следует, что энергия зависит от температуры как Т ⁴, а удельная теплоемкость пропорциональна Т ³. Однако, если твердое тело состоит из двумерных кристаллов (каким является графит), то , откуда следует квадратич­ная зависимость удельной теплоемкости от температуры. Таким образом, квадратичная зависимость теплоемкости от температуры указывает, что углерод в этой фазе пред­ставляет собой двумерный кристалл.

Практика 4, задача 14.

Пусть металлическому образцу сообщено ускорение -а. В системе координат, связанной с образцом, электроны испытывают ускорение в обратном направлении, т. е. а, и, следовательно, эквивалентное электрическое поле равно . Это поле создает ток с плотностью , который может быть измерен. Поскольку известно из электрических измерений, то в таком опыте можно определить величину е/т.

Практика 6, задача 12.

Проводимость определяется выражением

где и ( и )

соответственно плотность и подвижность электронов (ды­рок). Но для чистого полупроводника и

Вероятность того, что дырка будет заселять состоя­ние с энергией Е, равна вероятности того, что электрон не

займет это состояние, т. е.

где . Следовательно,

В предыдущих выражениях = 0,1 эВ (энергетическая щель), а ‑энергия Ферми. Если и , что справедливо в данном случае, выражения для п_e и п_p сводятся к следующим:

Равенство п_e = п_p означает, что

Тогда плотность электронов проводимости равна

где А - постоянная, не зависящая от температуры. Окончательно, зависимость проводимости от температуры определяется выражением и, следовательно,

Выразив Δ через соответствующую температуру, найдем, что /k = 1160 К. Окончательно

Практика 6, задача 17.

Пусть ток течет по направлению оси у,а магнитное поле направлено вдоль оси z. Тот факт, что в германии не проявляется эффект Холла, означает, что ток в направлении оси х равен нулю. Рассмотрим электрическое поле вдоль оси у. Скорость электронов и дырок в направлении оси у соответственно дается выражениями: и . Приложенное магнитное поле действует на эти заряды с силой, направленной вдоль оси х и равной

Вследствие этого возникает поперечная составляющая скорости

и индуцируется ток, направленный вдоль оси х и равный

Очевидно, что этот ток равен нулю, когда

(1)

Суммарный ток в направленииоси у равен а часть его, переносимая электронами, равна

Воспользовавшись равенством (1), получим